山东省德州市2022届高三下学期5月第二次模拟数学试题（Word版含答案）

德州市2022届高三下学期5月第二次模拟

数学试题

2022.4

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1－2页，第Ⅱ卷3－4页，共150分，测试时间120分钟.

注意事项:

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合，，则

A.(0.1)       B.[0，1]       C.[－2，1]       D.(0，1，2)

2.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的

A.充分不必要条件       B.必要不充分条件       C.充要条件       D.既不充分也不必要条件

3.已知i是虚数单位，a，b均为实数，且，则点(a，b)所在的象限为

A.一       B.二        C.三        D.四

4.已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为

A.36       B.30       C.15       D.10

5.为了得到函数的图象，可以将函数图象

A.向左平移个单位      B.向右平移个单位

C.向左平移个单位       D.向右平移个单位

6.设随机变量X服从正态分布N(1，)，若，则

A.0.2      B.0.3      C.0.4      D.0.6

7.已知函数是偶函数，其导函数的图象见下图，且对恒成立，则下列说法正确的是

A.       B.

C.       D.

8.双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，M为双曲线上的一点，则的最小值为

A.2        B.4        C.8        D.12

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分.)

9.教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体

质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强

体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则

A.样本的众数为      B.样本的80%分位数为72

C.样本的平均值为66       D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300人

10.已知O为坐标原点，A(，0)，B(，)，P，则下列结论正确的是

A.△OAB为等边三角形             B.最小值为

C.满足的点P有两个      D.存在一点P使得

11.某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是

A.直线AD与平面DEF所成的角为

B.经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为

C.异面直线AD与CF所成角的余弦值为

D.球上的点到底面DEF的最大距离为

12.若函数存在两个极值点，，则

A.函数至少有一个零点       B或

C.                     D.

第Ⅱ卷(共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.设函数，若，则a=_________.

14.已知角θ的终边过点A(3，y)，且，则tanθ=____________.

15.已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点，，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则_________.

16.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下:将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(，)，记为第1次操作；再将剩下的两个区间[0，]，[，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段:操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为____________.(，)

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分10分)已知数列{}的首项，且满足.

(1)证明是等比数列，并求数列的运项公式；

(2)记，求{}的前n项和.

18.(本小题满分12分)2021年12月17日，工信部发布的“十四五“促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据:

年份(年)201720152019202r2021年份代码())5新换企业数(&)81245

(1)请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；

(2)若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望.

参考公式:回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为

，

19.(本小题满分12分)在；②；

③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题:已知△ABC中，D为AB边上的一点，且BD=2AD，___________.

(1)若，求∠BCD大小；

(2)若CD=CB，求cos∠ACB.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.(本小题满分12分)《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P－ABCD，底面为边长为2的正方形，侧棱PA⊥面ABCD，PA=2，E、F为边BC、CD上的点，，，点M为AD的中点.

(1)若，证明：面PBM⊥面PAF；

(2)是否存在实数A，使二面角P－EF－A的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM与面PEF所成角的正弦值.

21.(本小题满分12分)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－，0)，(，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G.

(1)求曲线G的方程；

(2)设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

22.(本小题满分12分)已知函数，.

(1)当时，求图象在(，f())处的切线方程；

(2)当时，求的极值；

(3)若，为函数的导数，恒成立，求a的取值范围.

高三数学试题参考答案

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.A   2.A   3.B   4.C   5.B   6.C   7.D   8.B

二、多项选择题(共4小题，每小题至少2个以上的答案正确，错选0分，漏选2分，全对5分，共20分)

9.ABD   10.AD   11.AC   12.ACD

三、填空题(共4个小题，每小题5分，本题满分20分)

13.0或e   14.－   15.40   16.[，]   9

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(1).........................................................1分

所以

即是等比数列.................................................................................3分

则的首项为，公比为3，所以

所以.........................................................................................5分

(2)...............................................................6分

所以①

②...................................................8分

①－②得

所以........................................................................10分

18.(1).............................................................1分

..........................................................2分

所以....................................................3分

，

所以.................................................4分

2023年，即当时，由线性回归方程可得，所以估计2023年此地新增企业的数量的为54家................................................................................6分

(2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3...............................................7分

因为，，，所以X的分布列为

......................................11分

所以..................................12分

19.解:若选①

因为，所以

所以

所以

所以.............................................................................2分

因为

所以

所以.......................................................................................4分

若选②

因为

所以

所以.........................................................................2分

因为

所以..............................................................4分

若选③

因为

所以

所以...................................................................................................2分

因为

所以..............................................................4分

(1)若，△ABC为等腰三角形，且.........................................5分

设腰长AC=BC=x，则

所以

由余弦定理

..........................................................6分

所以

所以

所以.................................................................8分

(2)取BD的中点E，连接CE，由CB=CD得CE⊥AB

设AC=2t，在Rt△ACE中，，

，…....................10分

由余弦定理得...............12分

20.(1)时，点E、F为BC及CD的中点.

连接AF，与BM交于点G，

在△ABM和△DAF中，AB=AD，AM=DF，∠BAM=∠ADF=90°

所以△ABM≌△DAF，于是∠ABM=∠FAD......................1分

而∠FAD+∠BAF=90°

所以∠ABM+∠BAF=90°

故∠AGB=90°，即BM⊥AF......................…2分

又PA⊥面ABCD，BM面ABCD，

所以PA⊥BM......................................3分

因为BM⊥PA，BM⊥AF，PA面PAF，AF面PAF，PAAF=A

所以BM⊥面PAF..........................................................4分

又因为BM面PBM，所以面PBM⊥面PAF，........................................5分

(2)连接AC，交EF于点Q，连接PQ，记BD与AC交于点O.

因为，，

所以EF∥BD，

因为AC⊥BD，

所以AC⊥EF从面PQ⊥EF，

所以∠AQP为二面角P－EF－A的一个平面角.........................6分

由题意，∠AQP=45°，从而AQ=PA=2，

所以

于是，

所以，...................7分

如图，以AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，.……8分

于是P(0，0，2)，E(2，2－2，0)，F(2－2，2，0)，B(2，0，0)，M(0，1，0)，

，，，.................9分

设面PEF的一个法向量是

由，得:

取，则，，则=(1，1，).........................................10分

所以直线BM与面PEF所成角为θ，则

.....................................12分

21.(1)因为圆E为△ABC的内切圆，

所以，

所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆，...............................................................................2分

所以，，，所以曲线G的方程为.....................4分

(2)由可知直线l的斜率存在，设直线l方程是，

由平面图形OMDN是四边形，可知，代入到，

得

所以，，.................6分

所以，

点O到直线MN的距离.................................8分

由，得，

因为点D在曲线C上，所以将D点坐标代入椭圆方程得........10分

由题意四边形OMDN为平行四边形，

所以OMDN的面积为

由得，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为..............…12分

22.(1)当时，

.............................................................................1分

所以

..............................................................................2分

(2)因为

.............................3分

当时，恒成立.

所以单调递增，且..................................4分

则在(－∞，0)上，)在(－∞，0)上单调递减

则在(0，+∞)上)，)在(0，+∞)上单调递增........................................5分

，所以，函数的极小值为1－a，无极大值................................6分

(3)已知，

由

即在恒成立

在恒成立.......................................................7分

设，

.......................................................8分

设

由可得，

所以........................................................9分

则在上单调递减，可得...............10分

所以，在(，π)上单调递减，..........11分

则a的取值范围是..….................................................................12分