2021-2022学年湖南省长沙一中、广东省深圳实验学校高三（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙一中、广东省深圳实验学校高三（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖南省长沙一中、广东省深圳实验学校高三（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021秋•上期中）已知集合，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．（5分）（2021秋•上期中）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为　　
A． B．3 C． D．
3．（5分）（2021秋•上期中）已知所在平面内的一点满足，则点必在　　
A．的外面 B．的内部 C．边上 D．边上
4．（5分）（2021•肥城市模拟）某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：间的关系为：，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，则污染物减少需要花费的时间为　　（精确到，参考数据
A．30 B．31 C．32 D．33
5．（5分）（2021秋•上期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，某数学兴趣小组探究该类三角形时，初步提出下列四个判断：甲：；乙：；丙：；丁：．若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（5分）（2021秋•上期中）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一个动点．直线的方程为，记点到直线的距离为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
7．（5分）（2021秋•上期中）已知数列满足，且，数列的前项和为，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021秋•上期中）在四面体中，，，两两垂直且，以为球心，2为半径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021秋•上期中）下面是国家统计局2021年2月公布的国民经济和社会发展统计公报的部分内容：

下面对图表数据理解正确的是　　
A．年国内生产总值持续增长
B．2020年第一产业增加值不超过80000亿元
C．2020年第三产业增加值相比2019年增长率大于
D．分析年三次产业增加值，可知这5年内第三产业平均增长速度最快
10．（5分）（2021秋•上期中）已知，为正数，且，则　　
A． B．
C． D．
11．（5分）（2021秋•上期中）如图，、分别为边长为1的正方形的边、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是　　

A．平面
B．异面直线与所成的角为定值
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．三棱锥体积的最大值为
12．（5分）（2021秋•上期中）数学中一般用，表示，中的较小值，，表示，中的较大值，关于函数，有如下四个命题，其中是真命题的是　　
A．与的最小正周期均为
B．与的图象均关于直线对称
C．的最大值是的最小值
D．与的图象关于原点中心对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021秋•上期中）抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为 　　．
14．（5分）（2021秋•上期中）若且，则　　，　　．
15．（5分）（2021秋•上期中）已知，，动点在圆上，点满足，则的最大值是 　　．
16．（5分）（2021秋•上期中）已知，，则实数的取值范围为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021•未央区校级模拟）在中，内角、、的对边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
18．（12分）（2021秋•上期中）已知数列是公比为正整数的等比数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，；数列满足．证明：数列为等差数列，并求关于的解析式．
19．（12分）（2021秋•上期中）正方形的边长为2，，分别为边，的中点，为线段的中点，如图将正方形沿折起，设．
（1）直线与由，，三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；
（2）若二面角的余弦值的绝对值为，求的值．

20．（12分）（2021秋•上期中）设双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，且的面积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）动直线分别交直线，于，两点，分别在第一、四象限），且的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．
21．（12分）（2021秋•上期中）临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数；每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片；第，2，3，，位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
（1）若，求张老师同意参加文艺表演的概率；
（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
22．（12分）（2021秋•上期中）设函数．
（1）若，为函数的两个极值点，且，求实数的值；
（2）设函数在点，为非零常数）处的切线为，若函数图象上的点都不在直线的上方，试求的取值范围．

