2022年山东省济南十二中中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省济南十二中中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 下列各数：，，，，其中比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

3. 年月日时分，我国成功发射了北斗系统第颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过秒．数据“”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

6. 某班名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

那么该班名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移个单位长度得到，再把绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入识别区域时，在点时测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点时测得摄像头的仰角为，则体温监测有效识别区域的长

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径作弧，交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点；则的长度为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

12. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数为常数有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 分解因式：______．
14. 已知，满足方程组，则的值是______．
15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______ 结果保留
     

16. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
    
     

17. ，两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，，表示两人离地的距离：与时间的关系，则乙出发______两人恰好相距千米．

18. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点．将这张纸片依次折叠两次：如图，第一次折叠纸片使点与点重合，折痕为，连接、；如图，第二次折叠纸片使点与点重合，点落在处，折痕为，连接，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且，连接、求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成计件奖励工资销售每件的奖励金额销售的件数下表是甲、乙两位职工今年月份的工资情况信息：

试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？
若职工丙今年月份的工资不低于元，那么丙该月至少应销售多少件产品？






 

23. 如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．
    求证：；
    如果，，求弦的长．

24. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，，，表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．
    
    请根据统计图中的信息解答以下问题；
    本次抽取的学生共有______人，扇形统计图中所对应扇形的圆心角是______，并把条形统计图补充完整；
    依次将优秀、良好、及格、不及格记为分、分、分、分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是______分，中位数是______分，平均数是______分；
    若该校共有学生人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有______人：
    等级的名学生中有名女生和名男生，现在需要从这人中随机抽取人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为．
    求反比例函数的解析式和直线的解析式；
    在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标；
    在的条件下，的周长最小值是______．

26. 问题背景如图，已知∽，求证：∽；
    尝试应用如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值；
    拓展创新如图，是内一点，，，，，直接写出的长．

27. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点．
    求出抛物线解析式的一般式；
    抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
    若点为轴上任意一点，在的结论下，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
，
其中比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：这个组合体的三视图如下：

故选：．
画出该组合体的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】
 

【解析】解：选项A：，所以不符合题意；
选项B：，所以符合题意；
选项C：，所以不符合题意；
选项D：，所以不符合题意；
故选：．
A、根据积的乘方的进行计算即可判断；
B、先计算乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可判断；
C、根据完全平方公式进行计算即可判断；
D、根据合并同类项法则进行计算即可确定答案．
本题考查了完全平方公式、合并同类项以及幂的乘方、积的乘方等知识，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

6.【答案】
 

【解析】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为，
因为该班有名同学，所以中位数为第和名同学时间，第名同学的时间为，第名同学的时间为，
所以中位数为．
故选：．
根据众数和中位的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了众数和中位数，熟练应用众数和中位数的概念进行求解是解决本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，即为所求．

观察图象可知：
故选：．
根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；
本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由，可以假设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故选：．
由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据题意可知：四边形和是矩形，米，
米，，
设，
在中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
米，
答：体温监测有效识别区域的长为米．
故选：．
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由作图知，平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
∽，
，
过作交的延长线于，
，，
，，
，
，
故选：．
由作图知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，推出是等边三角形，得到，根据相似三角形的性质得到，过作交的延长线于，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：作于，连接、，如图，
当时，，则，
当时，，解得，则，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为切线，
，
，
，
最小时，的值最小，
最小时，最小，
当，即点运动到点时，最小，的值最小，
此时，
的最小值．
故选D．
先确定点和点坐标，再计算出，则，再利用切线性质得到，根据勾股定理得到，于是可判断最小时，最小，的值最小，然后求出此时的长，再计算的最小值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定垂直时的值最小．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由题意知二次函数有两个相异的不动点、是方程的两个不相等实数根，且、都小于，
整理，得：，
由有两个不相等的实数根知：，即，
令，画出该二次函数的草图如下：

而、设在的右侧都小于，即当时，，
联立并解得：；
故选：．
由函数的不动点概念得出、是方程的两个实数根，由知且时，即可求解．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于的不等式．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
本题的多项式有三项，符合完全平方公式，可运用完全平方公式因式分解．
本题考查了运用公式法因式分解．关键是根据多项式的特点，合理地选择乘法公式．
 

14.【答案】
 

【解析】解：方法一：，
得：，
，
把代入得：
，
，
则．
方法二：得．
故答案为：．
由已知，满足方程组，所以先解方程组求出、，再代入求值．
此题考查的是解二元一次方程组，关键是由已知先解方程组求解，然后代入求值．
 

