苏教版 (2019)必修 第二册14.2 抽样导学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册14.2 抽样导学案，共9页。学案主要包含了概念认知，自我小测，基础全面练，综合突破练等内容，欢迎下载使用。


【概念认知】
1．分层抽样
(1)分层抽样的定义
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样．
(2)分层抽样的步骤
①将总体按一定标准分层；
②计算各层的个体数与总体的个数的比；
③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).
2．两种抽样方法的特点及适用范围
(1)随机样本
为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中的每个个体被抽到的概率相等，如果一个样本是按照这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本．
(2)两种抽样方法的特点及适用范围
【自我小测】
1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～110分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
【解析】选B.A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适于用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
2．经调查，在某商场扫码支付的老年人，中年人，青年人的比例为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为9，则n＝( )
A．30 B．40 C．60 D．80
【解析】选A.因为老年人，中年人，青年人的比例为2∶3∶5，又中年人为9人，所以老年人为6人，青年人为15人，所以n＝6＋9＋15＝30.
3．(教材练习改编)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按 eq \f(1,100) 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )
A．8 B．11 C．162 D．10
【解析】选A.若设高三学生数为x，则高一学生数为 eq \f(x,2) ，高二学生数为 eq \f(x,2) ＋300，所以有x＋ eq \f(x,2) ＋ eq \f(x,2) ＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为 eq \f(800,100) ＝8.
4．在距离2016年央视春晚直播不到20天的时候，某节目被取消，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：
若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________．
【解析】由分层抽样的方法，得持“支持”态度的网民抽取的人数为48× eq \f(8 000,8 000＋6 000＋10 000) ＝48× eq \f(1,3) ＝16.
答案：16
5．某县共有320个自然村，其中山区32个，丘陵地区240个，平原地区48个．为调查村民收入状况，要从中抽出20个村进行调查，试设计一种比较合理的抽样方案，并简述抽样过程．
【解析】由于各地区自然条件的限制，各地区村民的经济收入有较大差异，故采用分层抽样法较为合理．
因为 eq \f(20,320) ＝ eq \f(1,16) ，所以按 eq \f(1,16) 的比例抽取，应在山区抽取32× eq \f(1,16) ＝2(个)，丘陵地区抽取240× eq \f(1,16) ＝15(个)，平原地区抽取48× eq \f(1,16) ＝3(个).
具体实施过程：对于山区和平原地区，由于自然村数量较少，可采用抽签法，具体实施过程略．对于丘陵地区，自然村个数较多且差异不大，可采取随机数表法．首先将240个村按001，002，…，240编号，然后用随机数表法抽取15个．这样便得到了一个容量为20的样本．
【基础全面练】
一、单选题
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层抽样 D．随机数表法
【解析】选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．
2．下列试验中最适合用分层抽样方法抽样的是( )
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
【解析】选D.D中总体有明显差异，故用分层抽样．
3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题，“今有北乡8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人．”在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是( )
A．112 B．128 C．145 D．167
【解析】选D.从南乡征集的人数大约是8 356× eq \f(487,8 758＋7 236＋8 356) ≈167(人).
4．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人
【解析】选B.先求抽样比 eq \f(n,N) ＝ eq \f(90,3 600＋5 400＋1 800) ＝ eq \f(1,120) ，然后各层按抽样比分别抽取，
甲校抽取3 600× eq \f(1,120) ＝30(人)，
乙校抽取5 400× eq \f(1,120) ＝45(人)，
丙校抽取1 800× eq \f(1,120) ＝15(人).
5．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，普通职员90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为( )
A．5，10，15 B．3，9，18
C．3，10，17 D．5，9，16
【解析】选B.分层抽样是按比例抽取的，
设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为a，b，c，则 eq \f(a,15) ＝ eq \f(b,45) ＝ eq \f(c,90) ＝ eq \f(30,150) ，解得a＝3，b＝9，c＝18.
6．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
【解析】选B.因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，
所以四个社区抽取驾驶员的比例为 eq \f(12,96) ＝ eq \f(1,8) ，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷ eq \f(1,8) ＝808(人).
二、多选题
7．某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区学生有1 600人、西部地区学生有1 000人．从中选取100人为样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有( )
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；
②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；
③西部地区学生小刘被选中的概率为 eq \f(1,50) ；
④中部地区学生小张被选中的概率为 eq \f(1,5 000) .
A．① B．② C．③ D．④
【解析】选AC.A.由分层抽样的概念可知，取东部地区学生100× eq \f(2 400,2 400＋1 600＋1 000) ＝48人、中部地区学生100× eq \f(1 600,2 400＋1 600＋1 000) ＝32人、西部地区学生100× eq \f(1 000,2 400＋1 600＋1 000) ＝20人，题中的说法正确；
B．新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；C.西部地区学生小刘被选中的概率为 eq \f(100,2 400＋1 600＋1 000) ＝ eq \f(1,50) ，题中的说法正确；
D.中部地区学生小张被选中的概率为 eq \f(100,2 400＋1 600＋1 000) ＝ eq \f(1,50) ，题中的说法错误；
综上可得，正确的说法是AC.
