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冀教版数学五年级下册期末复习 知识清单
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这是一份冀教版数学五年级下册期末复习 知识清单，共23页。试卷主要包含了轴对称图形，平移 要点提示，旋转 重点提示，设计图案 要点提示，公交车上的数学等内容，欢迎下载使用。
一 图形的运动(二)
一、轴对称图形
要点提示:
平行四边形不是轴对称图形。
1. 轴对称图形:如果把一个图形沿一条直线对折,折痕两旁的部分能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,这条折痕所在的直线就是它的对称轴。
2. 用折纸的办法判断正方形、等边三角形、等腰梯形、长方形和圆有几条对称轴。 易错题:
判断:正方形中的两条对称轴是正方形的对角线。 (?)
错因分析:对称轴是直线,而正方形的对角线是线段。
正确答案:✕
3. 轴对称图形的特征。
(1)将轴对称图形沿其对称轴对折后,互相重合的点叫做对称点。
(2)轴对称图形的特征:对称点到对称轴的距离相等。
4. 在方格纸上画轴对称图形的方法。 重点提示:一般情况下,图形的关键点是线段的各个端点。
(1)确定已知图形的关键点。
(2)数出关键点到对称轴的距离。
(3)在对称轴的另一端描出关键点的对称点。
(4)按照已知图形的形状连接各对称点,即可画出已知图形的轴对称图形。
二、平移 要点提示:
物体或图形平移后,本身的大小、形状和方向都不发生改变,只有位置发生改变。
1. 平移:物体或图形在同一平面内沿直线的运动。
2. 判断一个图形是否可以通过平移得到另一个图形,先看这两个图形的大小、形状是否完全相同,再看两个图形的方向是否一致。
3. 一个图形通过平移得到另一个图形的方法。
易错题:
如下图,图形①向右平移(6)个方格得到图形②。
(1)确定平移的方向。
(2)确定平移的方格数,即对应点或对应线段之间的方格数。
4. 在方格纸上画简单图形平移后的图形。
(1)找出图形的关键点(关键线段)。
错因分析:此题错在把图形平移前、后之间的距离当成了平移的距离。应用图①中的某一点(某一线段)平移前、后的位置变化来判断。
正确答案:10
(2)以关键点(关键线段)为参照点,数出平移的方格数,按平移方向描出各对应点(对应线段)。
(3)把各对应点(对应线段)按原图形的形状连接起来。
三、旋转 重点提示:
物体旋转时,都是绕着一个固定点(或轴)按一定的方向和角度进行的。
1. 旋转:物体或图形绕着一个点(或一个轴)的运动。
2. 旋转的特征:物体在旋转过程中,大小、形状都没有发生变化,只是位置发生了变化。
3. 旋转的方向:物体的旋转方向和表针的转动方向一致,叫做顺时针旋转;物体的旋转方向和表针的转动方向相反,叫做逆时针旋转。
顺时针 逆时针
4. 物体旋转的三要素:旋转点、旋转方向和旋转角度。
5. 在方格纸上画简单图形旋转90°后的图形的方法:(1)确定旋转点、旋转方向和旋转角度。
(2)确定旋转后图形的各个对应点的位置。
(3)顺次连接各对应点。
四、设计图案 要点提示:
在设计复杂的图案时,可以利用多种图形的变换方式进行设计。
利用平移、旋转或轴对称的方法设计图案。
二 异分母分数加减法
一、真分数与假分数
重点提示:
1. 真分数小于1;假分数大于1或等于1。
2. 读带分数时,“又”字前面是整数部分,“又”字后面是分数部分。
1. 真分数:分子比分母小的分数,真分数都小于1。如、、。
2. 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,假分数大于1或等于1。如、、。
3. 带分数:一个整数(0除外)和一个真分数合成的数。读带分数时,先读整数部分,再读分数部分,中间加“又”字。如4读作四又五分之四。带分数的写法,先写整数部分,再写分数部分,分数部分的分数线与整数的中间对齐。
易错题:
判断:假分数一定大于1,真分数一定小于1。(?)
错因分析:此题错在没有理解假分数的特征,当假分数的分子和分母相等时,它的分数值是1,因此假分数一定大于1是错误的。
正确答案:✕
4. 把整数化成假分数:整数(0除外)可以化成分母是任意自然数(0除外)的假分数,即用指定的分母作分母,用分母和整数相乘的积作分子。如4==。
5. 把假分数化成带分数或整数的方法:用分子除以分母,当分子是分母的整数倍时,能化成整数,商就是这个整数;当分子不是分母的整数倍时,能化成带分数,商是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子,分母不变。如=12÷3=4,=15÷4=3。
6. 把带分数化成假分数时,用原来的分母作分母,用整数和分母相乘的积再加上原来的分子作分子。
如3==。
二、分数的大小比较 易错题:
判断:通分时分数值变大,约分时分数值变小。(?)