15.【答案】
 

【解析】解：在中，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转角得到，
，
点所经过的路径长，
故答案为：
由直角三角形的性质可求，，由旋转的性质可求，由弧长公式可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出和是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，
所以该小球停留在黑色区域的概率是．
故答案为：．
若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
 

17.【答案】或
 

【解析】解：由题意可知，乙的函数图象是，
甲的速度是，乙的速度是．
设甲出发小时两人恰好相距．
由题意得：或，
解得或，
所以甲出发小时或小时两人恰好相距．
故答案为：或．
分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

在矩形纸片中，，，点是的中点，
，，
由折叠性质可得：
，，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
利用折叠的性质，将所求的转化为求，即可求解．
本题考查图形折叠的性质，矩形的性质，角度的转化等知识点，解题的关键在于推出．
 

19.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
故不等式组的解集是，
它的所有整数解有、、、、．
 

【解析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可求出不等式组的解集，再写出其所有整数解．
本题主要考查对解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】由四边形是菱形，得出，，根据等角的补角相等得出，从而≌即可．
本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证出是解题的关键．
 

22.【答案】解：设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为元，销售每件产品的奖励金额为元，
依题意得：，
解得：．
答：工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为元，销售每件产品的奖励金额为元．
设丙该月应销售件产品，
依题意得：，
解得：．
答：丙该月至少应销售件产品．
 

【解析】设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为元，销售每件产品的奖励金额为元，利用调整后月工资基本保障工资销售每件的奖励金额销售的件数，结合甲、乙两位职工今年月份的月销售数量及月工资，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设丙该月应销售件产品，利用调整后月工资基本保障工资销售每件的奖励金额销售的件数，结合职工丙今年月份的工资不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：连接，

与相切，是的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为的直径，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在和中，
，，
∽，
，
即，
．
 

【解析】连接，由切线的性质可证得，又，可得，则结论得证；
先根据勾股定理求出，，的长，证明∽，得出比例线段即可求出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

24.【答案】         
 

【解析】解：本次抽取的学生人数共有：人，
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是，
等级人数为人，
故答案为：，，
补全条形图如下：

分出现的次数最多，出现了次，
众数是分；
在这个数据中，中位数为第、个数据的平均数，
则中位数为分，
平均数为：分；
故答案为：，，；
书写能力等级达到优秀的学生大约有人，
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能情况，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的有种情况，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率为．
由等级人数除以所占百分比可得总人数，即可解决问题；
根据众数、中位数和平均数的定义分别进行解答即可；
用该校的总人数乘以书写能力等级达到优秀的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能情况，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的有种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识，正确画出树状图是解题的关键，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
 

25.【答案】
 

【解析】解：点是边的中点，，
，
四边形是矩形，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
把和代入得，，
，
直线的解析式为；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，
此时，的周长最小，
点的坐标为，
的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
点的坐标为；
，，
，，
，
由知，的坐标为，
，
，
的周长最小值，
故答案为：．
根据线段中点的定义和矩形的性质得到，解方程和方程组即可得到结论；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小，求得直线的解析式为，于是得到结论；
根据勾股定理即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
 

26.【答案】问题背景
证明：∽，
，，
，，
∽；
尝试应用
解：如图，连接，

，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，
．
，，
∽，
．
拓展创新
解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，

，
，
，
，
又，
∽，
，
又，
，
即，
∽，
，
，
，
，
．
 

【解析】问题背景
由题意得出，，则，可证得结论；
尝试应用
连接，证明∽，由知∽，由相似三角形的性质得出，，可证明∽，得出，则可求出答案．
拓展创新
过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，得出，求出，由勾股定理求出，最后由直角三角形的性质可求出的长．
此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：令，
解得，
则，
抛物线过点，
，
解得．
故抛物线解析式的一般式为，即；
如图，过点作轴交于，
设，则，
则，
所以当时，；
当时，；
则，
则当时，面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为；
如备用图，作点关于轴的对称点，连结交轴于点，过点作于点，交轴于点，
，，
，，
，
，
，
、关于轴对称，
，
，此时最小，
，
，
，
的最小值是．
 

【解析】根据坐标轴上的坐标特征可求，再根据待定系数法可求抛物线解析式的一般式；
过点作轴交于，分两种情况：当时；当时；进行讨论即可求解；
作点关于轴的对称点，连结交轴于点，过点作于点，交轴于点，根据三角函数可得时最小，求得即可求解．
本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算等知识，解答问关键是求出的长，利用三角函数进行解答，此题有一定的难度．