2022届安徽省江南十校高三下学期3月一模数学（文）试题含解析

2022届安徽省江南十校高三下学期3月一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝（       ）

A．{1} B．{1，2，3}

C．{1，3} D．{1，3，5}

【答案】C

【分析】根据题意先求出集合B，进而根据交集的定义求得答案.

【详解】集合，.

故选：C．

2．“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先根据双曲线的焦点在x轴上得到的范围，进而求得答案.

【详解】由双曲线的焦点在x轴上可知，.于是“”是“双曲线的焦点在x轴上”的充分不必要条件.

故选：A.

3．已知复数z在复平面内对应的点为，z是的共轭复数，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；

【详解】解：由题知，则，所以.

故选：D.

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用正弦定理边化角，再结合正弦的和角公式求出，进而求出角A.

【详解】由得，由正弦定理得

，又，

得，.

故选：A.

5．设x∈（0，），则事件“2sinx＞tanx”发生的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出事件“2sinx＞tanx”对应的，利用几何概型的概率公式直接求解.

【详解】由且，得，解得，得.

故选：C.

6．已知函数f(x)=2|x|，a=f(log0.53)，b=f(log45)，c=f(cos)，则（       ）

A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b

【答案】B

【分析】分析函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小关系，根据单调性和奇偶性即得解

【详解】由题意，

故函数为偶函数，

且时，，故函数在(0，+∞)单调递增，

∵，

∴.

故选：B

7．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一本，成于公元1世纪左右，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢?″题意是：“有两只老鼠从厚五尺墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几日两鼠相逢?”有人设计了如图所示的程序框图解决此问题，则此题的结果为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据程序框图，依次执行即可得答案.

【详解】解：第一次执行得，进入循环体得，；

第二次执行得，进入循环体得，，

第三次执行得，满足条件，输出.

故选：B

8．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（       ）

A．横坐标伸长到原来的倍，再把得到的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变

B．横坐标伸长到原来的倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变

C．横坐标缩短到原来的倍，再把得到的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变

D．横坐标缩短到原来的倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变

【答案】D

【分析】根据三角函数的变换规则判断可得；

【详解】解：首先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再将向左平移个单位长度得到，

故选：D.

9．设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角形的面积可求得点的坐标，由此可求得的值.

【详解】在椭圆中，，，则，所以，，

，所以，所以，

则，

故选：A.

10．已知四棱锥P－ABCD的高为，底面ABCD为矩形，BC＝3，AB＝2，PC＝PD，且面PCD⊥面ABCD．现从四棱锥中挖去一个以CD底面直径，P为顶点的半个圆锥，得到的几何体如图所示.点N在弧上，则PN与侧面PAB所成的最小角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别取AB，CD的中点为E，F，连接EF，EF与交于H.记N到侧面PAB的距离为d，由于PN的长为定值，因此当且仅当d最小时，PN与侧面PAB所成的角最小，即点N在H时，然后再解三角形即可求解.

【详解】如图所示，

分别取AB，CD的中点为E，F，连接EF，EF与交于H.

记N到侧面PAB的距离为d，由于PN的长为定值，因此当且仅当d最小时，PN与侧面PAB所成的角最小，即点N在H时，.

面面ABCD易知，，又，，则

所以，所以，即.

故选：A.

11．函数fx=x+1+ax的图象不可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令、、分别得到函数解析式，即可判断所对应的函数图形，即可用排除法得解；

【详解】解：当时，，图象为A；

当时，，图象为C；

当时，，图象为B.

对于D：当时为常数函数，则，解得，显然与B的图象矛盾，故D错误；

故选：D.

12．已知函数f（x）＝aex－2－lnx＋2lna，若f（x）≥3，恒成立，则a的取值范围为（       ）

A．[1，＋∞） B．[，＋∞）

C．[e，＋∞） D．[2e，＋∞）

【答案】C

【分析】根据特殊值法，再结合构造函数法，通过放缩法、导数的性质进行验证即可.

【详解】由题设可知，要使成立，则，即，

设，因为，

所以单调递增，而，由，

∴.下证：当时，恒成立，∵，∴，

构造函数，，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，所以当时，函数有最小值，即

（当时，两式等号成立），

构造函数，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，所以当时，函数有最大值，即

（当时，两式等号成立），

则，得证.所以.

故选：C.

【点睛】关键点睛：构造不等式的形式，构造函数，根据函数运用放缩法进行求解是解题的关键.

二、填空题

13．已知向量，，满足，则t＝__________．

【答案】

【详解】因为，

所以，

，

得.

故答案为：

14．若x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值为__________．

【答案】2

【分析】根据代数式的几何意义，结合点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】画图如下：

由可构造，，则，动点P在阴影区域，由图可知其最小值为点O到直线的距离的平方，.

故答案为：2

15．过坐标原点且与曲线相切的直线方程为__________．

【答案】

【分析】设切点为，求出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切线的方程.

【详解】设切线的切点为，对函数求导得，

则切线的斜率为，所以切线方程为，

将原点的坐标代入切线方程可得，则，

因此，所求切线方程为，即.

故答案为：.

16．半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为的二十四等边体，其外接球体积为，则_________________.

