高中物理第三章 相互作用——力4 力的合成和分解导学案

这是一份高中物理第三章 相互作用——力4 力的合成和分解导学案，共17页。
 第4节力的合成和分解


物理
观念
(1)通过力的作用的等效性来理解合力和分力的概念，初步体会等效替代的物理思想。
(2)理解力的分解是力的合成的逆运算，会用正交分解法。
(3)会区别矢量和标量，知道三角形定则，了解三角形定则与平行四边形定则的关系。
科学
探究
通过实验探究，了解求合力的方法——力的平行四边形定则，并知道它是矢量运算的普遍规则。


知识点一　合力和分力
[情境导学]
如图所示，一个成年人或两个孩子均能提起相同质量的一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力作用效果是否相同？二者能否等效替换？

提示：效果相同；能等效替换。
[知识梳理]
1．合力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。
2．分力：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力叫作那个力的分力。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)合力与其分力同时作用在物体上。(×)
(2)合力一定与分力共同作用产生的效果相同。(√)
(3)合力一定大于分力。(×)
(4)合力有可能小于任何一个分力。(√)
2．[多选]下列关于几个力与其合力的说法中，正确的是(　　)
A．合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．不同性质的力不可以合成
解析：选AC　由合力和分力的关系可知，选项A正确；合力和分力是等效替代关系，它们不能同时存在，选项B错误，选项C正确；力能否合成与力的性质无关，选项D错误。
知识点二　力的合成与分解
[情境导学]
求下列几种情况下小车受到的合力F。(假设F1>F2)
(1)两个人向相反方向拉车

(2)一人推车，一人拉车

(3)两个人互成角度拉车

提示：(1)F＝F1－F2；(2)F＝F1＋F2；(3)F1－F2≤F≤F1＋F2。
[知识梳理]
1．力的合成：求几个力的合力的过程。
2．力的分解：求一个力的分力的过程。
3．平行四边形定则
在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。如图所示，F表示F1与F2的合力。
4．力的分解
(1)力的分解也遵从平行四边形定则。
(2)如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力，如图所示。

(3)一个已知力的分解要根据具体问题来确定。
5．多个力的合成方法
先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)合力F可以等于分力F1、F2的和。(√)
(2)合力F的大小随分力F1、F2之间夹角的增大而减小。(√)
(3)如果不加限制，一个力理论上可以分解出无数组分力。(√)
(4)分解一个力时，只能按力的作用效果分解。(×)
2．已知力F1＝30 N，F2＝40 N，当F1和F2的夹角为90°时，合力的大小为(　　)
A．20 N　　 B．30 N　　　
C．40 N　　 D．50 N
解析：选D　根据平行四边形定则可知，当F1和F2的夹角为90°时，合力的大小为F＝＝50 N，故D正确。
知识点三　矢量和标量
[知识梳理]
1．矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。
2．标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。
3．三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向，表示三个矢量的有向线段正好组成闭合的三角形。
力合成的三角形如图甲所示。位移合成的三角形如图乙所示。

[初试小题]
1．判断正误。
(1)只要有方向的物理量就是矢量。(×)
(2)电流的方向规定为正电荷定向移动的方向，故电流是矢量。(×)
(3)三角形定则和平行四边形定则的实质是一样的，都是矢量运算的法则。(√)
(4)有的标量也有方向，所以运算时也遵循平行四边形定则。(×)
2．对于矢量和标量的说法正确的是(　　)
A．有大小和方向的物理量就是矢量
B．力、位移和路程都是矢量
C．矢量合成必须遵循平行四边形定则
D．矢量和标量的运算法则相同
解析：选C　有些标量也有方向，故A错误；路程是标量，故B错误；矢量与标量的根本区别是运算法则不同，故C正确，D错误。


