山西省大同市名校2021-2022学年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．用五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，从正面看到的图形是（　　）

A． B． C． D．

2．最小的正整数是（　　）

A．0    B．1    C．﹣1    D．不存在

3．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，

其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤

4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．为喜迎党的十九大召开，乐陵某中学剪纸社团进行了剪纸大赛，下列作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

6．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB的三个顶点都在格点上，现将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD，则点A经过的路径弧AC的长为（　　）

A． B．π C．2π D．3π

7．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）

A．（3，1） B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）

8．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　

A． B． C． D．

9．如图，是的直径，是的弦，连接，，，则与的数量关系为（    ）

A． B．

C． D．

10．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（   ）．

A． B．

C． D．

11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（　　）

A．2， B．2 ，π C．， D．2，

12．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ）

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．已知：如图，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为__．

14．当2≤x≤5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为_____．

15．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是，则一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是____.

16．反比例函数y=与正比例函数y=k2x的图象的一个交点为（2，m），则=____．

17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．

18．计算：2（a－b）＋3b＝___________．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）一个不透明的袋子中，装有标号分别为1、-1、2的三个小球，他们除标号不同外，其余都完全相同；搅匀后，从中任意取一个球，标号为正数的概率是           ； 搅匀后，从中任取一个球，标号记为k，然后放回搅匀再取一个球，标号记为b，求直线y=kx+b经过一、二、三象限的概率.

20．（6分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？

(2)将两幅不完整的图补充完整；

(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数；

(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．

21．（6分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据绘制成图表时发现，优秀漏统计4人，良好漏统计6人，于是及时更正，从而形成如图图表，请按正确数据解答下列各题：

学生体能测试成绩各等次人数统计表

（1）填写统计表；

（2）根据调整后数据，补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1500人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数．

22．（8分）阅读下列材料，解答下列问题：

材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．

公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax﹣3a2

＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2

＝（x+a）2﹣（2a）2

＝（x+3a）（x﹣a）

材料2．因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则

原式＝A2+2A+1＝（A+1）2

再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把c2﹣6c+8分解因式；

（2）结合材料1和材料2完成下面小题：

①分解因式：（a﹣b）2+2（a﹣b）+1；

②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．

23．（8分）2018年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元.

24．（10分）计算：﹣22﹣+|1﹣4sin60°|

25．（10分）如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，CD∥AB，∠A=30°，且CD=．

（1）求∠C的度数；

（2）求证：BC是⊙O的切线．

26．（12分）某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需210元．

（Ⅰ）求这两种品牌计算器的单价；

（Ⅱ）开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计算器10个以上超出部分按原价的七折销售．设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式．

（Ⅲ）某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．

27．（12分）如图， 二次函数的图象与 x 轴交于和两点，与 y 轴交于点 C，一次函数的图象过点 A、C．

（1）求二次函数的表达式

（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量 x 的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：A．

2、B

【解析】
根据最小的正整数是1解答即可．

【详解】

最小的正整数是1．

故选B．

【点睛】

本题考查了有理数的认识，关键是根据最小的正整数是1解答．

3、C

【解析】

试题解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，

∴2a+b=0，所以①正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴b=-2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴x=1时，二次函数有最大值，

∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；

∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）

∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．

故选C．

考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点．

4、C

【解析】
分为三种情况：①AP=OP，②AP=OA，③OA=OP，分别画出即可．

【详解】

如图，

分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论.

∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个.

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解．

5、C

【解析】
根据轴对称和中心对称的定义去判断即可得出正确答案.

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是轴对称和中心对称的知识点，解题关键在于对知识点的理解和把握.

6、A

【解析】
根据旋转的性质和弧长公式解答即可．

【详解】

解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD，

∴∠AOC＝90°，

∵OC＝3，

∴点A经过的路径弧AC的长＝= ，

故选：A．

【点睛】

此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．

7、B

【解析】
作出图形，结合图形进行分析可得.