2021-2022学年湖南省长沙一中、广东省深圳实验学校高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021秋•上期中）已知集合，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：集合，，
，
，
即．
故选：．
2．（5分）（2021秋•上期中）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：，
，
，
的虚部为．
故选：．
3．（5分）（2021秋•上期中）已知所在平面内的一点满足，则点必在　　
A．的外面 B．的内部 C．边上 D．边上
【解答】解：根据题意，，则有，
变形可得：，
即点必在边上，
故选：．
4．（5分）（2021•肥城市模拟）某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：间的关系为：，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，则污染物减少需要花费的时间为　　（精确到，参考数据
A．30 B．31 C．32 D．33
【解答】解：由题意当时，，当时，，
所以，解得，所以．
当时，有，
即，解得．
故选：．
5．（5分）（2021秋•上期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，某数学兴趣小组探究该类三角形时，初步提出下列四个判断：甲：；乙：；丙：；丁：．若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：假设甲正确时，即，由于在锐角中，故，即丙也正确，故与题意矛盾，丙也不正确，
假设乙正确时，即，所以在锐角中，，此时甲和丙均正确，故与题意矛盾，
假设丙正确时，即，所以在锐角中，，此时甲、丙均正确，故不满足条件，
假设丁正确，故，由于，故，所以，即，此时，和的大小无法确定，故甲、丙、丁无法确定，故满足题意；
故选：．
6．（5分）（2021秋•上期中）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一个动点．直线的方程为，记点到直线的距离为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆的定义可知：，
所以，
所以，
所以时最小且为到直线的距离，
因为椭圆的离心率，
所以可得，
所以，
故选：．
7．（5分）（2021秋•上期中）已知数列满足，且，数列的前项和为，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：数列满足，且，
整理得：，
所以，
故当时，，
整理得：．
故选：．
8．（5分）（2021秋•上期中）在四面体中，，，两两垂直且，以为球心，2为半径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为　　
A． B． C． D．
【解答】如图，因为，所以球被平面截得的圆的半径，
所以球在内的交线为圆，长度为．
因为平面，平面，平面都过球心，所以截面为大圆，在这三个面的平面展开图中讨论．
如图，在△中，，，所以，同理．
所以，所以，
即球在，，内的交线长为．
所以与该四面体每个面的交线的长度和的值为．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021秋•上期中）下面是国家统计局2021年2月公布的国民经济和社会发展统计公报的部分内容：

下面对图表数据理解正确的是　　
A．年国内生产总值持续增长
B．2020年第一产业增加值不超过80000亿元
C．2020年第三产业增加值相比2019年增长率大于
D．分析年三次产业增加值，可知这5年内第三产业平均增长速度最快
【解答】解：选项，由图1可知正确；
选项，2020年第一产业增加值为亿元，小于80000亿元，正确；
选项，2020年第三产业相比2019年增长率，错误；
选项，分析 年三次产业增加值可知，第三产业增加值占国内生产总值比重由持续增长到；增长幅度最大，而第一产业和第二产业增加值占国内生产总值比重都有所下降，正确．
故选：．
10．（5分）（2021秋•上期中）已知，为正数，且，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于，令，，满足，，故错误，
对于，，，，
，故正确，
对于，令，，满足，，故错误，
对于，，等价于，
令，
，时，
在处取得最小值，且，即在上恒成立，故正确．
故选：．
11．（5分）（2021秋•上期中）如图，、分别为边长为1的正方形的边、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是　　

A．平面
B．异面直线与所成的角为定值
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．三棱锥体积的最大值为
【解答】解：选项，因为，平面，平面，
所以平面，故选项正确；
选项，取中点，连接，，

则，且，所以平面，所以，
异面直线与所成的角为，为定值，故选项正确；
选项，若直线与直线垂直，因为直线与直线也垂直，
则直线平面，所以直线直线，
又因为，所以平面，所以，
而是以和为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项不正确；
选项，，当平面平面时取最大值，
此时，故选项正确．
故选：．

12．（5分）（2021秋•上期中）数学中一般用，表示，中的较小值，，表示，中的较大值，关于函数，有如下四个命题，其中是真命题的是　　
A．与的最小正周期均为
B．与的图象均关于直线对称
C．的最大值是的最小值
D．与的图象关于原点中心对称
【解答】解：设，
则，
，
函数与的大致图象如下所示：

对，由图知，与的最小正周期均为；故错误；
对，由图知，为函数与的对称轴，故正确．
对，，由图知函数的值域为，，函数的值域为，，故错误；
对，由图知，与的图象关于原点中心对称，故正确；
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021秋•上期中）抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为 　　．
【解答】解：抛物线，即，
可得准线方程为，
由已知有，
解得，
故答案为：．
14．（5分）（2021秋•上期中）若且，则　6　，　　．
【解答】解：当时，根据关系式整理得：，
根据二项展开式，
由于，
整理得：，解得或（负值舍去），
所以，
当时，．
所以．
故答案为：6；63．
15．（5分）（2021秋•上期中）已知，，动点在圆上，点满足，则的最大值是 　　．
【解答】解：如图所示，取中点，因为，，所以，

