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2022届“四省八校”高三下学期开学考试数学（文）试题含解析

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这是一份2022届“四省八校”高三下学期开学考试数学（文）试题含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022 届“四省八校”高三下学期开学考试数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则( )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分式不等式解法解出集合A，根据对数的运算法则计算出集合B，再根据集合交集运算得结果.

【详解】，

，

∴.

故选：C.

2．已知，复数（为虚部单位）为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出，从而可求出复数，即可得出答案.

【详解】解：，

因为复数（为虚部单位）为纯虚数，

所以，解得，

所以，所以，

所以z的共轭复数的虚部为.

故选：B.

3．已知，，则“”是“存在使得”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.

【详解】(1)当存在使得时，

则；

即不能推出.

(2)当时，

或，,

所以对第二种情况，不存在时，使得成立，

故“”是“存在使得”的既不充分不必要条件.

故选：D

4．设函数，则函数的图象可能为( )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断f(x)的奇偶性和单调性即可判断图像.

【详解】，

，

∴f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，图像关于原点对称，据此排除BD；

又，∴选C.

故选：C.

5．函数的最大值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，再根据正弦函数性质即可求解.

【详解】

∴f(x)最大值为5，

故选：D.

6．已知，则下列关系中成立的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系．

【详解】由题意知，，，

解得．

同理可解得，

比较x和y：取，

比较x和z：取，

比较y和z：取，

综上所述：，故选C．

【点睛】对数式特殊值有，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小．

7．函数对于都有，恒成立，在区间上无最值.将横坐标变为原来的6倍，图像左移个单位，上移3个单位得到，则下列选项正确的是（）

A．在上单调递增

B．当时取得最小值为

C．的对称中心为（）

D．右移m个单位得到，当时，为偶函数

【答案】D

【分析】根据三角函数的对称性求出对称中心与对称轴可得函数周期求，再利用特殊值求出求出函数解析式，根据图象变换得出的解析式，利用单调性，对称性判断ABC，再根据平移后得为偶函数求，判断D即可.

【详解】因为，恒成立可知为函数的一个对称中心，为函数的一条对称轴，

所以，，解得.

∴，

,，

∴,满足题意

则，

令,解得，，

当时，的增区间为，故在上不是增函数，故A错误；

当时，不为最小值，故B错误；

令,解得，，所以的对称中心为，故C错误；

右移m个单位后可得，当为偶函数时，，，，故时，，故D正确.

故选：D

8．已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD内一动点，则下列命题正确的个数是( )

①若，则点N的轨迹长度为π.

②若N到平面与直线的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分.

③若N在线段AC上运动，则.

④若N在线段AC上运动，则.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】①连接DN、MN，求出DN，根据圆的定义可求N的轨迹，根据圆的周长可求轨迹长度；

②根据几何关系可知N到平面的距离即为N到直线BC的距离，N到直线的距离即为NA，根据抛物线的定义即可判断N的轨迹；

③连接，证明平面即可；

④连接连接AC和BD交于O，连接MO，则∥MO，由此即可判断.

【详解】①连接DN、MN，

∵DM⊥平面ABCD，∴，∴，

∴点N的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆的，

∴点N轨迹长度为圆的周长的，为，故①正确；

②如图，过N作NE⊥BC与E，连接AN：

∵平面ABCD⊥平面且两平面交于BC，∴NE⊥平面，∴NE即为N到平面的距离；

∵⊥平面ABCD，∴⊥AN，∴AN就是N到直线的距离；

若N到平面与直线的距离相等，即NE＝NA，根据抛物线的定义可知N的轨迹是以A为焦点，BC为准线的抛物线的一部分，故②正确；

③连接：

是正方形，，

∵平面平面，

同理可证平面③正确；

④连接AC和BD交于O，连接MO，

∵ABCD时正方形，∴OB＝OD，又M是的中点，∴在三角形中，∥MO，

∴若N在线段AC上运动，只有当N为AC中点O才满足，故④错误.

∴正确的命题是：①②③，正确的个数为：3.

故选：C.

9．若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是( )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】问题等价于f(x)的导数在x＞0时有零点，再参变分离转化为函数交点问题.

【详解】依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，

又，，

∴有正根，即有正根，

即函数y＝－2a与函数的图像有交点，

令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，

∴－2a≥，即a≤.

故选：C.

10．设函数是偶函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的形式构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可.

【详解】令，则，

∵，∴，∴在上为减函数，

又∵，

∴函数为定义域上的奇函数，在上为减函数.

又∵，∴，

∴不等式，

∴，或，，

∴，或，

∵成立的x的取值范围是，

故选：D

11．已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点，则最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】推导出，然后在代数式上乘以，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】抛物线的焦点的坐标为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，

设点、，设直线的方程为，

联立，可得，，

由韦达定理可得，，

所以，

，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：D.

12．在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围( )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可.

【详解】当M在第一象限时，如图，设直线AM，BM与圆分别相切于点E，F，

由题可知，，，

又∵，

∴

∴根据双曲线的可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，

∴此时M恒坐标；

当M在第三象限时，如图，

同理可得，

∴根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，∴此时M恒坐标；

综上，M点的横坐标的取值范围.

故选：A.

二、填空题

13．已知实数x，y满足则的最小值为___________.

【答案】2

【分析】先求出可行域，然后根据直线截距求出最小值.

【详解】解：由题意得：

，对应的平面区域如图所示：

设，则，平移此直线，由图象可知直线，经过时，直线的截距最小，得到最小，所以.

故答案为：

14．若一几何体三视图如图所示，则几何体的表面积为___________.

【答案】

【分析】根据三视图可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积计算方法计算即可.

【详解】根据三视图可知该几何体为圆锥，如图所示：

h＝2，r＝1，l＝，

圆锥表面积为.

故答案为：.

15．在中，已知，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】利用二倍角公式分析得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，令，则，，利用函数的单调性可求得的取值范围.

【详解】因为，所以，

因为、，故，所以或.

因为，故，故.

则由正弦定理得

，

因为，所以，所以，

设，则，则，

设，，则在上单调递增，则，即.

所以的取值范围为.

故答案为：.

16．瑞士著名数学家欧拉在年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与轴与双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率为，则该双曲线的离心率可是以是①，②，③，④，⑤.以上结论正确的是_______.

【答案】①③⑤

【分析】设直线的方程为，求出与轴的交点、直线与双曲线的两渐近线的交点、的坐标，对该三角形的外心、重心、垂心的坐标进行分类讨论，结合已知条件求出双曲线的离心率，即可得解.

【详解】设直线的方程为，

令，可得，设直线与轴的交点，

双曲线的渐近线方程为，与直线联立，可得，.

由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，