【答案】

【分析】利用割补法可得二十四等边体的体积，再结合对称性可得外接球球心与半径，可得外接球体积，进而得解.

【详解】设该半多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，

其体积；

由二十四等边体的对称性可知，

如图所示，

其外接球的球心即为正方体中心，半径为中心到一个顶点的距离，则，

故，

从而.

故答案为：.

三、解答题

17．设是数列的前项和，，点在斜率为的直线上.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据斜率公式可得出，可知满足，可得出，再利用可求得数列的通项公式；

（2）求得，利用错位相减法可求得.

(1)

解：由，点在斜率为的直线上，知，即.

当时，也符合上式，故.

当时，；

也满足上式，故.

(2)

解：.

则，

所以，，

上式下式得

，

因此，.

18．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG，满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF．

(1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由；

(2)若BC＝2AB＝4，∠BCF＝120°，设M是线段FC上一点，连结EM与DM．判断平面EDM与平面BCFD是否垂直？并求三棱柱ABC－EDF的侧面积.

【答案】(1)四点共面，理由见解析；

(2)垂直，.

【分析】（1）由题可得，即得；

（2）由题可得平面BCFD，进而可得ED⊥平面BCFD，即可判断，再利用面积公式可求侧面积.

(1)

A，C，F，E四点共面，证明如下：

∵，，又因为D，G重合，

∴，

故A，C，F，E四点共面；

(2)

因为，且，

∴平面BCFD，

又，则ED⊥平面BCFD.

因为M是线段FC上一点，则E，D，M三点共面，

又面EDM，

所以面EDM⊥面BCFD.

又ED⊥平面BCFD，∴ED⊥FC，

当DM⊥FC时，由于，

故FC⊥平面EDM，则FC⊥EM.

在菱形BDFC中，，，

则，又，

则.

故三棱柱ABC－EDF的侧面积为.

19．碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：

①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；

②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°．

某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：

以x表示旋转角度，y表示燃气用量.

(1)用列表法整理数据（x，y）；

(2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程（注：计算结果精确到小数点后三位）

(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位）

参考数据：，，，，

线性回归模型，二次函数模型．

参考公式：，，．

【答案】(1)列表见解析；

(2)；

(3)38.7，二次函数拟合效果更好.

【分析】（1）根据题中数据直接填表即可；

（2）根据题中所给的数据和公式进行求解即可；

（3）根据题中所给的公式，结合所给的函数关系进行求解判断即可.

(1)

整理数据如图：

(2)

，，，

，

故回归直线方程为；

(3)

，即旋转角约为38.7时，烧开一壶水燃气用量最少.

回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为，，

则，.

因为，所以二次函数拟合效果更好.

20．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且．

(1)若λ＝1，求直线l的方程；

(2)设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且．若λ＝4μ，求a的值.

【答案】(1)；

(2)4.

【分析】（1）根据抛物线的对称性可以判断轴，进而解出答案；

（2）设出点的坐标和直线的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到间的关系.

(1)

由，知焦点是的中点，又抛物线C：关于x轴对称，所以轴，所以直线l的方程.

(2)

设点，，由得①，

设直线l：与抛物线C：联立得，

所以，②，

由①②可得，

设点，由得③，

直线PB：与抛物线C：联立得，所以需要满足，④，

由③④可得，

又，所以，因为，解得，此时.所以a的值为4.

【点睛】本题为压轴题，注意本题的突破口. 根据得到之后会发现，本题应该涉及根与系数的关系，当得到之后，应该确定了最终方向，即得到间的关系，最后解决问题.

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若只有一个零点，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)或或.

【分析】（1）求出导函数并因式分解，进而讨论a的范围，然后根据导数的符号求出单调区间；

（2）结合（1）中函数的单调性及零点存在定理即可求得答案.

(1)

函数的定义域为，，

①若，，则在单调递减；

②若，时，，单调递减，时，，单调递增.

 综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递减.

(2)

若，，.

结合函数的单调性可知，有唯一零点.

若，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得或.

综上：或或.

【点睛】第（2）问较难，我们一定要注意，导数中的零点问题往往与函数的单调性和零点存在定理联系紧密.

22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)求曲线C围成的图形的面积．

【答案】(1)(x，y不同时为0)

(2)

【分析】（1）按照极坐标方程和直角坐标方程互化即可；

（2）先计算出第一象限图形的面积，再结合对称性求出整个图形的面积.

(1)

由，可知，所以，

又，，，

则曲线C的直角坐标方程为(x，y不同时为0).

(2)

当时，得曲线C的第一象限内的直角坐标方程：，

配方得，

则曲线C在第一象限内的图形由一个直角边为1的等腰直角三角形和一个半径为的半圆组成，

易知，曲线C在第一象限内的围成的图形面积为.

结合对称性可知曲线C围成的图形的面积为.

23．已知函数，.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若存在，使得，求的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）分情况解绝对值不等式；

（2）利用绝对值不等式求得最值，进而可得参数取值范围.

(1)

当时，则，

当时，不等式化为，可得；

当时，不等式化为，不成立；

当时，不等式化为，可得；

综上可得不等式的解集为或；

(2)

因为存在，使得成立，

即使得成立，

，

由绝对值不等式可知：，

即，

可得的取值范围为.