可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
当，，三点共线时，取得最大值，
又因为，所以，
所以的最大值为．
故答案为：
16．（5分）（2021秋•上期中）已知，，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：因为，设，则，
又因为，，
时，，单调递增；时，，单调递减；
因此当时，有最小值，所以在上单调递增，
，，
设，则，令，解得．
当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减．
，．
故实数的取值范围为：．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021•未央区校级模拟）在中，内角、、的对边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【解答】解：（1）在中，内角、、的对边分别为，，，
．
由正弦定理得：，
化简，得：，
，
．
（2），，
由余弦定理得：，
，，
．解得，，
，，，
的面积．
18．（12分）（2021秋•上期中）已知数列是公比为正整数的等比数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，；数列满足．证明：数列为等差数列，并求关于的解析式．
【解答】解：（1）设数列的公比为是正整数），
由已知得，求得，所以．
（2）因为，
所以，
所以数列为等差数列．
又，所以，所以，
，
所以．
19．（12分）（2021秋•上期中）正方形的边长为2，，分别为边，的中点，为线段的中点，如图将正方形沿折起，设．
（1）直线与由，，三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；
（2）若二面角的余弦值的绝对值为，求的值．

【解答】解：因为直线与由，，三点所确定的平面的交点为，直线平面，
故点在平面内也在平面内，
所以点在平面与平面的交线上（如图所示），
因为，为的中点，
所以，所以，
所以点在的延长线上，且，
连接交于，因为四边形为矩形，所以是的中点，
连接，所以为的中位线，
所以，又因为平面，平面，
所以直线平面；
（2）如图，分别以，为，轴，过点垂直平面的直线为轴建立如图所的空间直角坐标系，
设平面的一法向量为，，，，1，，，1，，
由，则，令，则，，
所以平面的一法向量为，，，
设平面的一个法向量为，，，，，，
由，则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，，，
所以，，
解得，又，所以或，
所以当二面角的余弦值的绝对值为，的值为或．

20．（12分）（2021秋•上期中）设双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，且的面积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）动直线分别交直线，于，两点，分别在第一、四象限），且的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由双曲线性质知，由，，
得，
解得，
所以双曲线的离心率．
（2）由 （1）得渐近线，，设双曲线得方程为，
依题意得直线的斜率不为零，因此设直线的方程为，
设直线交轴于点，，，，，
联立
得，
同理得．
由的面积，
得，
即，
联立
得，
因为，所以，直线与双曲线只有一个公共点当且仅当△，
即△，将（1）式代入可得，
因此双曲线的方程为，
因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，双曲线的方程为．
21．（12分）（2021秋•上期中）临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数；每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片；第，2，3，，位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
（1）若，求张老师同意参加文艺表演的概率；
（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
【解答】解：（1）当时，设选出的是第，2，个同学，
连续两次卡片的方法数为，
第二次取出的是白色卡片的两次抽取卡片的颜色有如下两种情形：
（白，白），取法数为，
（红，白），取法数为，
从而第二次取出的是白色卡片的种数为，
则在第个同学手中第二次取出的是白色卡片的概率，
而选到第个同学的概率为，
故所求概率为；
（2）设选出的是第个同学，连续两次抽取卡片的方法数为，
第二次取出的是白色卡片的两次卡片颜色有如下两种情形：
（白，白），取法种数为，
（红，白），取法种数为，
从而第二次取出的是白色卡片的种数为：
，
则在第个同学中第二次取出的是白球的概率，
而选到第个同学的概率为，
故所求概率为，
又，
所以越大，张老师参加文艺表演的可能性最大，
因此，班长应该邀请班上的50名同学全部参与游戏，可使获胜的概率最大．
22．（12分）（2021秋•上期中）设函数．
（1）若，为函数的两个极值点，且，求实数的值；
（2）设函数在点，为非零常数）处的切线为，若函数图象上的点都不在直线的上方，试求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为且，
当时，函数，则；
当时，函数，则．
综上所述，，
因为，
又，为函数的两个极值点，
所以，为方程的两个根，
所以，
又，
所以，解得；
（2）因为，
又点，，
故切线方程为，
即，
令，
故，
当时，，，的关系如下表所示：






，


0


0



单调递增
极大值
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
当时，，，的关系如下表所示：



，






0


0



单调递增
极大值
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
函数的图象上的点都不在直线的上方，
等价于对于恒成立，
只需和同时成立，
因为，
则只需，
下面研究函数，
所以，
所以在上单调递增，
注意到（1），
当且仅当时，，
则当且仅当时，，
由，解得或，
故的取值范围为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2022/2/16 1:36:00；用户：张老师高数；邮箱：zhanggs@xyh.com；学号：32741197