2022届内蒙古包头一中（包头市）高三第二次模拟考试数学（文）试题含解析

  2022年普通高等学校招生全国统一考试

（包头市第二次模拟考试）

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：C

2. 已知i为虚数单位，若，则（     ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数乘方和除法运算求得的表达式.

【详解】由得.

故选：A.

【点睛】本小题主要考查复数乘方和除法的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3. 下列函数中是减函数的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数、正比例函数、指数函数、幂函数的单调性逐一判断即可.

【详解】A：因为函数在上单调递增，所以该函数不是减函数，不符合题意；

B：因为函数是增函数，所以不符合题意；

C：因为函数是增函数，所以不符合题意；

D：因为函数是减函数，所以符合题意，

故选：D

4. 某企业有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异．为了解客户的评价，该企业准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样（包括抽签法和随机数法）、系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是（    ）

A. 抽签法 B. 随机数法

C. 系统抽样 D. 分层抽样

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合各种抽样特点和使用范围进行分析可得答案.

【详解】由于不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异，故不适宜用分层抽样.

由于总体样本容量较大，故不适用抽签法和随机数法,适合用系统抽样来抽取样本；

故选：C

5. 已知，是双曲线：（，）的两个焦点，是上的一点，且，，则的离心率为（    ）

A.  B. 2 C. 3 D. 5

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由及双曲线定义得和，然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．

【详解】∵，

∴由双曲线定义得，从而得，，

在中，由余弦定理得，

化简得，即．

故选：A．

6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（    ）

A  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.

【详解】因为，星的星等是，星的星等是，

所以，

故选：A

7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的体积为（    ）

A. 8 B.  C. 12 D.

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据三视图确定几何体的形状，结合棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.

【详解】由三视图可知该几何体是上面是直三棱锥下面是直三棱柱组成的多面体，

所以体积为：，

故选：B

8. 等差数列的公差为，前项和为，设甲：；乙：是递减数列，则（    ）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列前项和公式，结合递减数列的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.

【详解】当时，例如等差数列，显然，

因此有，显然不是递减数列，

当是递减数列时，一定有对于恒成立，

即，

即，不等式恒成立，当时，，

因此要想不等式恒成立，则有，

所以由是递减数列能推出，

故选：B

9. 的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则的面积为（    ）

A. 9 B. 6 C.  D.

【9题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.

【详解】由余弦定理可知：，

解得（负值舍去），即，

所以的面积为，

故选：C

10. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】，

因为，所以，

于是由，

解得，

解得，或（舍去），

因为，

所以，

即，

故选：B

11. 将3个和2个随机排成一行，则2个相邻且不排在两端的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式求解.

【详解】解：先排好3个,有种方法，再捆绑2个,有种方法，再把2个当作一个整体插入3个的中间2个空里，有种方法，所以共有种方法.

把3个和2个排列，共有种方法.

由古典概型的概率公式得.

故选：A

12. 设函数是定义域为的奇函数，且，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由条件可得是周期为4的周期函数，从而结合已知条件，利用函数的周期性和奇偶性即可求解.

【详解】由可得的图象关于直线对称，即

又函数是定义域为的奇函数，则，所以

即，所以

所以是周期为4的周期函数.

所以

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知非零向量，满足，且，与的夹角为45°，则______．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由，则其数量积为零，可得，将条件代入可得答案.

【详解】由，即，即

所以，即，所以

故答案为：

14. 已知一个圆锥的底面直径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为______．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积公式，结合圆锥的体积公式进行求解即可.

【详解】设该圆锥的母线为，底面半径为，高为，

因为圆锥的底面直径为6，所以，

因为圆锥的侧面积为，

所以有，

由勾股定理可知：，

所以该圆锥的体积为，

故答案为：

15. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法进行求解即可,

【详解】设该函数的最小正周期为，因为，所以，

因为函数过，

所以有，即，

由，

因为，所以令，即，

因此，

所以，

故答案为：

16. 已知抛物线：的焦点为，斜率为-1的直线与的交点为，，若，则的方程为______．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设出直线的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.

