2022年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学一模试卷（含解析）
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一．选择题（本题共10小题，共20分）
- 四个数：，，，中最大的数是
A. B. C. D.
- 用科学记数法表示，结果是
A. B. C. D.
- 已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是
A. B. C. D.
- 不等式的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
- 下列各式中，计算正确的是
A. B.
C. D.
- 如图，，分别与，交于点，若，，则的度数是
A.
B.
C.
D.
- 直线与直线的交点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
- 某班在体育活动中，测试了十位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到十个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，则计算结果不受影响的是
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数
- 如图，，，是上的三个点，，，则的度数是
A.
B.
C.
D.
- 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：，，，，其中正确结论个数是
B.
C.
D.
二．填空题（本题共6小题，共18分）
- 因式分解：______．
- 将二次函数转化成顶点式为：______．
- 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，中，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，于点，若，则的值为______．
|
- 如图，一条东西向的大道上，，两景点相距，景点位于景点北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距______．
- 如图，中，、分别是、的中点，平分，交于点，若，则的长是______ ．
|
- 如图，在中，，点是上的中点．点是边上的动点，若要使为直角三角形，则______．
|
三．解答题（本题共9小题，共82分）
- 先化简，再求值：，请在，，，中选择一个适当的数作为值．
- 为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：
请根据以上图表，解答下列问题：
零花钱数额元 | 人数频数 | 频率 |
这次被调查的人数共有______人，______．
计算并补全频数分布直方图；
请估计该校名学生中每月零花钱数额低于元的人数．
- 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的，，，四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
甲组抽到小区的概率是______ ；
请用列表或画树状图的方法求甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率．
- 如图，在四边形中，，，平分．
求证：四边形是菱形；
过点作，交的延长线于点，若，，求四边形的周长．
- 某口罩生产厂生产的口罩月份平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从月份起扩大产能，月份平均日产量达到个．
求口罩日产量的月平均增长率；
按照这个增长率，预计月份平均日产量为多少？
- 如图，是的外接圆，是的直径，．
求证：是的切线；
若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
|
- 如图，已知点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，，点在线段上，从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作轴于点．
当时，线段的长为______．
当时，求的值；
在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
- 已知：如图，是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点，连接．
求证：≌；
直接写出的度数；
求证：．
|
- 如图，已知抛物线经过点，．
求抛物线和直线的解析式；
点是直线上方抛物线上一动点．
当的面积最大时，直接写出点的坐标______；
过点作轴交于点，是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
在下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
四个数：，，，中最大的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】解：，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设反比例函数解析式为，
将代入，得：，
解得，
所以这个反比例函数解析式为，
故选：．
已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式，再将点的坐标代入求出待定系数的值，从而得出答案．
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；
把已知条件自变量与函数的对应值带入解析式，得到待定系数的方程；
解方程，求出待定系数；
写出解析式．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为得，．
在数轴上表示为：
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、应为，故本选项错误；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选：．
根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
．
故选：．
直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出，进而利用三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：直线与直线的大致图象如图所示：
．
，，而正比例函数的，故图象的交点位于第二象限．
故选：．
根据直线方程作出大致函数图象，根据图象可以直接作出选择．
本题考查了两条直线相交或平行问题．解答该题时，需要掌握一次函数的图象与系数的关系．
8.【答案】
【解析】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：．
根据中位数的定义解答可得．
本题主要考查方差、众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
9.【答案】
【解析】解：根据图可知：．
．
由三角形外角性质可得：．
．
故选：．
利用圆周角定理可求在利用三角形外角的性质即可求解．
本题考查圆周角定理，三角形外角知识．关键在于找到．
10.【答案】
【解析】解：开口向下，，抛物线与轴交于正半轴，，根据对称轴为，则，所以，正确；
根据时，所以，正确；
根据对称轴为，即，，正确；
由抛物线与轴有两个交点，所以，正确
故选：．
由抛物线开口向下，，抛物线与轴交于正半轴，，根据对称轴为，则，判断；根据时，判断；根据对称轴为，即，判断；根据函数图象可以判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性．
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
直接利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：．
12.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
利用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，，
，
又曲线位于第一象限，
．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质以及反比例函数中的几何意义即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：根据题意可知：
，，
，，
．
，两景点相距．
故答案为：．
根据题意可得，，，所以，根据，和锐角三角函数即可求出，两景点距离．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
15.【答案】
【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
平分，
，
，
，
是的中点，，
，
．
故答案为：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义可得，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据线段中点的定义解答即可．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟记定理以及各性质并准确识图是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】
解：在中，，，，
，
是中点，
，
分两种情形：当时，∽，
，
，
；
当，易证：，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为或．
17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式，在原分式中，为了使分式有意义，分母不等于，即，解得且，因此把代入计算即可．
18.【答案】解：；；
补全频数直方图如下：
估计每月零花钱的数额范围的人数为
．
【解析】
【分析】
此题主要考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
根据组频数及其所占百分比可得总人数，组人数除以总人数可得的值．
根据以上所求结果即可补全直方图；
利用总人数乘以对应的比例即可求解．
【解答】
解：这次被调查的人数共有，则；
故答案为：；；
见答案；
见答案．
19.【答案】
【解析】解：共有，，，，个小区，
甲组抽到小区的概率是，
故答案为：．
根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的结果数为，
甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长．
【解析】根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据菱形的判定即可得到结论；
由垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：设口罩日产量的月平均增长率为，根据题意，得
解得舍去，，
答：口罩日产量的月平均增长率为．
个．
答：预计月份平均日产量为个．
【解析】根据题意设口罩日产量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解；
结合按照这个增长率，根据月份平均日产量为个，即可预计月份平均日产量．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．
22.【答案】证明：连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，于是得到结论；
易得，得到，推出，于是得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练正确切线的判定定理是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
当时，，
，
轴，
，
，
，
故答案为：；
由题意，．
，
，即，
；
分三种情况：
当时，如图，此时点，；
当时，如图，此时点；
当时，如图，
设，
，
，
；
综上所述，点的坐标为或或或．
证明是的中位线，可得结论；
由，可得比例式，由此构建方程求出即可；
分三种情形：当时．当时．当时，正确画得可解答．
本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：是等边三角形，
，，
将线段绕逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
；
，
点，，，四点共圆，
，
在上取一点，使，
是等边三角形，，，
，
，
，
，
≌，
．
【解析】由“”可证≌；
根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答即可；
根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可．
本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：抛物线经过点，．
，解得，
抛物线的解析式为，
．
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；
设点．
点，．
，
，
当时，的面积最大为，此时点的坐标为；
故答案为：；
如图：
轴，
轴，
点，直线的解析式为．
，
，
点，．
，
当时，的面积最大为，此时点的坐标为；
，
若在下方的抛物线上存在点，使得，则点到的距离等于点到的距离，
，
直线的解析式为．
的解析式为，
联立得：，
，，
存在，点的坐标为或
利用待定系数法即可求解；
设点表示出的面积，利用二次函数的性质即可求解；
过点作轴交于点，则，表示出的面积，利用二次函数的性质即可求解；
由得：若在下方的抛物线上存在点，使得，则点到的距离等于点到的距离，可得，求出的解析式，联立即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，三角形的面积，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．
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