【解析版】2022学年北京市怀柔区九年级上期末数学试卷

这是一份【解析版】2022学年北京市怀柔区九年级上期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的倒数是( )
A． B． C．2 D．﹣2

2．2014年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，将11000用科学记数法表示应为( )
A．1.1×104 B．1.1×103 C．11×103 D．0.11×105

3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100°，则∠A的度数为( )

A．40° B．50° C．80° D．100°

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是( )
A． B． C． D．

5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为( )
A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+6

6．在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( )
A．15m B．m C．60 m D．24m

7．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为( )

A．1 B． C．2 D．

8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )

A． B． C． D．


二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：9a2b﹣b3=__________．

10．已知两圆的半径分别为2cm和4cm，它们的圆心距为6cm，则这两个圆的位置关系是__________．

11．若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是__________．

12．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为__________；第n个正方形的面积为__________．



三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：3tan30°+（2﹣）0﹣（）﹣1+|﹣|．

14．已知抛物线y=x2﹣4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标．

15．解不等式组：．

16．已知x2+4x﹣5=0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2的值．

17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°．求接线柱AB的长．


18．已知：抛物线y=x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为非正整数时，关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1有整数根，求m的值．


四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC=，AD=4．求DC的长．


20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．

21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积；
（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．


22．如图，在⊙O中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，连结AF．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若OD=1，CF=，求AF的长．



五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（﹣1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的表达式及a的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．


24．对于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．
①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点；
②在①所画图形的基础上求AE的长．


25．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF．
（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD．请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长；
（3）如图3，若旋转α（0°＜α＜90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）．




2022学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试卷


一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的倒数是( )
A． B． C．2 D．﹣2

考点：倒数．
分析：互为倒数的两数之积为1，从而可得出答案．
解答： 解：﹣的倒数为﹣2．
故选D．
点评：此题考查了倒数的知识，属于基础题，注意掌握互为倒数的两数之积为1．

2．2014年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，将11000用科学记数法表示应为( )
A．1.1×104 B．1.1×103 C．11×103 D．0.11×105

考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将11000用科学记数法表示为1.1×104．
故选A．
点评：本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100°，则∠A的度数为( )

A．40° B．50° C．80° D．100°

考点：圆周角定理．
分析：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．
解答： 解：由题意得∠A=∠BOC=×100°=50°．
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是( )
A． B． C． D．

考点：同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系．
分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答．
解答： 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA=，
∴cosB=．
故选：B．
点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．

5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为( )
A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+6
考点：二次函数图象与几何变换．
专题：几何变换．
分析：先确定抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点平移的规律得到点（1，3）平移后对应点的坐标为（2，6），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答： 解：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得对应点的坐标为（2，6），所以新抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+6．
故选D．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

6．在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( )
A．15m B．m C．60 m D．24m

考点：相似三角形的应用．
分析：根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求解即可．
解答： 解：设旗杆的高度为xm，
由题意得，=，
解得x=15，
答：这根旗杆的高度为15m．
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．

7．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为( )

A．1 B． C．2 D．

考点：相似三角形的判定与性质．
分析：由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到=，代入可求得CD．
解答： 解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴=，即=，
∴CD=2，
故选C．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )

A． B． C． D．

考点：动点问题的函数图象．
专题：压轴题；动点型．
分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
解答： 解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴=，
即=，
∴y=，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．

点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．

二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：9a2b﹣b3=b（3a+b）（3a﹣b）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：原式提取b后，利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=b（9a2﹣b2）
=b（3a+b）（3a﹣b）．
故答案为：b（3a+b）（3a﹣b）．
点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10．已知两圆的半径分别为2cm和4cm，它们的圆心距为6cm，则这两个圆的位置关系是外切．

考点：圆与圆的位置关系．
分析：根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．
解答： 解：∵2+4=6，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．
故答案为：外切．
点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．

11．若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是m＜2．

考点：反比例函数的性质．
分析：先根据反比例函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解答： 解：∵函数y=的图象在每一象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案为：m＜2．
点评：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数在每一象限内的增减性是解答此题的关键．

12．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为5；第n个正方形的面积为5×（）2n﹣2．


考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：规律型．
分析：根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算第一个正方形的面积，从中找出规律，进而可求出第n个正方形的面积．
解答： 解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=，tan∠ADO==，
∵tan∠BAA1==tan∠ADO，
∴BA1=AB=，
∴CA1=+，
同理，得：C1A2=（+）×（1+），
由正方形的面积公式，得：S1=（）2=5，
S2=（）2×（1+）2，
S3=（）2×（1+）4=5×（）4，
由此，可得Sn=（）2×（1+）2（n﹣1）=5×（）2n﹣2．
故答案为：5；5×（）2n﹣2．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：3tan30°+（2﹣）0﹣（）﹣1+|﹣|．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
解答： 解：原式=3×+1﹣2+2=3﹣1．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．已知抛物线y=x2﹣4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标．