【详解】

如图所示：

①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；

②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，-1）；

③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1），

故选B.

8、B

【解析】
在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；

【详解】

在Rt△ABC中，AB=，

在Rt△ACD中，AD=，

∴AB：AD=：=，

故选B．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．

9、C

【解析】
首先根据圆周角定理可知∠B=∠C，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果.

【详解】

解：∵是的直径，

∴∠ADB=90°.

∴∠DAB+∠B=90°.

∵∠B=∠C，

∴∠DAB+∠C=90°.

故选C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.

10、B

【解析】
把抛物线y=x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．

【详解】

解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴原抛物线的顶点坐标为（-1，2），
令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，
∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴所得抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3[或y=-（x-1）2+4]．
故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便．

11、D

【解析】

试题分析：连接OB，

∵OB=4，

∴BM=2，

∴OM=2，，

故选D．

考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．

12、B

【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．

【详解】

由题意可知： ,

解得：,

故选：．

【点睛】

考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、2﹣π．

【解析】

试题分析：根据题意可得：∠O=2∠A=60°，则△OBC为等边三角形，根据∠BCD=30°可得：∠OCD=90°，OC=AC=2，则CD=，，则．

14、1．

【解析】
先根据二次函数的图象和性质判断出2≤x≤5时的增减性，然后再找最大值即可.

【详解】

对称轴为

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴当x＝2时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为1，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

15、

【解析】
根据数据x1，x2，…，xn的平均数为=（x1+x2+…+xn），即可求出数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数．

【详解】

数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数=（x1+1+x2+1+…+xn+1）=（x1+x2+…+xn）+1=+1．

故答案为+1．

【点睛】

本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．

16、4

【解析】
利用交点(2，m)同时满足在正比例函数和反比例函数上，分别得出m和、的关系.

【详解】

把点(2,m)代入反比例函数和正比例函数中得，，，则.

【点睛】

本题主要考查了函数的交点问题和待定系数法，熟练掌握待定系数法是本题的解题关键.

17、58

【解析】
根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，

求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．

【详解】

解：∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBF=90°，

在Rt△CBF和Rt△ABE中

∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），

∴∠FCB=∠EAB，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ACB=45°．

∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，

∴∠BCF=∠BAE=13°，

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°

故答案为58

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

18、2a+b．

【解析】
先去括号，再合并同类项即可得出答案．

【详解】

原式=2a-2b+3b

=2a+b．

故答案为：2a+b．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）直接运用概率的定义求解；（2）根据题意确定k>0,b>0，再通过列表计算概率.

【详解】解：(1)因为1、-1、2三个数中由两个正数，

所以从中任意取一个球，标号为正数的概率是.

(2)因为直线y=kx+b经过一、二、三象限，

所以k>0,b>0，

又因为取情况：

共9种情况，符合条件的有4种，

所以直线y=kx+b经过一、二、三象限的概率是.

【点睛】本题考核知识点：求规概率. 解题关键：把所有的情况列出，求出要得到的情况的种数，再用公式求出 .

20、（1）本次参加抽样调查的居民有600人；（2）补图见解析；（3）72°；（4）.

【解析】

试题分析：（1）用B的频数除以B所占的百分比即可求得结论；

（2）分别求得C的频数及其所占的百分比即可补全统计图；

（3）算出A的所占的百分比,再进一步算出C所占的百分比，再扇形统计图中C所对圆心角的度数；

（4）列出树形图即可求得结论．

试题解析：（1）60÷10%=600（人）．

答：本次参加抽样调查的居民有600人．

（2）如图；

（3），360°×（1－10%－30%－40%）=72°．

（4）如图；

（列表方法略，参照给分）．

P（C粽）=．

答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．

考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法．

21、（1）12；22；12；4；50；（2）详见解析；（3）1．

【解析】
（1）求出各自的人数，补全表格即可；
（2）根据调整后的数据，补全条形统计图即可；
（3）根据“游戏”人数占的百分比，乘以1500即可得到结果．

【详解】

解：（1）填表如下：

故答案为12；22；12；4；50；

（2）补全条形统计图，如图所示：

（3）抽取的学生中体能测试的优秀率为24%，

则该校体能测试为“优秀”的人数为1500×24%=1（人）．

【点睛】

本题考查了统计表与条形统计图的知识点，解题的关键是熟练的掌握统计表与条形统计图的相关知识点.

