精品解析：重庆第二外国语学校2020-2021学年高一下学期第一学月数学试题（解析版）

这是一份精品解析：重庆第二外国语学校2020-2021学年高一下学期第一学月数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 在中，，则这个三角形一定是， 著名数学家欧拉提出了如下定理等内容，欢迎下载使用。
高2023级第一学月数学测试试题一､选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. ，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】A．分析方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断.【详解】A．可能方向不同，故错误；B．，两向量夹角未知，故错误；C．，所以，故错误；D．由C知，故正确，故选：D.【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易.2. 已知等边三角形ABC的边长为1，，那么.A. 3 B. -3 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积即可求解.【详解】解析：.故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.3. 设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则（    ）A. 2 B. -2 C. 6 D. -6【答案】D【解析】【分析】根据可知，再根据，代入求解即可.【详解】因为，故，故，因为，是两个不共线的平面向量，故，解得.故选：D【点睛】本题主要考查了向量平行求参数的问题，若，则，属于基础题.4. 在中，，则这个三角形一定是(　　)A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】A【解析】【详解】在△ABC中，，由正弦定理可得：，即.又.所以，即.有.所以△ABC为等腰三角形.故选A.5. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ）A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】C【解析】【分析】首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用向量的夹角公式即得解【详解】由已知，，所以，，设向量与的夹角为，则故选：C6. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，转化，结合即得解【详解】由题意，结合余弦定理又故选：B7. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ）A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心【答案】C【解析】【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.【详解】设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.8. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，，即为斜边的中点，又为中点，，为中点，．故选：．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ）A.  B. 是钝角三角形C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为【答案】ACD【解析】分析】不妨设，，，解得，，，对四个选项一一验证：由正弦定理可判断A；由为最大边，结合余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式验证可判断C；由正弦定理可判断D.【详解】不妨设，，，解得，，，根据正弦定理可知，选项A描述准确；由为最大边，故为最大角，，即为锐角，选项B描述不准确；由题意，为最小角，为最大角，，由，，可得，选项C描述准确；若，可得，外接圆半径为，选项D描述准确.故选：ACD.10. 在中，角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是A. ，， B. ，，C. ，， D. ，，【答案】D【解析】【分析】四个选项角度均为锐角，则分别比较和之间、与之间的大小关系，从而得到三角形解的个数.【详解】选项：，又    三角形有一个解，则错误；选项：    三角形无解，则错误；选项：    三角形有一个解，则错误；选项：，又    三角形有两个解，则正确本题正确选项：【点睛】本题考查三角形解的个数的求解，关键是能够熟练掌握作圆法，通过与、与之间大小关系的比较得到结果.11. 下列说法不正确的是（    ）A. 已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得B. 若向量共线，则点必在同一直线上C. 若且，则D. 若点为的重心，则【答案】BC【解析】【分析】根据平行向量基本定理可判断A，根据平面向量共线的含义可判断B，根据平面向量的数量积可判断C，根据平面向量的运算与三角形重心的性质可判断D．【详解】解：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，即B不正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，即C不正确；设线段的中点为，若点为的重心，则，而，所以，即D正确；故选：BC．12. 以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）A. 在ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin CB. 在ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝bC. 在ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立D. 在ABC中，【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；对于B，由题得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；对于D，由正弦定理可得右边＝＝左边，故该选项正确.【详解】对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确故选：ACD.【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，，则________.【答案】4【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算直接求解.【详解】由已知得，，故答案为：4.14. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为____．【答案】120°【解析】【详解】试题分析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故答案为120．考点：本试题主要考查了余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意点评：解决该试题的关键是设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．15. 在三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c记a=x，b=2，B=45°，若三角形ABC有两解，则x的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，根据题意只需，解得.考点：已知两边与一边的对角的三角形个数问题.16. 在中，，，，是边上的动点，则的取值范围是 __________ ．【答案】【解析】【分析】以点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由已知求得各点坐标，注意x的范围，用坐标表示可得答案.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，设，则，，∴，，∴，则的取值范围是．故答案为：.四､解答题：共6小题，共70分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 在中，内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足：C为钝角，且（1）求角C的值；（2）若，的面积为，求c的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合C为钝角即得解；（2）利用面积公式可得，再由余弦定理即得解.【详解】（1）由得，由正弦定理，又得，又为钝角，所以.（2）∵，∴，由余弦定理，所以.18. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．（1）求实数的值；（2）若，，求的坐标；（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）由得，再根据，是平面内两个不共线的非零向量列式可求出结果；（2）由可求出结果；（3）设，根据可求出结果.【详解】（1）．因为，，三点共线，所以存在实数，使得，即，得．因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以解得，．（2）．（3）因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以．设，则，因为，所以解得即点的坐标为．19. 在中，内角A，B，C及其所对的边a，b，c，且（1）求A；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合，可化简为，利用辅助角公式，结合，即得解；（2）利用正弦定理可转化，又，故，可化简为，结合，即得解【详解】（1）由，以及正弦定理可得，由于即，即，又所以，由辅助角公式可得，由于，可得，所以，即.（2）由（1）知，又，所以且，由正弦定理，，又，所以，所以，即，综上所述的取值范围为.20. 如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.21. 在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）若的面积为，求的值；（2）设，，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.【详解】（1），，则，的面积为，.因此，；（2），，且，所以，，即，.，.，，因此，.【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.22. 已知内接于以O为圆心，1为半径的圆，且（1）求数量积，；（2）求的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）转化原式分别为，，两边平方利用数量积的运算律，结合，即得解（2）转化，分别计算即得解.【详解】（1）由已知得，所以，即，又，∴，∴，同理，所以即可得.（2）∵，∴，∵，∴，同理可得，，由于，∴.