考点：二次函数的性质．
分析：把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
解答： 解：y=x2﹣4x+5
=x2﹣4x+4﹣4+5
=x2﹣4x+4+1
=（x﹣2）2+1，
所以抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）．
点评：本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理顶点式形式求解更加简便．

15．解不等式组：．

考点：解一元一次不等式组．
分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解答： 解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．

16．已知x2+4x﹣5=0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2的值．

考点：整式的混合运算—化简求值．
专题：计算题．
分析：原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
解答： 解：∵x2+4x﹣5=0，即x2+4x=5，
∴原式=2x2﹣2﹣x2+4x﹣4=x2+4x﹣6=5﹣6=﹣1．
点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°．求接线柱AB的长．


考点：解直角三角形的应用．
分析：过D作DN⊥AC于N，过B作BF⊥AC于F．由题意可求得DN=BF=，再由∠A=30°解直角三角形可求出AB的长度．
解答： 解：作DN⊥AC于N，BF⊥AC于F．
∵CD=1m，∠ACD=60°，
∴DN=BF=．
在Rt△AFB中∠A=30°，BF=AB，
∴AB=2BF=（m）．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值要熟练掌握．

18．已知：抛物线y=x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为非正整数时，关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1有整数根，求m的值．

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式．
分析：（1）抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．
（2）根据（1）求出m的值．然后将其代入关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1，通过解方程求得该方程的根，通过该方程的根是否是整数进行验证即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
即[﹣2（m+2）]2﹣4（m2﹣1）=16m+20＞0，
解得m＞﹣，即m的取值范围是m＞﹣；

（2）由（1）知，m＞﹣．
∵m为非正整数，
∴m=0或m=﹣1．
①当m=0时，由原方程得到：y=x2﹣4x﹣1．
解得 x=（不合题意）．
则m=0不合题意；
②当m=﹣1时，由原方程得到：y=x2﹣2x=x（x﹣2）．
解得 x1=0，x2=2，
0和2都是整数，
则m=﹣1符合题意．
综上所述，m的值是﹣1．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；②抛物线与x轴无交点，则△＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则△=0．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC=，AD=4．求DC的长．


考点：解直角三角形．
分析：先在Rt△BCD中，由sin∠BDC=，得出∠BDC=60°，∠CBD=90°﹣∠BDC=30°，则∠ADC=∠ADB+∠BDC=165°，根据四边形内角和定理求出∠ABC=360°﹣∠A﹣∠ADC﹣∠C=75°，于是∠ABD=75°﹣30°=45°．在△ABD中，由正弦定理得出=，即=，求出BD=2，然后在Rt△BCD中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出DC=BD=．
解答： 解：在Rt△BCD中，∵∠C=90°，sin∠BDC=，
∴∠BDC=60°，∠CBD=90°﹣∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°+60°=165°，
∴∠ABC=360°﹣∠A﹣∠ADC﹣∠C=75°，
∴∠ABD=75°﹣30°=45°．
在△ABD中，∵=，
∴=，
∴BD=2，
∴DC=BD=．
点评：本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，四边形内角和定理，正弦定理，含30°角的直角三角形的性质，难度适中．求出BD的长是解题的关键．

20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．

考点：列表法与树状图法；概率公式．
分析：（1）由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出白颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，
∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：；
（2）画树状图得：

由树形图可知所有可能的情况有9种，其中两次取出的都是白色球有1种，所以两次取出的都是白色球的概率=．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于放回实验．

21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积；
（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．


考点：作图-旋转变换；作图—相似变换．
分析：（1）利用旋转的性质得出各对应点位置进而利用扇形面积公式得出答案；
（2）利用相似三角形的性质将各边扩大2倍，进而得出答案．
解答： 解；（1）如图所示：△A′BC′即为所求，
∵AB==，
∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积为：=；

（2）如图所示：△A″B″C″∽△ABC，且相似比为2．

点评：此题主要考查了相似变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．

22．如图，在⊙O中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，连结AF．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若OD=1，CF=，求AF的长．


