辽宁省朝阳市建平县2021-2022学年中考二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（　　）

A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6

2．郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（　　）

A． B． C． D．

3．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，△ABC的面积为8cm2  ， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（   ）

A．2cm2   B．3cm2   C．4cm2   D．5cm2

5．在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（　　）

A．1    B．m    C．m2    D．

6．中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过810000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．8.1×106 B．8.1×105 C．81×105 D．81×104

7．某机构调查显示，深圳市20万初中生中，沉迷于手机上网的初中生约有16000人，则这部分沉迷于手机上网的初中生数量，用科学记数法可表示为（　　）

A．1.6×104人 B．1.6×105人 C．0.16×105人 D．16×103人

8．一个正方形花坛的面积为7m2，其边长为am，则a的取值范围为（　　）

A．0＜a＜1 B．l＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4

9．计算的结果等于(   )

A．-5 B．5 C． D．

10．下列各点中，在二次函数的图象上的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．计算a10÷a5=_______．

12．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图所示是一副七巧板，若已知S△BIC=1，据七巧板制作过程的认识，求出平行四边形EFGH_____．

13．如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板ACB的位置保持不动，将三角板DCE绕其直角顶点C顺时针旋转一周．当△DCE一边与AB平行时，∠ECB的度数为_________________________．

14．抛掷一枚均匀的硬币，前3次都正面朝上，第4次正面朝上的概率为________．

15．如图，在△ABC和△EDB中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝_____．

16．使得分式值为零的x的值是_________；

17．如图，⊙O的半径为2，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C．若PC=2，则BC的长为______．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．

（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点　   　是点A，B关于直线x=4的等角点；

（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；

（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．

20．（8分）在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P的坐标满足（m，m﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即点P的轨迹就是直线y=x﹣1．

（1）若m、n满足等式mn﹣m=6，则（m，n﹣1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是　   　；

（2）若点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P的轨迹；

（3）若抛物线y=上有两动点M、N满足MN=a（a为常数，且a≥4），设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离．

21．（10分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．

（1）求小明选择去白鹿原游玩的概率；

（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．

22．（10分） “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　   　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　   　度；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．

23．（12分）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若PC=3，PF=1，求AB的长．

24．（14分）如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点，恰为的直径．

求证：与相切；当时，求的半径．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=1，然后根据“两式相乘值为1，这两式中至少有一式值为1．”来解题．

【详解】

x2-5x-6=1

（x-6）（x+1）=1

x1=-1，x2=6

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

2、C

【解析】
列表得出进出的所有情况，再从中确定出恰好选择从同一个口进出的结果数，继而根据概率公式计算可得．

【详解】

解：列表得：

∴一共有25种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有5种情况，

∴恰好选择从同一个口进出的概率为=，

故选C．

【点睛】

此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3、D

【解析】
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．

【详解】

解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，

根据题意得：x+2y=a，

则图②中两块阴影部分周长和是：

2a+2（b-2y）+2（b-x）

=2a+4b-4y-2x

=2a+4b-2（x+2y）

=2a+4b-2a

=4b．

故选择：D.

【点睛】

此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4、C

【解析】
延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积．

【详解】

延长AP交BC于E．

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．

在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCES△ABC＝4cm1．

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCES△ABC．

5、D

【解析】
本题主要考察二次函数与反比例函数的图像和性质.

【详解】

令二次函数中y=m.即x2=m,解得x=或x=令反比例函数中y=m,即=m,解得x=,将x的三个值相加得到ω=+（）+=.所以本题选择D.

【点睛】

巧妙借助三点纵坐标相同的条件建立起两个函数之间的联系，从而解答.

6、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

810 000=8.1×1．
故选B．

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7、A

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

用科学记数法表示16000，应记作1.6×104，

故选A．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8、C

【解析】
先根据正方形的面积公式求边长，再根据无理数的估算方法求取值范围.

【详解】

解：∵一个正方形花坛的面积为，其边长为，

则a的取值范围为：．

故选：C．

【点睛】

此题重点考查学生对无理数的理解，会估算无理数的大小是解题的关键.