合力与分力的关系
[问题探究]
自制一个平行四边形模型(如图)，结合模型讨论以下问题：

(1)合力的大小和方向怎样随两个分力夹角的改变而改变？
(2)合力是否总是大于两个分力？合力何时达到最大值，何时达到最小值？
(3)当两个分力之间的夹角分别为0°和180°时，它们的合力如何计算？
提示：(1)在两个分力的大小不变的情况下，两分力的夹角越小，合力的大小越大；两分力的夹角越大，合力的大小越小。
(2)在两个分力的夹角为钝角时，合力的大小就可能比分力小。当两个分力的夹角为0°时，合力最大；两个分力的夹角为180°时，合力最小。
(3)当两分力的夹角为0°时，F合＝F1＋F2；当两个分力的夹角为180°时，F合＝|F1－F2|。
[要点归纳]
1．合力与分力的“三性”

2．合力与分力的大小关系
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，随θ的减小而增大。(0°≤θ≤180°)
(1)两分力同向(θ＝0°)时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向。
(2)两分力反向(θ＝180°)时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的那个分力的方向相同。
(3)合力的取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
[例题1]　关于共点力的合成，下列说法正确的是(　　)
A．两个分力的合力一定比分力大
B．两个分力的大小一定，夹角越大，合力越小
C．两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大
D．现有两个力，大小分别为3 N、6 N，这两个力的合力的最小值为1 N
[解析]　两个分力的合力不一定比分力都大，如两力方向相反时，合力一定小于其中一个分力，A错误；两个分力的大小一定，夹角θ越大，合力越小，B正确；保持夹角θ不变，使其中一个力增大，合力不一定增大，如当θ＝180°时，较小的分力增加，合力减小，C错误；3 N与6 N两力的合力大小范围为3 N≤F≤9 N，合力的最小值为3 N，D错误。
[答案]　B
[针对训练]
1．[多选]两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则(　　)
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的某一个增大，F不一定增大
解析：选AD　F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，选项A正确；F1、F2同时增加10 N，F不一定增加10 N，选项B错误；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变化，选项C错误；若F1、F2中的一个增大，F不一定增大，选项D正确。
2．下列关于合力和分力的说法中，正确的是(　　)
A．合力总比任何一个分力都大
B．两个力的合力至少比其中的一个分力大
C．合力的方向只与两分力的夹角有关
D．合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间
解析：选D　根据平行四边形定则知，合力可能比分力大，可能比分力小，还可能与分力相等，A、B错误；根据平行四边形定则知，合力的方向取决于两分力的大小和方向，C错误；合力的大小取值范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间，D正确。

求合力的方法
[要点归纳]
1．作图法
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体思路如下：

如图所示，用作图法求F1、F2的合力F。

2．计算法
(1)两分力共线时
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大者同向。
(2)两分力不共线时：根据平行四边形定则结合解三角形的知识求合力。
以下为求合力的三种特殊情况：
类型
作图
合力的计算
两分力相互垂直

大小：F＝
方向：tan θ＝
两分力大小相等，夹角为θ

(1)大小：F＝2F1cos
方向：F与F1夹角为
(2)当θ＝120°时，
F1＝F2＝F
合力与其中一个分力垂直

大小：F＝
方向：sin θ＝
3．三个力的合力范围的确定方法
(1)最大值：三个力的方向相同时，合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值
①若|F1－F2|≤F3≤F1＋F2，则合力的最小值可能为零。
②若F3不在|F1－F2|～(F1＋F2)范围内，则合力的最小值不可能为零，其最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。
[例题2]　上海市的杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图1所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图2所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
　
[解析]　把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计算这个合力的大小。

方法一：作图法(如图甲所示)
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5．2个单位长度，所以合力的大小为F＝5．2×1×104 N＝5．2×104 N。
方法二：计算法(如图乙所示)
根据这个平行四边形是一个菱形，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC。对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，而OD＝OC，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5．2×104 N。
[答案]　5．2×104 N　方向竖直向下