考点：切线的性质．
分析：（1）根据垂径定理和切线的性质定理就可证得；
（2）连接BF，BD，根据切线长定理就可求得BC，进而根据三角形相似求得BD=BF，然后根据勾股定理就可求得．
解答： 解：（1）∵直径AB交弦ED于点G，EG=DG，
∴AB⊥ED，
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴DE∥BC；
（2）连接BF，BD，
∵OD=1，CF=，
∴CD=OD+CF=，
∵BC是⊙O的切线，
∴BC2=CF•CD=×=，
∴BC=，
∵∠CBF=∠CDB，∠BCF=∠DCB，
∴△CBF∽△CDB，
∴==，
∴BD=BF，
∵AF=BD，
∴AF=BF，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∴AB=2OD=2，
∴AF2+（AF）2=22，
∴AF=．

点评：本题考查了垂径定理的应用，切线的性质定理，直径所对的圆周角的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形和相似三角形是本题的关键．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（﹣1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的表达式及a的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．


考点：二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．
分析：（1）根据点A、B的坐标可以得到对称轴方程为x=1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式；
（2）通过图象可以看出点B纵坐标t的取值范围．
解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n过点A（﹣1，a ），B（3，a），
∴抛物线的对称轴x=1．
∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，
∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．
∴抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2﹣4，
即y=2x2﹣4x﹣2．
把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式，求出a=4；

（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y轴的对称点为点D，
∴D（﹣1，﹣4）．
求出直线CD的表达式为y=﹣4．
求出直线BD的表达式为y=2x﹣2，当x=1时，y=0．
所以﹣4＜t≤0．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．

24．对于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．
①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点；
②在①所画图形的基础上求AE的长．


考点：相似形综合题．
分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解；
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；②连接DE、CE．设AE=x，则EB=8﹣x，AD=3，根据点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”．得到△ADE∽△BCE，于是得到，代入相关数据，解方程即可得到结果．
解答： 解：（1）由图可知，∠A=∠B=45°，
∵∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）①如图1所示，在AB边上存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”，这样的点有2个，点E，E′即为所求；
②连接DE、CE．
设AE=x，
∴EB=8﹣x，AD=3，
∵点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”．
∴△ADE∽△BCE，
∴，
∵AD=BC=3，
∴，
解得：x=4±，
∴AE=4+或AE=4﹣．

点评：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．

25．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF．
（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD．请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长；
（3）如图3，若旋转α（0°＜α＜90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）．


考点：几何变换综合题．
分析：（1）首先根据题意，把线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，再连接DE，即可补全△DBE；然后判断出AF垂直平分BD，即可推得DF=BF，∠AFB=∠DFG，在Rt△DGF中，求出∠DFG的度数，即可判断出∠AFB的度数．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ABG∽△DFG，即可判断出∠DFG=∠ABG=90°；然后推得A、B、D、F在以AD为直径的圆上，再根据圆周角定理，可得∠AFB=∠ADB=45°；最后在△ABF中，由正弦定理，求出BF的长是多少即可．
（3）首先根据∠A=∠D=30°，可得A、B、D、F四点共圆，所以∠AFB=∠ADB，在△ABD中，求出∠ADB的度数，即可求出∠AFB的度数；然后在△ABF中，由正弦定理，求出BF的长是多少即可．
解答： 解：（1）如图1，AC、BD交于点G，，
∵线段BA绕点B旋转60°得到线段BD，
∴∠ABD=60°，AB=BD，
又∵∠A=30°，
∴∠AGB=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AF⊥BD，
∵∠AGB=90°，∠A=30°，
∴BG=AB=BD，
∴AF垂直平分BD，
∴DF=BF，
∴∠AFB=∠DFG，
∵∠DGF=∠AGB=90°，∠D=∠A=30°，
∴∠DFG=90°﹣30°=60°，
∴∠AFB=60°．

（2）如图2，AC、BD交于点G，连接AD，，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，
∴∠ABD=90°，AB=BD，
∴ADB=45°，
在△ABG和△DFG中，

∴△ABG∽△DFG，
∴∠DFG=∠ABG=90°，
∴A、B、D、F在以AD为直径的圆上，
∴∠AFB=∠ADB=45°．
在△ABF中，由正弦定理，可得
，
∴，
解得BF=．

（3）如图3，，
∵∠A=∠D=30°，
∴A、B、D、F四点共圆，
∴∠AFB=∠ADB，
在△ABD中，
∵AB=BD，∠ABD=α，
∴∠ADB=∠DAB，
∴∠ADB=（180°﹣α）÷2=90°﹣α，
∴∠AFB=90°﹣α；
在△ABF中，由正弦定理，可得
，
∴，
解得BF=．
点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了图形旋转的性质和应用，要熟练掌握．