9、A

【解析】
根据有理数的除法法则计算可得．

【详解】

解：15÷（-3）=-（15÷3）=-5，
故选：A．

【点睛】

本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．

10、D

【解析】
将各选项的点逐一代入即可判断．

【详解】

解：当x=1时，y=-1，故点不在二次函数的图象；

当x=2时，y=-4，故点和点不在二次函数的图象；

当x=-2时，y=-4，故点在二次函数的图象；

故答案为：D．

【点睛】

本题考查了判断一个点是否在二次函数图象上，解题的关键是将点代入函数解析式．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、a1．

【解析】

试题分析：根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．

原式=a10-1=a1，

故答案为a1．

考点：同底数幂的除法．

12、1

【解析】
根据七巧板的性质可得BI=IC=CH=HE，因为S△BIC=1，∠BIC=90°，可求得BI=IC=，BC=1，在求得点G到EF的距离为 sin45°，根据平行四边形的面积即可求解.

【详解】

由七巧板性质可知，BI=IC=CH=HE．

又∵S△BIC=1，∠BIC=90°，

∴BI•IC=1，

∴BI=IC=，

∴BC==1，

∵EF=BC=1，FG=EH=BI=，

∴点G到EF的距离为：，

∴平行四边形EFGH的面积=EF•

=1×=1．

故答案为1

【点睛】

本题考查了七巧板的性质、等腰直角三角形的性质及平行四边形的面积公式，熟知七巧板的性质是解决问题的关键.

13、15°、30°、60°、120°、150°、165°

【解析】

分析：根据CD∥AB，CE∥AB和DE∥AB三种情况分别画出图形，然后根据每种情况分别进行计算得出答案，每种情况都会出现锐角和钝角两种情况．

详解：①、∵CD∥AB， ∴∠ACD=∠A=30°， ∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°，

∠ECB+∠ACE=∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACD=30°；

CD∥AB时，∠BCD=∠B=60°，∠ECB=∠BCD+∠EDC=60°+90°=150°

②如图1，CE∥AB，∠ACE=∠A=30°，∠ECB=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°；

CE∥AB时，∠ECB=∠B=60°．

③如图2，DE∥AB时，延长CD交AB于F， 则∠BFC=∠D=45°，

在△BCF中，∠BCF=180°-∠B-∠BFC，=180°-60°-45°=75°，

∴ECB=∠BCF+∠ECF=75°+90°=165°或∠ECB=90°－75°=15°．

点睛：本题主要考查的是平行线的性质与判定，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意得出图形，然后分两种情况得出角的度数．

14、

【解析】
根据概率的计算方法求解即可.

【详解】

∵第4次抛掷一枚均匀的硬币时，正面和反面朝上的概率相等，

∴第4次正面朝上的概率为.

故答案为：.

【点睛】

此题考查了概率公式的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

15、1

【解析】

试题分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，

∵△ABC≌△EDB，

∴BE=AC=4，

∴AE=5﹣4=1.

考点：全等三角形的性质；勾股定理

16、2

【解析】
根据分式的性质，要使分式有意义，则必须分母不能为0，要使分式为零，则只有分子为0,因此计算即可.

【详解】

解：要使分式有意义则 ，即

要使分式为零，则 ，即

综上可得

故答案为2

【点睛】

本题主要考查分式的性质，关键在于分式的分母不能为0.

17、2

【解析】
连接OC，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB是等边三角形，从而得结论．

【详解】

连接OC，

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP=90°，

∵PC=2，OC=2，

∴OP===4，

∴∠OPC=30°，

∴∠COP=60°，

∵OC=OB=2，

∴△OCB是等边三角形，

∴BC=OB=2，

故答案为2

【点睛】

本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞

【解析】
（1）先求出B关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，根据对称性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例可得m=

根据外角性质可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q

根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.