作图法与计算法的比较
(1)作图法简单、直观，但不够精确。
(2)应用作图法时，各力必须选定同一标度，并且合力、分力比例适当，分清虚线和实线。
(3)应用计算法时，要画出力合成的平行四边形。
(4)两力夹角为特殊角(如120°、90°等)时，应用计算法求合力更简单。
[例题3]　如图所示，5个力同时作用于一点，5个力大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力的大小为(　　)
A．30 N　　　　　　 B．40 N
C．50 N D．60 N
[思路点拨]
(1)利用正六边形的几何特性。
(2)先将F1与F4合成，再将F2与F5合成，最后求5个力的合力。
[解析]　如图所示，F1与F3箭头相连后形成以F1和F4为邻边的平行四边形，F3为所夹的对角线(即F1与F4的合力为F3)，同理可知，F2与F5的合力也为F3，故5个力的合力等于3倍的F3，又F3等于2倍的F1，则5个力的合力等于6F1＝60 N，D正确。
[答案]　D

多个力的合成技巧
(1)优先将共线的分力合成。
(2)优先将相互垂直的分力合成。
(3)两分力大小相等且夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向。
(4)结合有关的几何推论。　　　　
[针对训练]
1．如图所示，王老师背着一质量为m的单肩挎包。背带两边等长，夹角为60°。挎包保持竖直静止，不考虑人体侧面与挎包间的相互作用。重力加速度为g，则背带的拉力大小为(　　)
A． mg　　　　　 　　 B． mg
C． mg D．mg
解析：选A　分析挎包的受力，如图所示，由图可知cos 30°＝，解得F＝ mg，故A正确。

2．[多选]物体同时受到同一平面内的三个力作用，下列几组力中，它们的合力可能为0的是(　　)
A．5 N、7 N、8 N B．2 N、3 N、5 N
C．1 N、5 N、10 N D．1 N、10 N、10 N
解析：选ABD　三个力合力为0时，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，由此可知，任意一个力在另外两个力的合力范围之内。5 N和7 N的合力范围为2～12 N,8 N在合力范围里，故三个力的合力可能为0；2 N和3 N的合力范围为1～5 N,5 N在合力范围里，故三个力的合力可能为0；1 N和5 N的合力范围为4～6 N，10 N不在合力范围里，故三个力的合力不可能为0；1 N和10 N的合力范围为9～11 N,10 N在合力的范围里，故三个力的合力可能为0。故A、B、D正确。

力的效果分解法
[问题探究]
如图所示，某同学设计了一个小实验，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂重物，并保持静止。请思考：

(1)通过实验该同学会有什么感受？
(2)重物的重力产生了什么效果？
(3)重物的重力应该怎样分解？
提示：(1)该同学会感受到手指被绳拉紧、掌心被杆压紧。
(2)重物重力的作用效果有两个，一是拉紧细绳，二是使杆压紧。
(3)重力可分解为沿细绳方向的力F1和沿杆方向的力F2，如图所示，由三角函数得F1＝，F2＝Gtan θ。
[要点归纳]
1．力的分解依据：(1)根据力的作用效果分解；(2)按实际需要分解。
2．根据力的作用效果分解力的基本思路

3．常见的力的分解实例
实例
分析

地面上物体受到斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2，F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ(θ为拉力F与水平方向的夹角)

放在斜面上的物体的重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑的趋势；二是使物体压紧斜面。相当于分力F1、F2的作用，F1＝mgsin α，F2＝mgcos α(α为斜面倾角)

质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板，相当于分力F1的作用；二是使球压紧斜面，相当于分力F2的作用。F1＝mgtan α，F2＝(α为斜面倾角)

用斧头劈柴时，力F产生的作用效果为垂直于两个侧面向外挤压接触面，相当于分力F1、F2的作用，且F1＝F2＝F

A、B两点位于同一平面内，质量为m的物体被AO、BO两绳拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉AO绳，相当于分力F1的作用；二是使物体拉BO绳，相当于分力F2的作用。F1＝F2＝

