江苏省南通市长江中学2021-2022学年中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为(   )

A．10 B．9 C．8 D．7

2．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）

A．（3，1） B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）

3．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2017次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2018的坐标为（　　）

A．（4030，1） B．（4029，﹣1）

C．（4033，1） D．（4035，﹣1）

4．平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是（   ）

A． B． C． D．

5．的倒数是（    ）

A． B．3 C． D．

6．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(   )

A． B．

C． D．

7．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

8．如图，函数y=﹣2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，AC⊥AB，且AC=AB，则点C的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（3，1）

9．下列4个点，不在反比例函数图象上的是（ ）

A．（ 2，－3） B．（－3，2） C．（3，－2） D．（ 3，2）

10．下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C． =±4 D．|﹣6|=6

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，如果四边形ABCD中，AD＝BC＝6，点E、F、G分别是AB、BD、AC的中点，那么△EGF面积的最大值为_____．

12．2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市城镇居民人均可支配收入33080元，33080用科学记数法可表示为__．

13．如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______．

14．如图，在△ABC中，BC=7，，tanC=1，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB 为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围______.

15．分解因式8x2y﹣2y＝_____．

16．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=_____°．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

18．（8分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．

(1)求证：∠DAC=∠DCE；

(2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长．

19．（8分）阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．即如图①，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上

请根据阅读材料，解决下列问题：

如图②，直线CD是等边△ABC的对称轴，点D在AB上，点E是线段CD上的一动点（点E不与点C、D重合），连结AE、BE，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合．

（I）旋转中心是点   ，旋转了      （度）；

（II）当点E从点D向点C移动时，连结AF，设AF与CD交于点P，在图②中将图形补全，并探究∠APC的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC的度数；若改变，请说出变化情况．

20．（8分）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有___名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为___；请补全条形统计图；

（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；

（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．

21．（8分）解分式方程： -1=

22．（10分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调査后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？

23．（12分）（1）计算：﹣22+|﹣4|+（）-1+2tan60°

（2） 求 不 等 式 组的 解 集 ．

24．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）=（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．

如：T（3，1）=，T（m，﹣2）=．填空：T（4，﹣1）=　   　（用含a，b的代数式表示）；若T（﹣2，0）=﹣2且T（5，﹣1）=1．

①求a与b的值；

②若T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），求m的值．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．

详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．

    故选D．

点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．

2、B

【解析】
作出图形，结合图形进行分析可得.

【详解】

如图所示：

①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；

②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，-1）；

③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1），

故选B.

3、D

【解析】
根据题意可以求得P1，点P2，点P3的坐标，从而可以发现其中的变化的规律，从而可以求得P2018的坐标，本题得以解决．

【详解】

解：由题意可得，
点P1（1，1），点P2（3，-1），点P3（5，1），
∴P2018的横坐标为：2×2018-1=4035，纵坐标为：-1，
即P2018的坐标为（4035，-1），
故选：D．

【点睛】

本题考查了点的坐标变化规律，解答本题的关键是发现各点的变化规律，求出相应的点的坐标．

4、D

【解析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．

【点睛】

本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.

5、A

【解析】
解：的倒数是．

故选A．

【点睛】

本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键．

6、C

【解析】
根据全等三角形的判定定理进行判断．

【详解】

解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

C、

如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，

∴∠FEC＝∠BDE，

所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，

所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；

D、

如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，

∴∠FEC＝∠BDE，

∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，

∴△BDE≌△CEF，

所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；

由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．

7、A

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知：选项A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；选项C既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；选项D既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．故选A．

考点：中心对称图形；轴对称图形．

8、D

【解析】
过点C作CD⊥x轴与D，如图，先利用一次函数图像上点的坐标特征确定B（0,2），A（1,0），再证明△ABO≌△CAD，得到AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，则C点坐标可求.

【详解】

如图，过点C作CD⊥x轴与D.∵函数y=﹣2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴当x＝0时，y＝2，则B（0,2）；当y＝0时，x＝1，则A（1,0）.∵AC⊥AB，AC＝AB，∴∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.在△ABO和△CAD中，，∴△ABO≌△CAD，∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3，∴C点坐标为（3,1）.故选D.

