2021-2022学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期初考试数学试题含解析

2021-2022学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期初考试数学试题

一、单选题

1．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.

【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减

得：，即.

故选：B

2．已知等比数列满足，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设数列的公比为，根据已知条件求出和，进而可求得的值.

【详解】设数列的公比为，则，即，解得.

因为，所以，则.

故选：B.

3．已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.

【详解】

对于A：记,则.

因为，所以点在平面α上

对于B：记,则.

因为，所以点在平面α上

对于C：记,则.

因为，所以点在平面α上

对于D：记,则.

因为，所以点不在平面α上.

故选：D

4．已知分别是等差数列的前项和，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用及等差数列的性质进行求解.

【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，

故选：D

5．已知是的极值点，则在上的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.

【详解】由题意，函数，可得，

因为是的极值点，可得，解得，

所以，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

由，

又由，所以，

所以当时，函数取得最大值，最大值为.

故选：A.

6．下列四个结论正确的是（　　）

A．任意向量，若，则或或

B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线

C．空间中任意向量都满足

D．已知向量，若，则＜＞为钝角

【答案】B

【分析】由，则或或，从而可判断A；

根据，可得，从而可判断B；

根据空间向量数量积的定义即可判断C；

根据＜＞为钝角，求出x的范围，即可判断D.

【详解】解：对于A，，则或或，即或或，故A错误；

对于B，因为，则，即，所以，所以A，B，C三点共线，故B正确；

对于C，，是与共线得向量，

，是与共线得向量，

而与方向不确定，故无法确定与是否相等，故C错误；

对于D，，

若，则，

当时，则存在唯一实数，使得，即，

所以，解得，

所以当，且时，＜＞为钝角，故D错误.

故选：B.

7．设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．

【详解】解：，

（3），

（3），

定义在的函数，

，

令，

不等式（3），

即为（3），

，

，

，

，

，

，

单调递增，

又因为由上可知（3），

，，

．

故选：．

【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．

8．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.

【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，

设直线AB的方程为，代入得：.

由根与系数的关系得，，

所以.

又直线CD的方程为，同理，

所以，

所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，

则由抛物线的定义可得.

所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.

故选：C.

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.

二、多选题

9．已知数列是等差数列，则下列说法正确的选项有（     ）

A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列

C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列

【答案】ACD

【分析】根据是等差数列，设，结合等差、等比数列的定义，逐项进行求解，即可得到答案．

【详解】由题意，数列是等差数列，设，

对于A中，设，可得（常数），

所以数列一定是等比数列，所以A正确；

对于B中，设，可得，

所以数列不一定是等差数列，所以B错误；

对于C中，设，

可得（常数），

则数列一定是等差数列，所以C正确；           

对于D中，设，可得，

当时，是常数数列，则数列可能是常数数列，所以D正确．

故选：ACD．

10．下列命题中正确的是（       ）

A．已知和是两个互相垂直的单位向量，，，且，则实数

B．已知正四面体的棱长为1，则

C．已知，，，则向量在上的投影向量的模长是

D．已知，，（为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面

【答案】ABC

【分析】利用向量的基本概念及基本运算逐一进行判断，即可得出结论．

【详解】A.因为，，且，

所以，

解得，所以A正确.

B. 正四面体对棱互相垂直，所以与，与夹角为，所以，所以B正确.

C.，，

向量在上的投影向量的模长是，所以C正确.

D.假设向量，，共面，则，所以，

即，

所以，解得，所以向量，，共面，所以D不正确.

故选：ABC.