8．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，下列说法不正确的是( )
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n· eq \f(Ni,N) (i＝1，2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
【解析】选ABD.每层的个体数不一定都一样多，所以选项A不正确；
又因为由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以选项B不正确；
对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，所以选项C正确；
每层抽取的个体数是有限制的，所以选项D不正确．
三、填空题
9．我校高一、高二、高三共有学生2 400名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层随机抽样的方法，从这2 400名学生中抽取一个容量为48的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为________．
【解析】设从高一年级抽取的学生人数为2x，则从高二、高三年级抽取的人数分别为2x＋2，2x＋4.由题意可得2x＋(2x＋2)＋(2x＋4)＝48，所以x＝7.故高二年级抽取16人，设我校高二年级的学生人数为N，再根据 eq \f(48,2 400) ＝ eq \f(16,N) ，求得N＝800.
答案：800
10．某高中各年级男、女生人数统计如表：
按年级分层随机抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝________．
【解析】由题意可得 eq \f(80,592＋563＋520＋528＋517＋a) ＝
eq \f(27,563＋517) ，求得a＝480.
答案：480
四、解答题
11．某校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，血型为A型的有125人，血型为B型的有125人，血型为AB型的有50人．为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，每种血型各有多少人？
【解析】因为40÷500＝ eq \f(2,25) ，所以应用分层抽样抽取血型为O型的 eq \f(2,25) ×200＝16(人)，A型的 eq \f(2,25) ×125＝10(人)，B型的 eq \f(2,25) ×125＝10(人)，AB型的 eq \f(2,25) ×50＝4(人).
12．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
(1)求x，y；
(2)若从高校B相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程．
【解析】(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有 eq \f(x,54) ＝ eq \f(1,3) ⇒x＝18， eq \f(36,54) ＝ eq \f(y,3) ⇒y＝2.故x＝18，y＝2.
(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．
【综合突破练】
一、选择题
1．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A．60 B．80 C．120 D．180
【解析】选C.从11～12岁的学生中回收180份问卷，从中抽取60份，则抽样比为 eq \f(1,3) .
因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，
所以从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为 eq \f(300,\f(1,3)) ＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为x＝900－120－180－240＝360(份).
所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360× eq \f(1,3) ＝120(份).
2．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．40 B．30 C．20 D．36
【解析】选A.抽样比为 eq \f(90,360＋270＋180) ＝ eq \f(1,9) ，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360× eq \f(1,9) ＝40.
3．(多选)某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表，用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则下列说法正确的为( )
A.抽到8位青年人 B．抽到6位中年人
C．中年人有6人 D．中年人有30人
【解析】选ABD.设该单位的中年人的人数为x，则由题表可知， eq \f(3,15) ＝ eq \f(17,15＋x＋40) ，
解得x＝30.因此在抽取的17人中，中年人的人数为30× eq \f(17,15＋30＋40) ＝6.
由抽样比可知抽到的青年人为8人．
二、填空题
4．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
【解析】应从丙种型号的产品中抽取60× eq \f(300,1 000) ＝18件．
答案：18
5．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是________．
【解析】设一班被抽取的人数是x，
则 eq \f(x,54) ＝ eq \f(16,42＋54) ，解得x＝9，
所以一班被抽取的人数是9，二班被抽取的人数是16－9＝7.
答案：9，7
6．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．
【解析】设三种型号的轿车依次应抽取x辆，y辆，z辆，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,1 200)＝\f(y,6 000)＝\f(z,2 000)，,x＋y＋z＝46，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝30，,z＝10.))
答案：6，30，10
三、解答题
7．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．
【解析】第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以 eq \f(20,200) ＝ eq \f(1,10) ；
第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：100× eq \f(1,10) ＝10，二级品：60× eq \f(1,10) ＝6，三级品：40× eq \f(1,10) ＝4；
第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本；
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
8．为了对某课题进行研究，从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n.
(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的 eq \f(2,3) ，求三所高校的教授的总人数．
【解析】(1)因为0所以高校B中抽取2人，所以高校A中抽取1人，高校C中抽取3人，
所以 eq \f(1,m) ＝ eq \f(2,72) ＝ eq \f(3,n) ，解得m＝36，n＝108.
(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的 eq \f(2,3) ，
所以 eq \f(2,3) (m＋n)＝72，解得m＋n＝108，
所以三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.类别
特点
相互联系
适用范围
共同点
简单
随机
抽样
从总体中逐个抽取
——
总体中的个体数相对较少
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
分层
抽样
将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取
各层抽样时，可以采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
网民态度
支持
反对
无所谓
人数(单位：人)
8 000
6 000
10 000
高一
高二
高三
男生
592
563
520
女生
528
517
a
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
类别
人数
老年人
15
中年人
？
青年人
40