【点睛】

本题主要考查一次函数的基本概念。角角边定理、全等三角形的性质以及一次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解答的关键.

9、D

【解析】

分析：根据得k=xy=-6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6，就在函数图象上．

解答：解：原式可化为：xy=-6，

A、2×（-3）=-6，符合条件；

B、（-3）×2=-6，符合条件；

C、3×（-2）=-6，符合条件；

D、3×2=6，不符合条件．

故选D．

10、D

【解析】
运用正确的运算法则即可得出答案.

【详解】

A、应该为a5，错误；B、为2，错误；C、为4，错误；D、正确，所以答案选择D项.

【点睛】

本题考查了四则运算法则，熟悉掌握是解决本题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、4.1．

【解析】
取CD的值中点M，连接GM，FM．首先证明四边形EFMG是菱形，推出当EF⊥EG时，四边形EFMG是矩形，此时四边形EFMG的面积最大，最大面积为9，由此可得结论．

【详解】

解：取CD的值中点M，连接GM，FM．

∵AG＝CG，AE＝EB，

∴GE是△ABC的中位线

∴EG＝BC，

同理可证：FM＝BC，EF＝GM＝AD，

∵AD＝BC＝6，

∴EG＝EF＝FM＝MG＝3，

∴四边形EFMG是菱形，

∴当EF⊥EG时，四边形EFMG是矩形，此时四边形EFMG的面积最大，最大面积为9，

∴△EGF的面积的最大值为S四边形EFMG＝4.1，

故答案为4.1．

【点睛】

本题主要考查菱形的判定和性质，利用了三角形中位线定理，掌握菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．

12、3.308×1．

【解析】
正确用科学计数法表示即可.

【详解】

解：33080=3.308×1

【点睛】

科学记数法的表示形式为的形式, 其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时, 要看把原数变成a时, 小数点移动了多少位, n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于10时, n是正数; 当原数的绝对值小于1时,n是负数.

13、

【解析】
把（1,4）代入两函数表达式可得：a+b=4,再根据“对偶直线”的定义，即可确定a、b的值.

【详解】

把（1,4）代入得：a+b=4

又因为，，且，

所以当a=1是b=3

所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：

故答案为

【点睛】

此题为新定义题型，关键是理解新定义，并按照新定义的要求解答.

14、

【解析】

分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可求得PB的取值范围．

详解：作AD⊥BC于点D，作PE⊥BC于点E．∵在△ABC 中，BC=7，AC=3，tanC=1，∴AD=CD=3，∴BD=4，∴AB=5，由题意可得，当PB=PC时，点C恰好在以点P为圆心，PB为半径圆上．∵AD⊥BC，PE⊥BC，∴PE∥AD，∴△BPE∽△BDA，∴，即，得：BP=．故答案为0＜PB＜．

点睛：本题考查了点与圆的位置关系、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

15、2y（2x+1）（2x﹣1）

【解析】
首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．

【详解】

8x2y-2y=2y（4x2-1）

=2y（2x+1）（2x-1）．

故答案为2y（2x+1）（2x-1）．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

16、1

【解析】
先根据同旁内角互补两直线平行知AB∥CD，据此依据平行线性质知∠APM=∠CQM=118°，由邻补角定义可得答案．

【详解】

解：∵∠A+∠C=180°，

∴AB∥CD，

∴∠APM=∠CQM=118°，

∴∠CQN=180°-∠CQM=1°，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

三、解答题（共8题，共72分）

17、15天

【解析】

试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需（x-1）天，乙工程队单独做需（x+6）天，根据题意可得等量关系：乙工程队干x天的工作量+甲工程队干4天的工作量=1，根据等量关系列出方程，解方程即可．

试题解析：设工程期限为x天．

根据题意得，

解得：x=15.

经检验x=15是原分式方程的解．

答：工程期限为15天.

18、（1）证明见解析；（2）．

【解析】
（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；

（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．

【详解】

解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．

∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．

又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE．

（2）∵AB=2，∴AO=1．

∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．

在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==．

∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴，即．

解得：DE=，∴AE=AD﹣DE=．

19、B    60   

【解析】

分析：(1)根据旋转的性质可得出结论;(2)根据旋转的性质可得BF=CF，则点F在线段BC的垂直平分线上，又由AC=AB，可得点A在线段BC的垂直平分线上，由AF垂直平分BC,即∠CQP=90，进而得出∠APC的度数.

详解：(1)B,60；

（2）补全图形如图所示；

的大小保持不变,

理由如下：设与交于点

∵直线是等边的对称轴

∴,

∵经顺时针旋转后与重合

∴ ,

∴

∴点在线段的垂直平分线上

∵

∴点在线段的垂直平分线上

∴垂直平分,即

∴

点睛：本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟记旋转的性质及垂直平分线的性质，注意只证明一点是不能说明这条直线是垂直平分线的.

20、（1）60；90°；统计图详见解析；（2）300；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以360得到结果，补全条形统计图即可；

（2）求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以900即可得到结果；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率．

试题解析：（1）根据题意得：30÷50%=60（名），“了解”人数为60﹣（15+30+10）=5（名），

“基本了解”占的百分比为×100%=25%，占的角度为25%×360°=90°，

补全条形统计图如图所示：

（2）根据题意得：900×=300（人），

则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；

（3）列表如下：

剪          石       布

剪 （剪，剪） （石，剪） （布，剪）

石 （剪，石） （石，石） （布，石）

布 （剪，布） （石，布） （布，布）

所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种，

则P==．

考点：1、条形统计图，2、扇形统计图，3、列表法与树状图法

21、7

【解析】
根据分式的性质及等式的性质进行去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1即可.

【详解】

-1=

3-(x-3)=-1

3-x+3=-1

x=7

【点睛】

此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是正确去掉分母.

22、（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本，利润最大.

【解析】
（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．

（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．

【详解】

解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，

根据题意可得，

化简得：540-10x=360，

解得：x=18，

经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，

则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），

答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；

（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），

由题意得，，

解得：600≤t≤800，

则总利润w=（27-a-18）t+（18-12）（1000-t）

=（9-a）t+6（1000-t）

=6000+（3-a）t，

故当0＜a＜3时，3-a＞0，t=800时，总利润最大，且大于6000元；

当a=3时，3-a=0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；

当3＜a＜5时，3-a＜0，t=600时，总利润最大，且小于6000元；

答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．

23、（1）1；（2）-1≤x<1.

【解析】

试题分析：(1)、首先根据绝对值、幂、三角函数的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案；(2)、分半求出每个不等式的解，然后得出不等式组的解．

试题解析：解：(1)、

(2)、 由得：x<1，由得：x≥-1，∴不等式的解集：-1≤x<1．

24、（1） ；（2）①a=1,b=-1,②m=2．

【解析】
（1）根据题目中的新运算法则计算即可；

（2）①根据题意列出方程组即可求出a,b的值；

②先分别算出T（3m﹣3，m）与T（m，3m﹣3）的值，再根据求出的值列出等式即可得出结论.

【详解】

解：（1）T（4，﹣1）=

=；

故答案为；

（2）①∵T（﹣2，0）=﹣2且T（2，﹣1）=1，

∴

解得

②解法一：

∵a=1，b=﹣1，且x+y≠0，

∴T（x，y）===x﹣y．

∴T（3m﹣3，m）=3m﹣3﹣m=2m﹣3，

T（m，3m﹣3）=m﹣3m+3=﹣2m+3．

∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），

∴2m﹣3=﹣2m+3，

解得，m=2．

解法二：由解法①可得T（x，y）=x﹣y，

当T（x，y）=T（y，x）时，

x﹣y=y﹣x，

∴x=y．

∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），

∴3m﹣3=m，

∴m=2．

【点睛】

本题关键是能够把新运算转化为我们学过的知识，并应用一元一次方程或二元一次方程进行解题..