初中数学3 三角形的三边关系课文配套课件ppt

三角形的基本概念及三边关系

一、知识点梳理

要点一、三角形的定义及分类

1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

注意：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

2．三角形的分类

(1)按角分类：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

(2)按边分类：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

②等边三角形：三边都相等的三角形.

要点二、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

推论：三角形任意两边的差小于第三边.

注意：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系.

二、例题讲解：

1.下列图形中三角形的个数是（  ）

A．4个    B．6个    C．9个   D．10个

2.如图所示,∠BAC的对边是 (　　)

A.BD             B.DC          C.BC           D.AD

3.按边分类：有两条边相等的三角形叫做_______________，其他三角形叫做__________

三边都相等的三角形叫做_______________,等边三角形是特殊的_______________。

4.图3中有　　　　个三角形,用符号表示这些三角形为__________________. 

5.如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C所对的边______还可用______表示．

6.由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．

7.如图所示．

(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；

(2)线段AE是哪些三角形的边?

(3)∠B是哪些三角形的角?

8.判断下列三条线段能否构成三角形.

     (1) 3，4，5；     (2) 3，5，9 ；     (3) 5，5，8.

9.在∆ABC中，若b=3，a=7，求第三边的c的取值范围。

10.在∆ABC中，若b=3，a=7，求其周长的取值范围。

11.用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的3倍,求各边长;

(2)能围成一边长为5 cm的等腰三角形吗?为什么?

12.探究：任意画一个∆ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？走那条线路，路径最短？为什么？

三、课堂达标

一、选择题。

1．如图所示的图形中，三角形的个数共有(    ).

    A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

2.如图，为了估计池塘岸边A、B两点间的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，则A、B之间的距离不可能是（ ）

A. 20米        B. 15米       C. 10米           D. 5米

3.等腰三角形ABC，AB=AC，若周长为20cm，则AB边长取值范围是（     ）

A．1cm<AB<4cm    B.5cm<AB<10cm     B.4cm<AB<8cm      D.4cm<AB<10cm

4．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（    ）.

    A．2对； B．3对； C．4对； D．6对；

5.若一个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,则它的第三边的长可能是(　　)

A.2 cm  B.3 cm  C.6 cm  D.9 cm

6.如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（   ）

A. 6＜L＜15   B. 6＜L＜16   C.11＜L＜13   D.10＜L＜16

7．已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（    ）

A．22        B．17       C．17或22          D．13

8.若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m-n|+（n-p）2=0，则这个三角形为（　　）

A、等腰三角形          B、等边三角形   C、直角三角形           D、等腰直角三角形

9.如图，平面上A．B．C．D．E五个点，其中B．C．D及A．E．C分别在同条一直线上，那么以这5个点中的3个点为顶点的三角形有（　　）  

A、4个      B、6个          C、8个          D、10个

10.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为(　　)

A.2a+2b-2c    B.2a+2b        C.2c    D.0

二、填空题。

1.如果三条线段的比是：①1：3：4，②1：2：3，③1：4：6，④3：3：6，⑤6：6：10，⑥3：4：5，其中可构成三角形的有             。

2.若三角形三边a，b，c满足条件a+b+c=10，且(a-2)2+|b-4|=0，则△ABC是     三角形

3.在△ABC中，AB=5,AC=7,那么BC的长的取值范围是__ _____.

4.三角形的两边长分别为5 cm和12 cm,第三边与前两边中的一边相等,则三角形的周长为　　　. 

5.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是_______。

6.如图，若存在AB1，AB2，AB3，…，AB9，AB10共10条线段，且点B1，B2，…，B10在同一条直线上，则图中共有    个三角形.

三、解答题。

1.长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？

2.已知三角形的三边长分别为2，x-3，4，求x的取值范围．

3.一个等腰三角形的三边的长都是整数，且周长为12，求这个三角形的三边长。
 

4.已知：三角形ABC中，AB=5,BC=2a+1,AC=12,求a的取值范围。

5.如图，D是三角形ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小。

6.已知：a，b，c分别为三角形ABC的三边，且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6

(1)求c的取值范围；
(2)若三角形ABC周长为12，求c。
 

7.等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．

8.有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

三角形的基本概念及三边关系

一、知识点梳理

要点一、三角形的定义及分类

1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

注意：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

2．三角形的分类

(1)按角分类：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

(2)按边分类：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

②等边三角形：三边都相等的三角形.

要点二、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

推论：三角形任意两边的差小于第三边.

注意：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系.

