2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区四校八年级（下）期中数学试卷(含解析 )

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区四校八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是

A.  B.  C.  D.

3. 若分式中的，同时变为原来的相反数，则该分式的值

A.  B.
C. 不变 D. 变成原来的相反数

4. 下列事件中：两个奇数的乘积是奇数；抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为；每天太阳从东边升起；明天要下雨；长分别为，，的三条线段能围成一个三角形是必然事件的是

A.  B.  C.  D.

5. 为响应国家号召，全体公民接种疫苗，以提高对“新冠”病毒的免疫功能．开州某大型社区有人需要接种疫苗，接种一天后，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外，还增加了一辆流动疫苗接种车，之后每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成全部接种任务．求原计划每天接种多少人？设原计划每天接种人，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7. 请你写出一个值恒为正数的分式______．
8. 若分式的值为，则 ______ ．
9. 如图为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是______填写序号
   抛一枚硬币，出现正面朝上；
   掷一个正六面体的骰子，出现点朝上；
   一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃；
   从一个装有个红球个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球．
10. 已知中，，求证：下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
    所以，这与三角形内角和为矛盾；
    因此假设不成立，所以；
    假设在中，；
    由，得，即．
    这四个步骤正确的顺序应是______填序号
11. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接、，若，则______．
    
     

12. 如图，矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点若，则______．
     

13. 如果关于的分式方程无解，则实数______．
14. 若，则的值是______．
15. 如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，点，分别为，的中点，连接则的长为______．
     

16. 如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：为等腰直角三角形；；直线是的垂直平分线；若，则；其中正确结论的有______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共9小题，共62.0分）

18. 先化简，再求值：，其中的值从的整数解中选取．
    
    
    
    
    
    
     
19. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 为了了解全市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取名学生的体育成绩进行分段：分；：分；：分；：分；：分，统计图如图所示：

根据上面提供的信息，回答下列问题：
在这次调查活动中，采取的调查方式是______填写“普查”或“抽样调查”．
______，______，______．
补全频数分布直方图．
若绘制“学生学业考试体育成绩扇形统计图”，则体育成绩在段所对应扇形的圆心角度是______．
成绩在分以上含分定为优秀，那么该市今年名九年级学生中体育成绩为优秀的学生约有多少名？

21. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图保留作图痕迹．
    在图中，作的高线；
    在图中，作的中线；
    在图中，作的角平分线．

22. 阅读材料．
    已知，求的值．
    解：由，得，
    颠倒分子与分母的位置为，
    因为，
    所以．
    回答问题：
    已知，，为非零实数，，，求代数的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某商场以元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了，结果比第一批少购进件这种商品．
    求第一批商品的购进单价；
    若第一批商品的售价为元件，第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余的商品按照售价的九折售完．要使两批商品销售的总利润不低于元，求第二批商品按原销售单价至少销售多少件？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平行四边形中，点、分别为边、的中点，是平行四边形的对角线，交的延长线于点
    求证：四边形是平行四边形；
    若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．

25. 如图所示，在中，，，分别在，上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，求的度数．
    
     

26. 点、分别为正方形边、上的点，连接，交于点．
    如图，若，则线段与具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
    如图，若为中点，为中点，求证．
    若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，若正方形的的边长为，线段，则的长为______．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：选项A、、都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：如图所示：，

，
当时，则，
故AD，
则四边形是平行四边形．
故选：．
利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．
此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：分式中的，同时变为原来的相反数，可得：
，
分式的值不变．
故选：．
根据分式的基本性质化简即可得解．
本题考查了分式基本性质．解题的关键是掌握分式基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
 

4.【答案】
 

【解析】解：两个奇数的乘积是奇数，是必然事件；
抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为，是随机事件；
每天太阳从东边升起，是必然事件；
明天要下雨是随机事件；
长分别为，，的三条线段能围成一个三角形，是必然事件；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设原计划每天接种人数为人，则增加了一辆流动疫苗接种车后每日接种人数为人，
由题意得：，
故选：．
设原计划每天接种人数为人，则增加了一辆流动疫苗接种车后每日接种人数为人，由题意：现某大型社区有人需要接种疫苗，结果提前天完成全部接种任务，列出方程，解方程即可．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
≌，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当点和点重合时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是，
故选：．
在上取一点，使，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，当点和点重合时，最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：此题是一个开放性试题，答案不唯一．如，
故答案为：．
根据题意列出代数式即可．注意答案不唯一．
本题考查分式，解题的关键是正确理解题意列出代数式，本题属于基础题型．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由分式的值为，得
且，
解得，
故答案为：．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