22、（1）(c-4)(c-2)；（2）①（a-b+1）2；②（m+n-1）（m+n-3）.

【解析】
（1）根据材料1，可以对c2-6c+8分解因式；

（2）①根据材料2的整体思想可以对（a-b）2+2（a-b）+1分解因式；

②根据材料1和材料2可以对（m+n）（m+n-4）+3分解因式．

【详解】

（1）c2-6c+8

=c2-6c+32-32+8

=（c-3）2-1

=（c-3+1）（c-3+1）

=(c-4)(c-2)；

（2）①（a-b）2+2（a-b）+1

设a-b=t，

则原式=t2+2t+1=（t+1）2，

则（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2；

②（m+n）（m+n-4）+3

设m+n=t，

则t（t-4）+3

=t2-4t+3

=t2-4t+22-22+3

=（t-2）2-1

=（t-2+1）（t-2-1）

=（t-1）（t-3），

则（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．

23、15元．

【解析】
首先设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元，根据题意列出一元一次方程进行求解.

【详解】

解：设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元.

根据题意，列方程得：， 解得：x=15

答：每棵柏树苗的进价是15元.

【点睛】

此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

24、-1

【解析】
直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．

【详解】

解：原式＝

＝

＝﹣1．

【点睛】

此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．

25、（1）60°；（2）见解析

【解析】
（1）连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；

（2）连接OB，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD与AB平行，得到一对同旁内角互补，求出∠ABC度数，由∠ABC﹣∠ABO度数确定出∠OBC度数为90，即可得证；

【详解】

（1）如图，连接BD，

∵AD为圆O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴BD=AD=3，

∵CD∥AB，∠ABD=90°，

∴∠CDB=∠ABD=90°，

在Rt△CDB中，tanC=，

∴∠C=60°；

（2）连接OB，

∵∠A=30°，OA=OB，

∴∠OBA=∠A=30°，

∵CD∥AB，∠C=60°，

∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，

∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC为圆O的切线．

【点睛】

此题考查了切线的判定，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

26、（1）A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（2）y1=45x， y2= ；（3）详见解析.

【解析】
(1)根据题意列出二元一次方程组并求解即可；

(2)按照“购买所需费用=折扣×单价×数量”列式即可，注意B品牌计算器的采购要分0≤x≤10和x＞10两种情况考虑；

(3)根据上问所求关系式，分别计算当x＞15时，由y1=y2、y1＞y2、y1＜y2确定其分别对应的销量范围，从而确定方案.

【详解】

（Ⅰ）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，

根据题意得，，

解得：，

答：A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；

（Ⅱ）A品牌：y1=50x•0.9=45x；

B品牌：①当0≤x≤10时，y2=60x，

②当x＞10时，y2=10×60+60×（x﹣10）×0.7=42x+180，

综上所述：

y1=45x，

y2=；

（Ⅲ）当y1=y2时，45x=42x+180，解得x=60，即购买60个计算器时，两种品牌都一样；

当y1＞y2时，45x＞42x+180，解得x＞60，即购买超过60个计算器时，B品牌更合算；

当y1＜y2时，45x＜42x+180，解得x＜60，即购买不足60个计算器时，A品牌更合算，

当购买数量为15时，显然购买A品牌更划算.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用.

27、（1）；（2）．

【解析】
（1）将和两点代入函数解析式即可；

（2）结合二次函数图象即可．

【详解】

解：(1)∵二次函数与轴交于和两点，

解得

∴二次函数的表达式为．

 (2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围是．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质．