二、例题讲解：

1.下列图形中三角形的个数是（  ）

A．4个    B．6个    C．9个   D．10个

解析：单个的三角形有4个，
两个三角形组合的三角形有3个，
三个三角形组合的三角形有2个，
四个三角形组合的三角形有1个，
∴三角形的个数是4+3+2+1=10．
故选D．

2.如图所示,∠BAC的对边是 (　　)

A.BD             B.DC          C.BC           D.AD

解析：根据三角形对边的定义可知：∠BAC的对边是BC．∠BAC的对边是BC．

故选C．

3.按边分类：有两条边相等的三角形叫做_______________，其他三角形叫做__________

三边都相等的三角形叫做_______________,等边三角形是特殊的_______________。

解析：等边三角形是三条边都相等的三角形；等腰三角形是两条边相等的三角形。

4.图3中有　　　　个三角形,用符号表示这些三角形为__________________. 

解析：由三角形的概念，结合图形可知，图中以E为一个顶点的三角形有△ABE、△ADE、△CDE，不以E为顶点的三角形有△ABD、△ACD，所以共有5个三角形．

5.如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C所对的边______还可用______表示．

解析：

6.由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．

解析：三角形的三边关系定理及推论：

三角形的两边之和大于第三边；小于第三边。

7.如图所示．

(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；

(2)线段AE是哪些三角形的边?

(3)∠B是哪些三角形的角?

解析：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．

　(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．

　(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．

8.判断下列三条线段能否构成三角形.

     (1) 3，4，5；     (2) 3，5，9 ；     (3) 5，5，8.

答案：（1）能   （2）不能    （3）能
9.在∆ABC中，若b=3，a=7，求第三边的c的取值范围。
解析：∵三角形的两边的长分别为7和3，
∴根据三角形的三边关系，得：7-3＜c＜3+7，即：4＜c＜10．

10.在∆ABC中，若b=3，a=7，求其周长的取值范围。

解析：根据三角形的性质，两边之和大于第三边，且三角形是等腰三角形，
3+3＜7，所以等腰三角形的腰长是7，三角形ABC的周长是7+7+3=17

11.用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的3倍,求各边长;

(2)能围成一边长为5 cm的等腰三角形吗?为什么?

解析：(1)设底边长为xcm，则腰长为3xcm，
根据题意得，x+3x+3x=21，  解得x=3cm；
(2)若5cm为底时，腰长= 12(21-5)=8cm，

三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，

若5cm为腰时，底边=21-5×2=11，

三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，
∵5+5=10＜11，
∴不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．

故答案为：(1)3cm；(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．

12.探究：任意画一个∆ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？走那条线路，路径最短？为什么？

解析：2条.AB+AC>BC.两点之间直线距离最短

三、课堂达标

一、选择题。

1．如图所示的图形中，三角形的个数共有(    ).

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

解析：BC上有3条线段，所以有三个三角形．

故选C．

2.如图，为了估计池塘岸边A、B两点间的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，则A、B之间的距离不可能是（ ）

A. 20米        B. 15米       C. 10米           D. 5米

解析：设AB间的距离为x米，由题意得：
15-10＜x＜15+10，
解得：5＜x＜25，
故选：D
3.等腰三角形ABC，AB=AC，若周长为20cm，则AB边长取值范围是（     ）
A．1cm<AB<4cm    B.5cm<AB<10cm     B.4cm<AB<8cm      D.4cm<AB<10cm

解析：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，

∴，
解得5cm＜x＜10cm．
故选：B．
4．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（    ）.

A．2对； B．3对； C．4对； D．6对；

解析：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对
故选：B

5.若一个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,则它的第三边的长可能是(　　)

A.2 cm  B.3 cm  C.6 cm  D.9 cm

解析：三角形两边之合大于第三边  3+6=9
三角形两边只差小于第三边   6-3=3
∴要大于3小于9
也就是说在3和9之间都可以

故选C

6.如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（   ）

A. 6＜L＜15   B. 6＜L＜16   C.11＜L＜13   D.10＜L＜16

解析：根据三角形的三边关系，得

第三边大于2，而小于8．

则周长L的取值范围是大于10，而小于16．

故选D．

7．已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（    ）

A．22        B．17       C．17或22          D．13

解析：①若4是腰，则另一腰也是4，底是9，但是4+4＜9，故不能构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是9，9．
4+9＞9，符合条件，成立．
故周长为：4+9+9=22．
故选A．

8.若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m-n|+（n-p）2=0，则这个三角形为（　　）