11．已知双曲线，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2

B．若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为

C．若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为

D．若P为双曲线上任意一点，则点P到点和到直线的距离之比恒为2

【答案】BD

【分析】根据双曲线的性质、相关点法求轨迹方程、中点弦问题的处理方法对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对：双曲线的顶点为，，渐近线方程为，

顶点到渐近线的距离，

顶点到渐近线的距离，故A错误；

对：双曲线的左焦点的坐标为，设，，

∵，∴   ，

∴ ，，又在双曲线上，∴   ，

∴   ，故B正确；

对：设，，∵   线段AB的中点为，故，

由已知可得，所以，

∴，∴   直线AB的斜率为3，

∴   线段AB的方程为，即，故C错误；

对：设，点到点的距，

∴，又点P到到直线的距离，

∴   点P到点和到直线的距离之比恒为2，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考察双曲线的性质、中点弦问题的处理方法点差法，相关点法求轨迹方程；处理问题的关键是熟练应用不同问题对应的方法，属综合中档题.

12．已知函数，下列选项正确的是（       ）

A．函数在上单调递增

B．函数的值域为

C．若关于x的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是

D．不等式在恰有两个整数解，则实数的取值范围是

【答案】ACD

【分析】利用导数法求出分段函数的单调性，从而确定函数的单调性及值域即可判断A、B选项是否正确；由，解出的值，根据的图像判断有个不相等的实数根的条件，即可判断C选项是否正确；将原不等式转化，做出直线利用斜率的意义，结合数形结合思想确定的取值范围.

【详解】，

①、当时，，，

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在单调递增.

当时，有极小值为，

当时，,且，

当时，；当时，，且趋近于负无穷大时,趋近于.

②、当时，，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

时，函数有极大值为，

又趋近于正无穷大时,趋近于，时，，且

做出函数的图像如图示：

对于A选项：由函数的图像可知，函数在上单调递增，则A选项正确；

对于B选项：由函数的图像可知，函数的值域为，则B选项不正确；

对于C选项：由，可得，即或，

做出的图像如下：

由图像可知，有一个实数根，

关于x的方程有个不相等的实数根，有两个不相等且异于的实数根，

，，结合函数的图像可知，实数a的取值范围是，则C选项正确；

对于D选项：，，

分析可知：直线过点，当直线过点时，，

当直线过点时，，

结合函数的图像可知，当实数a的取值范围是时，不等式在恰有两个整数解为0与1，则D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F(2，0)，点F关于C的一条渐近线的对称点A恰好落在C的另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为____________.

【答案】

【分析】根据渐近线的对称性、对称求得的倾斜角，从而求得，进而求得，以及双曲线的离心率.

【详解】不妨设A在上，则F与A关于直线对称，

由渐近线关于y轴对称可知，过一、三象限的渐近线的倾斜角为，

即，又，，

解得a=1，b=，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：

14．已知，则在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，并求出，即可写出切线方程.

【详解】由题设，

∴，又，

∴在处的切线方程为，即.

故答案为：.

15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________.

【答案】

【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.

【详解】设点A关于直线的对称点，

的中点为， ,

故解得，

由知军营所在区域中心为，

要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离为，

“将军饮马”的最短总路程为，

故答案为：

16．已知等差数列的前n项和，且满足，（且），若（），则实数t的取值范围是______.

【答案】

【解析】先利用已知条件解得，再利用等差数列公式构建关系，得到之间的关系，解得参数，再计算t的取值范围即可.

【详解】当时，①②

设，因为，所以①②得 ，又因为，

故，

或，若时，由知

，则 ，，与已知矛盾，因此不符合题意，舍去，

，得，又.

故答案为：.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前前n项和公式的综合应用，属于难题.

四、解答题

17．已知直线，，，其中与的交点为P．

(1)求过点P且与平行的直线方程；

(2)求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）首先求、的交点坐标，根据的斜率，应用点斜式写出过P且与平行的直线方程；

（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P的坐标写出圆的方程.

(1)

联立、得：，可得，故，

又的斜率为，则过P且与平行的直线方程，

∴所求直线方程为.

(2)

由（1），P到的距离，

∴以P为圆心，截所得弦长为8的圆的半径，

∴所求圆的方程为.

18．已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值.

(1)求实数的值；

(2)若不等式在恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求得的值.

（2）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.

