2021湘潭一中高一上学期期中考试数学试题含答案

数学试卷

时间120分钟，总分150分

一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1. 复数 等于

A.  B.  C. i D.

2. 已知，，则的坐标是      

A.  B.  C.  D.

3. 已知的三个角，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则等于 

A.  B.  C.  D.

4. 已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则此圆柱的体积为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，所示，A，B为正方体的两个顶点，M，N为其所在棱的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为

A.           B.              C.              D.

6. 已知平面向量与的夹角为，且，

则   

A. 1 B. 2 C.  D.

7. 已知的面积为，，且，则的周长为     

A.  B.  C.  D. 12

8. 三棱锥三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别为1，，，则该三棱锥的外接球体积为　 　

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本大题共4小题，，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得0分，部分对得3分。

9. 设向量，，则下列结论中正确的是       

1.  B.  C.  D.

10. 有下列命题：

经过三点确定一个平面； 梯形可以确定一个平面；

两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

其中正确命题是

A.  B.  C.  D.

11. 正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，设该棱台的体积为V，侧面积为S，则以下结论正确的是．

A.  B.  C.  D.

12. 如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，为钝角，，，，则下列结论正确的有     

A.         B.
C.       D. 的面积为

三、单空题：本大题共4小题，每小题5分，共20.0分。

13. 已知向量，，若向量与垂直，则          ．
14. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为          ．
15. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，下列说法中正确的是

填序号

若，，则；    若，，则；

    若，，则．

16. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得已知山高，则山高________．

四、解答题 ：本大题共7小题，每小题5分，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知，．
    求的坐标；
    当k为何实数时，k与平行，平行时它们是同向还是反向？
    
     
18. 如图，梯形ABCD满足，将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记为．
    求的体积V；  

求的表面积S．



 

19. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，．
    若，求sinA的值；
    若的面积，求b、c的值．

20. 如图所示，AB是的直径，点C在上，P是所在平面外一点，D是PB的中点。
    求证：平面PAC；
    若是边长为6的正三角形，，且，证明并求三棱锥的体积。
    
    
    
     
21. 在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，，．

求角B；     求的面积．
 

22. 在平面直角坐标系xOy中，设向量，，．

若，求的值；

设，，且，求的值．
 

23. 如图，已知在海岸A处，发现南偏东方向距A为海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为海里的C处的缉私船立即奉命以海里时的速度追截走私船．
    刚发现走私船时，求两船的距离；
    若走私船正以海里时的速度从B处向南偏东方向逃窜，问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间最后结果精确到分钟，参考数据：，．
    
    

答案和解析

1.A
解：原式．
2.B
解：．
3.A
解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，
由正弦定理，即，解得，
又由，可得B为锐角，可得．
4.B
解：圆柱的正视图是面积为4的正方形，圆柱的底面半径为1，高为2．圆柱的体积．
5. C

6.B
解：

则：，据此可得：．
7.A
解：在中，角，，故由正弦定理可得，
再由，可得，，．
再由余弦定理可得，解得：．
故三角形的周长，
8.A
解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球．
长方体的对角线长为，球直径为4，半径
因此，三棱锥外接球的体积是
9.AD
解：由向量，，可知，，故A正确
，故B错误
因为不存在使得，所以与不共线，故C错误
，所以，故D正确．
10.BC
解：对于，经过不在一条直线上的三点，可以确定一个平面，故错误；
对于，因为两平行直线可唯一确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故正确；
对于，当两两相交的三条直线交于不同的三个点时，它们唯一确定一个平面，当两两相交的三条直线交于同一个点时，它们可以确定1个或3个平面，例如三角形内的三条高线，它们确定一个平面，例如三棱锥的三条侧棱，它们可以确定3个不同平面，所以两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故正确；
对于，两平面相交时，它们有一条公共边，即两个平面有无数个公共点，但这两个平面不重合，故错误．
11.AD
解：正四棱台的上、下底面边长分别为1 cm，3 cm，侧棱长为2 cm，高
所以棱台的斜高为：．
所以棱台的侧面积是：体积：
12.ABC
解：由，得：，又为钝角，

解得：，
由余弦定理，，得：，解得，
可知为等腰三角形，即，所以，
解得，故A正确，可得，
在中，，得，可得，故B正确，
，可得，可得，故C正确，
，故D错误．
13.7

解：向量，，，
向量与垂直，，解得．
14.

解圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，
，，，圆锥的表面积为．
15.
解：中m，n可以平行、相交或异面；中或；
中直线n与平面的位置关系不确定；只有正确．
16.
解： 在中，，，则；
在中，因为，，，
所以由正弦定理，得，解得；
在中，；
17.解：因为，，所以．

，，因为k与平行，

所以，解得，所以k，，

即时，k与平行，方向相反．

18.解：几何体为圆柱与圆锥的组合体，圆锥和圆柱的底面半径为，
圆锥的高为，圆柱的高，．
圆锥的母线长．
几何体的面积．
 

19解：，且， ，

由正弦定理得，       

，，       

由余弦定理得， 

．

20. 证明：为AB的中点，D为PB的中点，，
    又平面PAC，平面PAC，平面PAC；
    解：为圆O的直径，，
    又，平面PAC，平面PAC，
    ，，，
    ．
    21.解：若选择，由余弦定理，
    因为，所以，若选择，
    由正弦定理得，
    因为，所以，，
    因为，所以若选择，
    则，所以，因为，所以，
    解法由正弦定理得，由余弦定理得：，
    即，解得，的面积．
    解法由正弦定理得，，，

．．．
的面积．
 

22.【答案】 解：因为，，，

所以，且．

因为，所以，即，

所以，即．

因为，所以．依题意得．

因为，所以．

化简得，所以

因为，所以．所以，即．
23.解：在中，因为海里，海里，，
由余弦定理，得海里 
答：刚发现走私船时，两船的距离为4海里．
根据正弦定理，可得，所以，易知，
设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获在点走私船，
则有海里，海里．而，
在中，根据正弦定理，可得，
所以，，所以根据正弦定理，得，
解得小时分钟．
答：缉私船沿南偏东方向，需47分钟才能追上走私船．