A、等腰三角形          B、等边三角形   C、直角三角形           D、等腰直角三角形

解析：∵|m-n|+（n-p）2=0，
∴|m-n|=0，（n-p）2=0，
∴m-n=0，n-p=0，
∴m=n=p，
∴这个三角形的等边三角形．
故答案为：B

9.如图，平面上A．B．C．D．E五个点，其中B．C．D及A．E．C分别在同条一直线上，那么以这5个点中的3个点为顶点的三角形有（　　）  

A、4个      B、6个          C、8个          D、10个

解：能围成的三角形有：△BCE，△BCA，△CDE，△CDA，△BDE，△BDA，△AEB，△AED共6个．

故选B

10.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为(　　)

A.2a+2b-2c    B.2a+2b        C.2c    D.0

解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，

∴原式＝a+b﹣c+（c﹣a﹣b）
＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．

故选：D．

二、填空题。

1.如果三条线段的比是：①1：3：4，②1：2：3，③1：4：6，④3：3：6，⑤6：6：10，⑥3：4：5，其中可构成三角形的有             。

①1+3=4，不能组成三角形；
②1+2=3，不能组成三角形；
③1+4<6， 不能够组成三角形；
④3+3=6，不能够组成三角形．

⑤6+6>10,能够组成三角形。
⑥3+4>5, 能够组成三角形。

故答案：⑤⑥
2.若三角形三边a，b，c满足条件a+b+c=10，且(a-2)2+|b-4|=0，则△ABC是     三角形

解析：由题意得：， 解得：，

∵a+b+c=10

∴c=4，

∵b=c=4

所以△ABC是等腰三角形。

3.在△ABC中，AB=5,AC=7,那么BC的长的取值范围是__ _____.

解析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出则BC边的长x的范围．

故答案：2＜x＜12

4.三角形的两边长分别为5 cm和12 cm,第三边与前两边中的一边相等,则三角形的周长为　　　. 
解析：当第三边为5cm时，

此时三角形的三边分别为：5cm，5cm和12cm，

∵5+5<12，

∴不能组成三角形；

当第三边为12cm时，

此时三角形的三边分别为：5cm，12cm和12cm，

∵5+12>12，

∴能组成三角形；

此时周长为5+12+12=29cm。

故答案为：29cm。

5.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是_______。
解析：设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x=18，
解得x=3.6，
∴2x=2×3.6=7.2．
故答案为：7.2cm，7.2cm，3.6cm．

6.如图，若存在AB1，AB2，AB3，…，AB9，AB10共10条线段，且点B1，B2，…，B10在同一条直线上，则图中共有    个三角形.

解析：如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，线段上有9个点，代入求出三角形的个数即可。

故选：45个。

三、解答题。

1.长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？

解析：有2种选法．
选其中3根组成一个三角形，不同的选法有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、5、3．
能够组成三角形的只有：10、7、5；7、5、3．
∴有2种．

2.已知三角形的三边长分别为2，x-3，4，求x的取值范围．

解析：∵三角形的三边长分别为2、x-3、4，
∴4-2＜x-3＜4+2，
即5＜x＜9．

3.一个等腰三角形的三边的长都是整数，且周长为12，求这个三角形的三边长。
解析：设三角形的三边长分别为a，a，b，则有2a+b=12，
∴a＜6．
又b＜2a，
∴4a＞12，
∴a＞3．
∴3＜a＜6，
因为三边长都是整数，则a为整数，
∴a=4或a=5，
当a=4时，b=4，
当a=5时，b=2，
故答案为：4，4，4

4.已知：三角形ABC中，AB=5,BC=2a+1,AC=12,求a的取值范围。

解析：∵△ABC中，AB=5，BC=2a+1，AC=12，
∴2a+1>12-5
  2a+1<12+5

解得3＜a＜8．
故a的范围是3＜a＜8

5.如图，D是三角形ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小。

解析：∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠ABC>∠A

∴AC>BC。

6.已知：a，b，c分别为三角形ABC的三边，且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6

(1)求c的取值范围；
(2)若三角形ABC周长为12，求c。
 

解析：（1）∴a-b＜c＜a+b
∴2c-6＜c＜3c-2； 
∴1＜c＜6

（2）周长=a+b+c=3c-2+c=4c-2=12 

          4c=14

c=

7.等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．

解析：设腰为x，则底为10-2x，
由题意2x＞10-2x，
∴x＞2.5且x＜5
∵x为整数，
∴x=3或4，
∴三角形的三边分别为3，3，4：；或4，4，2．

8.有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

解析：设为X
则3X-3=12或者 3X+3=12
解得X=5或者 X=3
三角形变长分别为552或 336
因为336不能构成三角形
所以第三边长2CM。