(1)

因为，所以，

因为函数的图像在点处取得极值，

所以，，

经检验，符合题意，所以；

(2)

由（1）知，，

所以在恒成立，即对任意恒成立.

令，则.

设，易得是增函数，

所以，

所以，

所以函数在上为增函数，

则，所以.

19．如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.

(1)证明：；

(2)当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.

（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.

(1)

以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.

设，可得，

，，.

，.

因为，所以.

(2)

，设为平面DEF的法向量，则，

即，可取.

因为平面的法向量为，所以

.

由题设，可得，

所以.

点B到DFE平面距离.

20．已知数列{}满足：=，，n)且其前n项和为.

（1）求与；

（2）若满足(3n+4)(4)的值恰有3个，求实数的取值范围.

【答案】（1）；；（2）(].

【解析】（1）用连乘法可得通项公式，注意验证，然后用错位相减法求得；

（2）不等式化简为.令f(n)=用作差法得出的单调性，从而得出结论．

【详解】解：（1）由得，

当n2时，

，

又也满足上式，故(n).

∴

相减得，

∴，

（2）由（1)知，，结合(3n+4)(4)，得.

令f(n)=则f（1）=，f(4)=1，f(5)=

又当n时，f(n+1)==

∴f(n+1)<f(n)，

于是，按从大到小的顺序排列，f(n)的前4个取值为

f（3）=，f（2）=f(4)=1，f(5)=，

欲使满足条件的n值恰有3个，需(].

【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式，用错位相减法求和，数列不等式有解问题．解题方法：（1）求数列通项公式方法是连乘法，即已知时，用连乘法求通项公式，若已知，则用累加法求通项公式．

（2）错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法是数列求和的特殊方法，针对不同类型的数形求和，需选用相应的方法．

（3）数列不等式有解问题，常常也是通过分离参数法转化为求数列单调性、最值，然后再由解的个数得出参数范围．

21．已知抛物线，为其焦点，椭圆，，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于，两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过抛物线上一点作切线交椭圆于，两点，设与轴的交点为，的中点为，的中垂线交轴为，，的面积分别记为，，若，且点在第一象限.求点的坐标.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）不妨设在第一象限，由题意可知，∴，结合离心率，可得椭圆的标准方程；

（2）设，利用导数的几何意义求出切线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出的坐标，求出的垂直平分线方程，求出的坐标，求出的坐标，根据得到，解出即可得解.

【详解】（1）由知，，

不妨设在第一象限，由题意可知，∴，

又∵，即，则，

∴，可得，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）设，由得，所以切线的斜率为，

则切线的方程为，即，

代入椭圆方程得：，

由，

得，

设，，，

则，，

的方程为，

即，令得，

在直线方程中令得，

，，，

∴，，

∴，∴.

化简得，解得，符合，

∴（舍去），所以，∴的坐标为，

【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了抛物线的几何性质，考查了利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于较难题.

22．已知函数，在定义域上有两个极值点．

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导转化为在上有两个不相等的根，根据二次方程根的分布得到范围.

（2）根据韦达定理得到根与系数的关系，题目转化为的最小值，求导得到导函数，确定导函数单调递增，计算得到零点的范围，根据隐零点代换得到证明.

(1)

，函数的定义域上有两个极值点，，且，

所以方程在上有两个根，，且，

即在上有两个不相等的根，，

所以，解得，

当时，若或，，，

所以函数在和上单调递增，

若，所以函数在上单调递减，

故函数在上有两个极值点，，且，

所以，实数的取值范围是；

(2)

证明：，是方程在上有两个不等的实根，

所以，其中，

故

，

令，其中，

故，令，

所以函数在上单调递增，

由于，，

所以存在常数使得，即，，

且当时，，所以函数在上单调递减，

当时，，所以函数在上单调递增，

所以当时，，

又，，所以

所以.

【点睛】本题考查了根据极值点个数求参数范围，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，其中利用韦达定理转化为函数的最值结合隐零点代换是解题的关键.