2022年安徽省合肥市瑶海区育英学校中考数学二模试卷（含解析）
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一．选择题（本题共10小题，共40分）
- 的相反数是
A. B. C. D.
- 安徽省统计局数据显示，年一季度安徽省生产总值亿元，同比增长其中第二产业增速最快，一季度第二产业增加值亿元，同比增长将数据“亿”用科学记数法表示
A. B. C. D.
- 如图所示几何体的俯视图是
A.
B.
C.
D.
- 下列运算中，正确的是
A. B.
C. D.
- 疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用在线上购物，某购物今年二月份用户比一月份增加了，三月份用户比二月份增加了，求二、三两个月用户的平均每月增长率．设二、三两个月平均增长率为，下列方程正确的是
A.
B.
C.
D.
- 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是
A. B. C. D.
- 若关于的方程没有实数根，则的值可以为
A. B. C. D.
- 如图，在等腰直角三角形中，，，是上一点，若，则的长是
A.
B.
C.
D.
- 已知，，则可表示为
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，在以为腰在的一侧构造等腰直角，，则的最小为
B.
C.
D.
二．填空题（本题共4小题，共20分）
- 不等式的解集是______ ．
- 分解因式______．
- 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则反比例函数的表达式为______．
- 如图，正方形的边长是，对角线的交点为，点在边上且，，连接，则：
______；
______．
|
三．解答题（本题共9小题，共90分）
- 先化简、再求值：，其中．
- 中国古代数学著作孙子算经中有这样一个问题，原文：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，所乘车都坐满，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
- 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，的顶点都在格点上，请完成下列任务在网格之内面图：
请画出绕点按顺时针方向旋转后得到的；线段旋转到的过程中，所扫过的图形的面积是______ ；
以点为位似中心，位似比为，将放大得到．
- 观察下列图形中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式：______ 用含的等式表示；
若第组图形中左右两边各有个小黑点，求．
- 某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为：，点到大楼的距离为米，求大楼的高度．
参考数据：，，
- 如图，为的外接圆，直线与相切于点，弦，与相交于点．
求证：；
若，，求的半径．
|
- 受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
若该校共有名学生，估计全校用手机上网课的学生共有______ 名；
在上网课时，老师在、、、四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
- 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求该抛物线解析式；
已知点在轴负半轴，且，直接写出直线的解析式；
已知是线段上的一个动点，且轴，交抛物线于点，当取最大值时，求点的坐标．
- 如图，在四边形中，，点为上一点，且，过点作交的延长线于点，连接，．
求证：≌；
如图，连接交于点．
若求证：平分；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，利用此概念解答即可．
本题考查了相反数的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中心位置是一个圆．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据单项式乘单项式可以判断；根据单项式除以单项式可以判断；根据积的乘方可以判断；根据同类项的定义可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设二、三月份平均每月的增长率为，
依题意，得：．
故选：．
设二、三月份平均每月的增长率为，根据第一个月的表示出增长后的量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
根据已知可知，，再根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
根据关于的方程没有实数根，判断出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值．
【解答】
解：关于的方程没有实数根，
，
解得：，
故选A．
8.【答案】
【解析】解：作于点．
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
，
又，
．
，
，
在等腰直角中，由勾股定理，得．
故选B．
作，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
此题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．
9.【答案】
【解析】解：，
，
两边同时平方得：，
移项得：，
又，
，
，
，
故选：．
把第一个式子中的移项到等号的右侧，等式两边同时平方，经过变形为，再结合第二个式子即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用，在解题过程中的整体性代入思想也很重要．
10.【答案】
【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，与的交点为点，由于是等腰直角三角形，，因此点与点重合，
，，
，，，
，
的最小，
应和重合，，
，
故选：．
将绕点顺时针旋转得到，可得，，，再求出，据此求解即可．
本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的性质，两点之间线段最短等，解题的关键是作出旋转图形．
11.【答案】
【解析】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，掌握分解因式的方法是解决此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设点坐标为，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设点坐标为，用含代数式表示长度，再由三角形面积得的值．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数的关系，解题关键是通过设参数表示出点坐标，然后通过已知条件求出点横纵坐标的积的关系．
14.【答案】
【解析】解：在上截取，
在正方形，，，，，，、分别平分、，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：；
在中，根据勾股定理，得，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：．
在上截取，根据正方形性质，得，，，再根据同角的余角相等，得，从而证明≌，进而得到；
在中，根据勾股定理，得，再根据等面积法求出，再通过两次勾股定理的应用得出．
本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
15.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先将括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，然后约分，再算加法即可，最后将的值代入化简后的式子计算．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
16.【答案】解：设共有人，辆车，
根据题意得：，
解得：，
答：共有人，辆车．
【解析】设共有人，辆车，由题意：每人共乘一车，所乘车都坐满，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】；
如图所示：即为所求．
【解析】直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；直接利用扇形面积求法得出扫过的图形的面积；
利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换以及位似变换和扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
18.【答案】；
；
由题知，
即；
解得或舍去，
故此时的值为．
【解析】解：由题知第个等式为：，
故答案为：；
由题知第个等式为：，
故答案为：；
根据上面的等式规律继续写出第五个等式即可；
根据等式规律总结出第个等式；
由的规律解方程即可．
本题主要考查数字的变化规律，归纳出等式两边的数字变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：如图，过点作于点，于点，
，
易得四边形是矩形，
，，
在中，：：：，
设，，
根据勾股定理，得，
，
解得，
，
，
，
在中，，
米．
答：大楼的高度约为米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
过点作于点，于点，可得四边形是矩形，根据斜坡的坡度为：，设，，利用勾股定理可得的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度．
20.【答案】证明：连接，交于，连接，
直线与相切于点，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
的半径为．
【解析】由切线的性质可得，由垂径定理可得，可得结论；
由垂径定理可得，由勾股定理可求，的长，即可求解．
本题考查了圆的有关知识，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21.【答案】抽取的总人数是：人，
手机的人数是：人，补全统计图如下：
；
根据题意画树状图如下：
共有种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率是．
【解析】解：见答案
全校用手机上网课的学生共有：名；
故答案为：；
见答案
根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，从而补全统计图；
用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查概率公式、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：将点和分別代入中，
得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
由知，，，
，
，
，
，
，
设的解析式为，将点代入，得：，
解得：，
的解析式为；
延长交中的于点，由题意可得，
设线段所在直线的解析式为，分别代入和得，
，
，
轴，
，
，
，
，
设点的横坐标为，其中，则，
此时，
开口向下，且，
当时，最大即取最大值，此时．
【解析】将，代入抛物线解析式即可；
勾股定理求出，很久即可得知的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
由得，再由轴得，从而，故B，即可得到，设出的坐标将表示成二次函数配方即可．
此题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、线段和的最大值、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，解决此题的关键是将转化为．
23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
即，
，
在和中，
，
≌；
证明：如图，连接，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
平分；
解：由可知，≌，
，
，
，，
，
∽，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
，
∽，
，
，
，
，
即，
两边除以得：，
解得：或舍去，
．
【解析】先证，再证四边形是平行四边形，则，，然后证，则，由即可得出结论；
连接，先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论；
先证∽，得，再由，得，进而证∽，得，则，然后求出，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
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