9.【答案】
 

【解析】解：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是，故本选项不符合题意；
掷一个正六面体的骰子，出现点朝上的频率约为，故本选项不符合题意；
一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意；
从一个装有个红球和个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是，故本选项符合题意；
故答案为：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
 

10.【答案】
 

【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：、假设在中，，
、由，得，即，
、，这与三角形内角和为矛盾，
、因此假设不成立．，
故答案为：．
根据反证法的一般步骤判断即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

11.【答案】
 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质和等腰三角形的性质求出和的度数，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
由勾股定理可知：，
故答案为：．
根据矩形的性质以及勾股定理即可求出答案．
本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理，本题属于基础题型．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：，
，
，
方程无解，
或，
或，
故答案为：或．
先解分式方程可得，由题意可得或，求出的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

，
，，，
原式

．
故答案为：．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：连接，延长交于，连接，

四边形是正方形，
，，，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点为的中点，
，
为的中点，
，
，
，
故答案为：．
连接，延长交于，连接，由正方形推出，，，证得≌，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出是解决问题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：正方形中，，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，故正确；
，
正方形，为对角线，
，
，，，
，故正确；
连接、，

是的中点，、是直角三角形，
，
又，
直线是的垂直平分线，
过点作于，则，
是的中点，，，
是的中位线，
，
，故正确；
综上所述，正确的结论有．
故答案为：．
根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，，然后求出，判断出是等腰直角三角形，判断出正确；由是等腰直角三角形和正方形的性质可得，利用三角形内角和为即可判断正确；连接、根据直角三角形的性质可得运用“”证明≌，得；最后由正方形的性质推知垂直平分，故成立；过点作于，则，根据三角形中位线定理得到，求得，故正确．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式


．
 

【解析】根据分式的性质进行变形，然后根据同分母分式加法运算法则进行计算；
原式进行通分，然后根据同分母分式减法运算法则进行计算．
本题考查分式的加减法运算，理解分式的基本性质，掌握分式加减法运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

，
取，，时，原式无意义，
把代入，
原式

．
 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再分子，分母分解因式约分，化简后将有意义的的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式化简．
 

19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

20.【答案】抽样调查       
 

【解析】解：在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
由题意得，，
所以，，
故答案为：；；；
补全频数分布直方图如下：

体育成绩在段所对应扇形的圆心角度是，
故答案为：；
名．
答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有名．
根据调查方式可得答案；
根据“频率”，利用组的频数和频率可得总数，然后根据的频数求出，估计的频率求出；
估计的值补全频数分布直方图即可；
用乘体育成绩在段所占的比例即可；
首先根据频率分布表可以得出样本中在分以上含分的频率，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．
本题考查了频数分布直方图、频率分布表等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

21.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，线段即为所求；
如图中，线段即为所求．

 

【解析】取格点，连接交于点，线段即为所求；
取格点，连接，线段即为所求；
取格点，连接交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线，角平分线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】先分别求得的倒数，再将计算结果代入的倒数进行计算即可．
此题考查的是分式的计算，能够根据已知等式进行正确变形是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：设第一批商品的购进单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：第一批商品的购进单价是元；
设第二批商品按原销售单价销售件，
根据题意得：，
，
答：第二批商品按原销售单价至少销售件．
 

【解析】设第一批商品的购进单价是元，可得，解方程可得出答案；
设第二批商品按原销售单价销售件，由题意列出一元一次不等式，解不等式可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到相等关系及不等关系是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
点分别为边、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
若，则四边形是矩形；理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，即，
平行四边形是矩形．
 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，，，推出，，根据平行四边形的判定推出即可；
先证明四边形是平行四边形，再证出，即可得出结论．
 

25.【答案】解：取的中点，连接，，
，为，的中点，
，．
，为，的中点，
，．
，
．
，
，
，
同理，，
．
 

【解析】取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

26.【答案】
 

【解析】解：，，理由如下：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
；

证明：如图，过点作，交于，交于，

为中点，为中点，
，
由同理得：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的垂直平分线，
；
解：如图，过点作于，连接交于，

由折叠可知，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
由四边形为正方形，，易证得≌，即可证得，，即可证得；
如图，过点作，交于，交于，先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，由三角形中位线定理的推论可得，得是的垂直平分线，可解答；
过点作于，连接交于，由折叠可知，，证明≌，则，设，由勾股定理列方程可得的长，可求得的长．
此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线的定理的运用．注意作辅助线构建三角形全等，掌握三角形中位线定理是关键．