【详解】

（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣），

∴直线AB′解析式为：y=﹣，

当x=4时，y=，

故答案为：C

（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P

作BH⊥l于点H

∵点A和A′关于直线l对称

∴∠APG=∠A′PG

∵∠BPH=∠A′PG

∴∠APG=∠BPH

∵∠AGP=∠BHP=90°

∴△AGP∽△BHP

∴，即，

∴mn=2，即m=，

∵∠APB=α，AP=AP′，

∴∠A=∠A′=，

在Rt△AGP中，tan

（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，

点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方

若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q

由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，

又∠APB=60°

∴∠APQ=∠A′PQ=60°

∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°

∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ

∴△ABQ是等边三角形

∵线段AB为定线段

∴点Q为定点

若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合

∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q

连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N

∵A（2，），B（﹣2，﹣）

∴OA=OB=

∵△ABQ是等边三角形

∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，

∴∠AOM+∠NOD=90°

又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO

∵∠AMO=∠ONQ=90°

∴△AMO∽△ONQ

∴,

∴，

∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）

设直线BQ解析式为y=kx+b

将B、Q坐标代入得

，

解得

，

∴直线BQ的解析式为：y=﹣，

设直线AQ的解析式为：y=mx+n，

将A、Q两点代入，

解得 ，

∴直线AQ的解析式为：y=﹣3，

若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣，

若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=，

又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方，

∴b＜﹣ 且b≠﹣2或b＞.

【点睛】

本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.

19、（1）见解析；（2）2

【解析】

试题分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证；

（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果．

（1）连接OB．

∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．              

∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．            

∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四边形的内角和为360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．       

∴OB⊥PB．

又∵点B是⊙O上的一点，

∴PB是⊙O的切线．                          

（2）连接OP，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=1．                           

∴PA=OP2-OA2=2

∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=2．

考点：此题考查了切线的判定、切线长定理、含30度角的直角三角形的性质

点评：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

20、（1）；（2）y=x2；（3）点Q到x轴的最短距离为1．

【解析】
（1）先判断出m（n﹣1）=6，进而得出结论；

（2）先求出点P到点A的距离和点P到直线y=﹣1的距离建立方程即可得出结论；

（3）设出点M，N的坐标，进而得出点Q的坐标，利用MN=a，得出，即可得出结论．

【详解】

（1）设m=x，n﹣1=y，

∵mn﹣m=6，

∴m（n﹣1）=6，

∴xy=6，

∴

∴（m，n﹣1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是

故答案为：；

（2）∴点P（x，y）到点A（0，1），

∴点P（x，y）到点A（0，1）的距离的平方为x2+（y﹣1）2，

∵点P（x，y）到直线y=﹣1的距离的平方为（y+1）2，

∵点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，

∴x2+（y﹣1）2=（y+1）2，

∴

（3）设直线MN的解析式为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴线段MN的中点为Q的纵坐标为

∴

∴x2﹣4kx﹣4b=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，

∴

∴

∴

∴点Q到x轴的最短距离为1．

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了点的轨迹的定义，两点间的距离公式，中点坐标公式公式，根与系数的关系，确定出是解本题的关键．

21、（1）；（2）

【解析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，

∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝；

（2）画树状图分析如下：

两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，

所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

22、 (1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人

【解析】
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；

（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；

（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．

【详解】

解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，

∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；

∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=90°；

故答案为60，90；

（2）60﹣15﹣30﹣10=5；

补全条形统计图得：

（3）根据题意得：900×=300（人），

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．

【点睛】

本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.

23、（1）证明见解析；（2）1．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可；

（2）延长PO交圆于G点，由切割线定理求出PG即可解决问题．

试题解析：（1）如图，连接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ECP=∠AED，又∵∠EAD=∠ACO，∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切线；

（2）延长PO交圆于G点，∵PF×PG=，PC=3，PF=1，∴PG=9，∴FG=9﹣1=1，∴AB=FG=1．

考点：切线的判定；切割线定理．

24、 (1)证明见解析；(2)．

【解析】
(1)连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；

(2)结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．

【详解】

(1)连接OM，则OM=OB，

∴∠1=∠2，

∵BM平分∠ABC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OM∥BC，

∴∠AMO=∠AEB，

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠AMO=90°，

∴OM⊥AE，

∵点M在圆O上，

∴AE与⊙O相切；

(2)在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴BE=BC，∠ABC=∠C，

∵BC=4，cosC=

∴BE=2，cos∠ABC=，

在△ABE中，∠AEB=90°，

∴AB==6，

设⊙O的半径为r，则AO=6-r，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴∴，

∴，

解得，

∴的半径为．

【点睛】

本题考查了切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形等知识，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.