质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉AB，相当于分力F1的作用；二是压BC，相当于分力F2的作用。F1＝mgtan α，F2＝
[例题4]　扩张机的原理示意图如图所示，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块E就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1．0 m，b＝0．05 m，F＝400 N，E与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)(　　)
A．3 000 N B．2 000 N
C．1 000 N D．500 N
[解析]　将F沿AC、AB方向分解为F1、F2，则F2＝，F2的作用效果是使滑块E对左壁有水平向左的挤压作用F3，对物体D有竖直向上的挤压作用F4，则物体D所受的向上顶的力为FN＝F4＝F2sin α＝tan α，由题图可知tan α＝＝＝10，故FN＝2 000 N，选项B正确。
[答案]　B
[针对训练]
1．一体操运动员倒立并静止在水平地面上，下列图示姿势中，假设两手臂用力大小相等，那么沿手臂的力F最大的是(　　)

解析：选C　将人所受的重力按照效果进行分解，由于大小、方向确定的一个力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大，因而C图中人最费力，A、D图中人最省力，故C正确。
2．如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O和A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。
解析：小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点。作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。

小球对墙面的压力F1＝F1′＝mgtan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右。
小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向。
答案： 见解析


力的正交分解法
[要点归纳]
1．概念：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
2．坐标轴的选取原则：坐标轴的选取理论上是任意的，但为使问题简化，实际中建立坐标系时应使尽量多的力落在坐标轴上。
3．应用：一般用于计算物体受三个或三个以上力的合力。
4．一般步骤
(1)建立坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系。
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
(3)分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和。(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即：
Fx＝F1x＋F2x＋…；Fy＝F1y＋F2y＋…。
(4)求合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为φ，则tan φ＝。
[特别提醒]　正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，它是处理力的合成和分解的一种简便方法。
[例题5]　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。
[思路点拨]　解答本题可按以下思路：

[解析]　如图甲所示，建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N

因此，如图乙所示，合力F＝≈38．2 N
tan φ＝＝1
即合力的大小约为38．2 N，方向与F1的夹角为45°斜向上。
[答案]　38．2 N，方向与F1的夹角为45°斜向上

建立坐标系的原则
原则上坐标系的建立是任意的，为使问题简化，一般考虑以下两个问题：
(1)使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)尽量使待求力处在坐标轴上。
[针对训练]
1．如图所示，甲、乙、丙三个物体的质量相同，与地面间的动摩擦因数相同，分别受到三个大小相同但方向不同的作用力F，当它们滑动时，下列说法正确的是(　　)

A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最大
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
解析：选C　题图中三个物体对地面的压力分别为FN甲＝mg－Fsin θ，FN乙＝mg＋Fsin θ，FN丙＝mg，因它们均相对于地面滑动，由Ff＝μFN知，Ff乙＞Ff丙＞Ff甲，故C正确。
2．如图所示，已知共面的三个力F1＝20 N、F2＝30 N、F3＝40 N作用于物体的同一点上，三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向。

解析：如图所示，沿水平、竖直方向建立直角坐标系，把F1、F2正交分解，可得

F1x＝－20sin 30° N＝－10 N，
F1y＝－20cos 30° N＝－10 N，
F2x＝－30sin 30° N＝－15 N，
F2y＝30cos 30° N＝15 N，
故沿x轴方向的合力Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N，
沿y轴方向的合力Fy＝F2y＋F1y＝5 N，
可得这三个力合力的大小F＝＝10 N，
方向与F3的夹角θ＝arctan＝30°斜向上。
答案：10 N　方向与F3的夹角为30°斜向上

对一个已知力进行有条件分解的讨论
对一个已知力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)，若能，即有解；若不能则无解。具体情况有以下几种：
1．已知合力和两个分力的方向时，两分力有唯一解(如图所示)。

2．已知合力与一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解(如图所示)。

3．已知合力以及一个分力的大小和另一个分力的方向时，如图甲、乙、丙、丁所示，有下面几种可能：

(1)当Fsin θ