【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为，

因为斜率为-1的直线与的交点为，，

所以设直线的方程为，

所以有，设，

因此有，

由，

所以直线的方程为，

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知数列的各项均为互不相等的正数，且，记为数列的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．

①数列是等比数列；②数列是等比数列；③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【17题答案】

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】若由①③②：根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和、等比数列的定义进行证明即可；

若①②③：根据等比数列的性质，结合等比数列的通项公式进行求解即可；

若②③①：根据等比数列前项和与通项公式的关系，结合等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】①③②．已知数列是等比数列，．

设数列的公比为，又，所以，因为，所以，

根据题意可知，所以解得，所以，所以，且，因为，

所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．

①②③．已知数列是等比数列，数列是等比数列．

设数列的公比为，又，根据题意，所以，，

所以，，，，

因为数列是等比数列，所以，即，

化解得，即，根据题意且，所以得，

从而，，所以有．

②③①．已知数列是等比数列，．

因为为数列的前项和，且，所以，

设数列的公比为，根据题意有且，所以，

当时，，

又因为，所以，又，所以有，又，所以，

所以得，

因为

所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列．

18. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）估计这100名学生平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；

（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．

①请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？

②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？

列联表

参考公式及数据：，，

【18题答案】

【答案】（1）平均成绩73，中位数73.33；   

（2）①表格见解析，没有；②答案见解析，有.

【解析】

【分析】（1）根据频率直方图，结合平均数和中位数的性质进行求解即可；

（2）①根据频率直方图完成列联表，结合题中所给的公式进行求解即可；

②根据列联表画出等高条形图，再做出判断即可.

【小问1详解】

这100名学生的平均成绩：

，

设成绩的中位数为，则根据频率分布直方图可知，有，

解得；

【小问2详解】

①根据表中已知数据和频率分布直方图得下表

根据表中数据可得，

因为4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．

②根据列联表中数据可知，样本中男生优秀的频率为，男生非优秀的频率为；女生优秀的频率，女生非优秀的频率为．

所画等高条形图如图所示：

根据等高条形图，比较图中两个用斜纹实线所画条的高可以发现，女生样本中成绩优秀的频率明显高于男生样本中成绩优秀的频率，因此可以认为竞赛成绩优秀与性别有关．

19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形．，，分别为和上的点，且，，．

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积；

（3）为棱上的点，证明：．

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）1    （3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理即可证明；

（2）利用（1）中平面，作出相应的辅助线进而可得平面，再利用等体积法即可求解；

（3）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理即可证明；

【小问1详解】

因为，，所以，

又，且，

所以平面，又平面，

所以．

【小问2详解】

在上取点，使，连接，，

因为，所以，且，

根据（1）有平面，由，且，得，

所以．

【小问3详解】

由（1）可知，，又，

所以，所以四点，，，共面，

在正方形中，因为，所以，

又因为，所以，所以．

又因为，，

所以平面，而平面，

所以．

20. 已知函数，

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，证明：有2个零点．

【20题答案】

【答案】（1）在单调递增，在单调递减；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可；

（2）利用导数的性质求出函数的最值，结合（1）的结论，通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

当时，，，

当时，；当时，．

所以在单调递增，在单调递减；

【小问2详解】

当时，，由，可得，

当时，；当时，．

所以在单调递增，在单调递减．

故当时，取得最大值，最大值为．

因为，所以，，由于，

且在单调递增，所以在存在唯一零点．

由（1）知，当时，，所以当且时，

因为，所以，

而，设，

则

所以，

又在单调递减，故在存在唯一零点．

综上在有两个零点．

【点睛】关键点睛：通过构造新函数，利用导数性质是解题的关键.

21. 设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．

（1）当为何值时，点的轨迹为圆，并求出该圆的方程；

（2）当点的轨迹为圆时，设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的右焦点．

【21题答案】

【答案】（1），；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据共线向量的性质，结合点在椭圆上运用代入法进行求解即可；

（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合（1）的结论、平面向量垂直的性质进行证明即可.

【小问1详解】

设，，则，，，

由，得，，因为点在上，所以有，

当，即时，点的轨迹为圆，该圆的方程为；

【小问2详解】

由题意知，设，，则，，，又，，

由已知，得，

又由（1）知，把此式代入中，得，

所以，故，

又过点存在唯一的直线垂直于，所以过点且垂直于的直线l过的右焦点．

【点睛】关键点睛：运用平面向量共线的性质和数量积的坐标表示公式是解题的关键.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）当时，曲线是什么曲线？并求的极坐标方程；

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【22题答案】

【答案】（1）曲线是以与为端点的线段，．（，）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解即可；

（2）根据同角的三角函数关系式，通过解方程组进行求解即可.

【小问1详解】

当时，曲线：消去参数得，

故曲线是以与为端点的线段．

它的极坐标方程为（，）；

【小问2详解】

当时，：消去参数得，的普通方程为，

由解得故与的公共点的直角坐标为．

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知，，．

（1）证明：；

（2）若，证明：．

【23题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）将展开，配方，再将条件代入可得，从而可证.

（2）由均值不等式结合条件可得，再由题意，，从而可证.

【小问1详解】

．

【小问2详解】

因为，所以，

又，即，

由于，，所以．