2021青岛胶州高一下学期期末考试数学试题含答案

胶州市2020—2021学年度第二学期期末学业水平检测

高一数学试题

本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，请将答题卡上交。

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．某人打靶时连续射击两次，设事件“只有一次中靶”，“两次都中靶”，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．“至少一次中靶” D．与互为对立事件

3．如图所示，平面，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过（    ）

A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点

4．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是，现采用随机模拟的方式估计该运动员射击次至少击中次的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，表示没有击中目标，，，，，，，，表示击中目标；因为射击次，故以每个随机数为一组，代表射击次的结果．经随机模拟产生了如下组随机数：

据此估计，该射击运动员射击次至少击中次的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则解的个数为（    ）

A． B． C． D．不确定

7．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：

甲：； 乙：；

丙：； 丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．在正方体中，点满足（）若平面平面，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得

B．在中，若，则点为边上的中点

C．已知，均为非零向量，若，则

D．若且，则

10．一个袋子中装有大小和质地相同的个白球和个红球，从中随机抽取个球，其中结论正确的是（    ）

A．一次抽取个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是

B．每次抽取个，不放回抽取两次，样本点总数为

C．每次抽取个，有放回抽取两次，样本点总数为

D．每次抽取个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立

11．在中，角，，的对边分别是，，，则能确定为钝角的是（    ）

A．  B．

C．  D．

12．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（    ）

A．

B．四面体的表面积为

C．四面体的外接球的体积为

D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是________．

14．已知非零向量，，满足，与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为________．

15．对于直线，平面和平面，给出下列三个论断：①；②；③．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的命题，则作为该命题条件的序号为________．

16．某工厂新旧两条生产线的产量比为，为了解该工厂生产的一批产品的质量情况，采用样本量比例分配的分层抽样方法从两条生产线抽取样本，并观测样本的质量指标值，计算得新生产线质量指标的均值为1，方差为，旧生产线质量指标的均值为，方差为，由此估计，该批产品的质量指标的均值为________，方差为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知向量，，，且，．

（1）求与；

（2）若，，求向量与的夹角的大小．

18．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，证明：平面平面．

19．某市高三进行高考模拟考试，等级考试科目将采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：等级；等级；等级；等级；等级；等级；等级．现随机抽取名学生物理学科的原始成绩（未赋予）进行分析，其频率分布直方图如图所示．

（1）以样本估计总体，估计本次物理成绩原始平均分及等级最低原始分（结果四舍五入保留整数）．

（2）若用比例分配的分层抽样方法在分数段为的学生中抽取人，再从这人中任取人，求至多有人在分数段内的概率．

20．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：

①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；

②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；

③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：

（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；

（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；

（3）选手甲闯关成功的概率．

21．在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为．过点作平面的垂线，垂足在的平分线上．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的正切值．

22．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．

（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．

（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

胶州市2020—2021学年度第二学期期末学业水平检测高一数学参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．

1—8：   

二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．

9．；10．；11．；12．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．；14．；15．①③；16．；．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）由得，，

所以，即

由得，，

所以，即

（2）由（1）得

所以，，

所以

所以向量，的夹角为

18．解：（1）连接交于点，则为中点

连接，又是中点，

则

因为平面，平面

所以平面

（2）因为是直三棱柱，

所以平面

又平面，

所以

由已知，为的中点，

所以．

又，

所以平面

又平面，

所以

由，，得，，，

故，即

因为，

所以平面

因为平面，

所以平面平面

19．解：（1）由题意，原始平均分

物理成绩等级最低原始分约为样本数据的分位数

物理成绩分以下的学生所占的比例为

物理成绩分以下的学生所占的比例为

所以，分位数一定位于内

由

可以估计物理成绩等级最低原始分约为分

（2）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本

则分数段中抽取的学生数为人

分段数中抽取的学生数为：人

设分段数中的人为，，分数段中四人为，，，

则从人中任意抽取人的样本空间

设“至多有人在分数段内”

则

所以

20．解：设为选手答对题，其中

（1）设挑战结束后，选手甲共答对道题为事件

选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错，所以

所以，由事件独立性的定义得

（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了道题为事件

选手甲恰好作答了道题即选手甲地题答错或第一题答对且第题答错

所以

由概率的加法公式和事件独立性的定义得

（3）设选手甲挑战成功为事件

若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了道题，且选手甲只可能作答题或道题

所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件，

所以

根据对立事件的性质得

21．解：（1）取中点，连接，

由题意，为的平分线，且，．

由已知得，点在上，连接，则平面

因为平面平面，平面平面，

所以平面，同理可得平面

又因为平面，

因为和平面所成的角为，即，

所以

所以四边形为平行四边形，

所以平面

（2）设点到平面的距离为

由得：

即

解得

（3）在面内，过点作于，连接

因为平面，平面，

所以

又，

所以平面

又平面，

所以

所以为二面角的平面角

在中，

在中，

在中，

所以二面角的正切值为

22．解：（1）如图，在中

由余弦定理得，

所以

所以，（当且仅当时等号成立）

故两机器人运动路程和的最大值为

（2）（i）在中

由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故，

由正弦定理可得

所以

（ii）设，则，

由余弦定理可得，

所以

所以

由题意得对任意恒成立，

故，当且仅当时取到等号．

答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲．