2022厦门外国语学校高一上学期第一次月考（10月）数学试题含答案

厦门外国语学校2021-2022学年高一上学期（10月）第一次月考

数学试卷

考试时间：2小时，满分150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题(共55分)

1．(本题5分)设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（    ）

A．{1，3，5，7} B．{2，3}

C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}

2．(本题5分)已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

3．(本题5分)若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是（    ）

A．对任意，都有成立；

B．函数的图像关于原点成中心对称；

C．存在某个，使得；

D．对任意给定的，都有.

4．(本题5分)下列区间中，包含函数的零点的是（    ）

A． B． C． D．

5．(本题5分)定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为n，则n可能为（    ）

A．0 B．1 C．3 D．5

6．(本题5分)已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（    ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c

7．(本题5分)设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

8．(本题5分)已知函数则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

9．(本题5分)方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．(本题5分)若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（   ）

A． B．

C． D．

11．(本题5分)设函数满足，且对任意、都有，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题(共5分)

12．(本题5分)已知，若函数有两个零点，有两个零点，则下列选项正确的有（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

三、填空题(共20分)

13．(本题5分)已知函数，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f(x)|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．

14．(本题5分)已知则的值为__________．

15．(本题5分)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为___________.

16．(本题5分)设函数，，若当时，都有意义，则的取值范围是________．

四、解答题(共70分)

17．(本题10分)已知全集，集合，集合.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

18．(本题10分)已知函数.

（1）在给定直角坐标系内直接画出f(x)的草图(不用列表描点)，并由图象写出函数f(x)的单调减区间；

（2）当m为何值时f(x)-m=0有两个不同的零点.

19．(本题12分)已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；

20．(本题12分)如图，O，P，Q三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时.乙到达Q地后原地等待.设时乙到达P地.时乙到达Q地.

（1）求与的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3千米？说明理由.

21．(本题12分)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．

（1）求f(50)的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？

22．(本题14分)已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.

（1）求；

（2） 若集合，且，求实数的取值范围.

外国语学校第一次月考参考答案及解析

1．C

【分析】

根据集合交集的运算可直接求出结果.

【详解】

因为A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，

所以.

故选：C

2．B

【分析】

先求得函数且的定点，再根据点在幂函数的图象上，求得幂函数的解析式即可.

【详解】

令，得，

所以函数且的图像恒过定点，

设幂函数为，

因为点在幂函数的图象上，

所以，解得，

所以，

故选：B

3．D

【分析】

利用偶函数的定义进行判断即可

【详解】

对于A，对任意，都有成立，可得为偶函数且为奇函数，而当为偶函数时，不一定有对任意，，所以A错误，

对于B，当函数的图像关于原点成中心对称，可知，函数为奇函数，所以B错误，

对于CD，由偶函数的定义可知，对于任意，都有，即，所以当为偶函数时，任意，，反之，当任意，，则为偶函数，所以C错误，D正确，

故选：D

4．C

【分析】

利用零点存在性定理，即可求解.

【详解】

解:函数在上单调递减，且，

的零点在内.

故选：C

5．D

【分析】

利用是奇函数，又是周期函数，计算出方程在闭区间上必有的几个根即可作答.

【详解】

定义在R上的函数是奇函数，则，又是的一个正周期，则，

又，于是得，

因此，都是方程在闭区间上的根，

所以n可能为5.

故选：D

6．A

【分析】

利用对数函数和指数函数的性质求解．

【详解】

解：∵log0.53＜log0.51＝0，∴a＜0，

∵20.3＞20＝1，∴b＞1，

∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，

∴a＜c＜b，

故选：A．

7．B

【分析】

根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案.

【详解】

由函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，

所以当时，；时，；时，；

所以当时，，当时，，

当或 时，，当时，，

可得选项B符合题意.

故选：B．

8．D

【分析】

分别讨论和时，利用对数函数的单调性以及解分式不等式，即可求解.

【详解】

当时，不等式即，可得，解得：；

当时，不等式即，即，所以，

解得：或（舍），所以，

综上所述：不等式的解集为，

故选：D.

9．A

【分析】

令，由题意得，从而即可解得的取值范围．

【详解】

解：令，

因为方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，

所以，

即，解得，

所以的取值范围是，

故选：A．

10．D

【分析】

根据函数的图象经过点(4，2)可求出的值，把的值代入函数的解析式，从而根据函数的定义域及单调性排除选项.

【详解】

由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.

所以，

因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.

故选：D.

11．A

【分析】

令得出，再令可得出，即可求出的值.

【详解】

对任意、都有，且，

令，得，

令，可得，，

因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用赋值法求抽象函数值，解题的关键就是利用赋值法求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.

12．AB

【分析】

由已知分析得选项A正确，利用基本不等式证明选项B正确；利用不等式性质得到选项C错误，利用作差法得到选出D错误.

【详解】

因为函数有两个零点，

所以，所以，

令=0，所有两个零点，

所以，所以，

因为，所以，

因为，所以选项A正确；

因为，

所以因为，

所以，所以选项B正确；

因为，所以选项C错误；

，

所以，所以选项D错误.

故选：AB

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键在于证明.

13．0＜t＜1

【分析】

首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不等式，求出不等式的解集，进一步求出集合B的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到t的值．

【详解】

要解|f(x)|≥1，需要分类来看，

当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1

∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤-1

∴x≥2或x≤0或x＝1，又x≥0

∴x≥2或x＝1或x＝0．

当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1

∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1

∴﹣2≤x≤0或或，又x＜0

∴﹣2≤x＜0或

综上可知B＝{x|-2≤x≤0或或x≥2或x＝1}

∵集合A∩B只含有一个元素，

∴t＞0且t+1＜2

∴0＜t＜1

故答案为：0＜t＜1

14．

【分析】

根据指数的幂运算，先求出，再由立方和公式，将所求式子因式分解，进而可得出结果.

【详解】

因为

所以，∴，

∴，

故答案为：．

15．

【分析】

利用奇函数求及化简，再利用分段函数代入即可计算得解.

【详解】

因为是定义在上的奇函数，则，

又，

所以.

故答案为：6

16．

【分析】

，则原题等价于在上恒成立，分离，计算的最大值可求出的范围.

【详解】

解：，

则原题等价于在上恒成立，

变形为，对任意成立，

即，

令，，则有，在上单调递减；

所以.

故答案为：．

【点睛】

本题考查与二次函数相关的复合函数问题以及恒成立问题的解法，属于中档题.

方法点睛：（1）恒成立有解问题，首选变量分离；

（2）求最值时要检验端点值是否成立.

17．（1）;（2）.

【分析】

（1）解分式不等式求得集合.

（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】

（1），

所以.

（2）由于，所以，即的取值范围是.

18．(1)图象答案见解析，单调减区间是；(2).

【分析】

(1)根据给定分段函数，分段画出函数的图象，写出单调区间即可；

(2)结合函数的图象，判断函数的最值，然后求解m的范围即可.

【详解】

(1)函数的图象如图：

函数f(x)在上是减函数，在是增函数，

所以函数f(x)的单调减区间是；

(2)由(1)知，在的值域是，在的值域是，

x=3时，函数取得最小值-2，由函数f(x)的图象可得：f(x)-m=0有两个不同的零点时，m>-2，

所以当m∈时，f(x)-m=0有两个不同的零点.

19．f（x）在（0，4）上单调递减，证明见解析

【分析】

可得出f（x）的定义域为（0，4），由复合函数单调性和函数加减的单调性可判断f（x）在（0，4）上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的x1，x2∈（0，4），并且x1＜x2，然后作差，通分，得出f（x1）﹣f（x2），然后说明f（x1）＞f（x2）即可；

【详解】

由题意，，解得

故f（x）的定义域为（0，4）

令，，由于在（0，4）单调递减，在单调递增，因此在（0，4）单调递减，又在（0，4）单调递减，故f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：

设0＜x1＜x2＜4，则：

，

∵0＜x1＜x2＜4，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，

∴，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，4）上单调递减

20．（1） ，千米；（2），没有超过，理由见解析.

【分析】

（1）根据题意，易得，假设此时甲运动到点R，再根据余弦定理求解即可；

（2）根据题意，分当时，乙在上的N点，设甲在M点，进而根据余弦定理得，当时，，进而根据函数单调性求最值即可.

【详解】

解：（1）根据题意，时，乙到达地，由于速度为8千米/小时，千米，

所以，

设此时甲运动到点，则千米，如图

所以

千米.

（2）当时，乙在上的N点，设甲在M点，如图

所以，，

所以，

当时，乙在Q点不动，设此时甲在M点，

所以.

所以.

所以当时，，

当时，

所以当，的最大值为

故的最大值没有超过了3千米.

21．（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．

【分析】

（1）由计算可得；

（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值．

【详解】

（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，

所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．

（2）由题知，

f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120

＝－x＋4＋250，

依题意得

解得20≤x≤180，

故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．

令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，

y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，

当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）求函数的定义域求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.

（2）对进行分类讨论，结合求得的取值范围.

【详解】

（1），得，解得，

.

对于函数，该函数为增函数，

因为，则， 即，

，

因此，；

（2），

.

当时，即当时，，满足条件；

当时，即时，要使，则，解得.

综上所述，实数的取值范围为.