2022年常德市高三模拟考试数学答案练习题

2022年常德市高三年级模拟考试

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．       14．      15．      16．

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

解：(Ⅰ)法一：,由正弦定理得：

..............................................................................2分

,,又,...................................................5分

法二：，由余弦定理得：

,

...........................................................................................................3分

.......................................................5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，而四边形内角互补，则，

   法一：设,则,由正弦定理得：

...............................................................................7分

，

，

=，当，即

当且仅当时，的最大值为.........................................10分

法二：在中，，，由余弦定理得：

...........................................................................7分

,

当且仅当时，的最大值为.........................................10分

18. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)当时，......................................................................................1分

当时，①，②.

①－②得，即

......................................................................................................3分

数列从第2项起是公差为1的等差数列

.....................................................................................................4分

又成等比数列，，即

解得，

，，适合上式

数列的通项公式为.................................................................................6分

(Ⅱ)........................................................................................................................7分

数列的前项的和为

③

④

③－④得

..................................................................................9分

.............................................................................................................12分

19. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，

样本中指标值不小于60的人数为

标值小于60的人数为80.................................................................................................1分

列联表如下：

....................3分

所以有95%的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”.......5分

(Ⅱ)注射疫苗后产生抗体的概率...............................................................6分

由题可知，

的分布列为：

........................10分

...............................................................................................12分

20. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)证明：因为是等边三角形，为的中点，...........1分

又平面平面，平面平面，

面...............................................................................................................3分

又面，

又，，

平面...........................................................................................................5分

(Ⅱ)解：存在线段的中点满足题意.......................................................................6分

证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系 ，

则，...........................................7分

设

则，

而平面的法向量为，

设平面的法向量为，

，得，

不妨设，则可取.......................................................................10分

，，解得：

此时，所以存在点满足题意，且...........................................12分

21. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)设，则

，，解得...........................................2分

又，.........................................................................................3分

，即

曲线的方程为.........................................................................................5分

(Ⅱ)由题设直线垂线且与交于、两点，故直线的斜率存在且不为0

设直线：，

联立，消化简得

..........................................................................7分

..................................8分

由(Ⅰ)知，，①

直线过点，②

点在曲线上，③

由①②③得，，即

，即

................................................................................................10分

当且仅当时，等号成立；此时

所以面积的最大值为................................................................................12分

22. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由题可知函数的定义域为，

时，，......................................1分

令，则，单调递减.........................2分

.....................................................................................................................3分

当时，，；当时，，；

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为...................5分

(Ⅱ)证明：，

令，则，单调递减...................6分

，.................................................................7分

有，即............................................8分

时，，，单调递增；

时，，，单调递减；

所以函数在时有极大值，

则............................................10分

函数在单调递减，

，

要证，即证，

即证..........................................................................................11分

令，（），

，则单调递减，

，

所以成立，即得证.....................................12分