错因分析:无论是通分还是约分,依据的是分数的基本性质,分数的大小不变。
正确答案:✕
1. 公分母:把异分母分数化成同分母分数,这个相同的分母叫做它们的公分母。如把和化成同分母分数,分母是6,6是这两个分数的公分母。
2. 公倍数:两个数或几个数公有的倍数叫做它们的公倍数。如6是2的倍数,也是3的倍数,6就是2和3的公倍数。
3. 通分:把异分母的分数化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。
4. 通分的方法:通分时,用原分母的公倍数作公分母,通常选用最小公倍数作公分母,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
重点提示:
一个数的倍数的个数是无限的,因此两个数的公倍数的个数也是无限的,只有最小的公倍数,没有最大的公倍数。
5. 异分母分数比较大小的方法:先通分,再比较大小。
6. 公倍数和最小公倍数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
如4的倍数:4、8、12、16、20、24……
6的倍数:6、12、18、24……
易错题:
判断:两个数的公倍数一定比这两个数都大。(?)
错因分析:此题忽略了当两个数成倍数关系时,它们的最小公倍数是较大数的情况。
正确答案:✕
在4和6的倍数中12和24是4和6的公倍数,其中12是最小的,是4和6的最小公倍数。
7. 有特殊关系的两个数的最小公倍数。
(1)两个数,如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如6和2,6是2的倍数,那么6是6和2的最小公倍数。
(2)如果两个数只有公因数1,那么这两个数相乘的积就是它们的最小公倍数。如4和5只有公因数1,那么它们的最小公倍数是4×5=20。
易错题:用短除法求12和16的最小公倍数。
12和16的最小公倍数是2×2=4。
错因分析:此题混淆了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。用短除法求两个数的最小公倍数时,要将所有的除数和最后的商连乘。
正确答案:
12和16的最小公倍数是2×2×3×4=48。
8. 用短除法求两个数的最小公倍数的方法。
先用两个数公有的质因数(一般从最小的开始)依次作为除数连续去除这两个数,一直除到所得的商只有公因数1为止,再把所有的除数和最后所得的商连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
如求4和6的最小公倍数。
4和6的最小公倍数是2×2×3=12。
9. 求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法的异同。
相同点:用两个数公有的质因数(一般从最小的开始)依次作为除数连续去除这两个数,一直除到所得的商只有公因数1为止。
不同点:用短除法求两个数的最大公因数时,要将所有的除数连乘;用短除法求两个数的最小公倍数时,要将所有的除数和最后的商连乘。
三、分数和小数互化 方法提示:
把分数化成小数的两种情况:
1. 分子除以分母能除尽,得到有限小数。如=0.4、=0.875。
2. 分子除以分母除不尽,得到无限小数。如=0.142857142857……=0.111……
1. 把分数化成小数:用分子除以分母,除不尽的用“四舍五入”法按要求保留小数的位数,取近似值后要用约等号连接。如=5÷8=0.625;=1÷6≈0.17。
2. 把小数化成分数:根据小数的意义,有限小数可以直接写成分母是10、100、1000……的分数,原来有几位小数,就在1的后面写几个0作分母,把原来的小数去掉小数点后作分子,能约分的要约分,化成最简分数。如果需要化成假分数,先把小数化成带分数,再化成假分数。如3.625=3+=3+=3=。
3. 能化成有限小数的分数的特征:分母中只含有质因数2和5的数能化成有限小数;分母中除了2和5以外还有其他质因数的不能化成有限小数。
四、异分母分数加减
易错题:
+==
错因分析:此题错在没有通分,直接把分子和分母分别相加了。
正确答案:+=+
=
1. 异分母分数加减法的计算方法:分母不同的分数相加减,要先通分,化成同分母的分数,再按照同分母分数加减法的计算方法进行计算。
2. 异分母分数连加的计算方法:可以先把几个分数一次性通分,再相加,也可以应用加法的运算定律进行计算。
3. 整数加减法的运算定律在分数加减法中同样适用。
4. 异分母分数加减法的运算顺序:与整数加减法的运算顺序相同。没有括号的算式,按照从左到右的顺序计算,有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。
重点提示:
学数学要有运用意识,把所学的知识应用到生活中去解决身边的问题。
五、公交车上的数学
1. 运用时间、最小公倍数等知识求出两路公交车同时发车的时刻。
2. 运用时间等知识计算公交车每天卖票的收入。
三 长方体和正方体
一、长方体和正方体的特征
知识拓展:
1. 把长方体放在一个平面上观察,最多能同时看到3个面。
2. 一个长方体最多有两个面是正方形。
3. 正方体的棱长总和=棱长×12
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4
1. 认识长方体和正方体的面、棱、顶点。
2. 长方体和正方体面的特征。
(1)长方体有6个面,分别是上面、下面、左面、右面、前面、后面。上、下,左、右,前、后分别是一组相对的面。相对的面完全相同。
(2)正方体的6个面都完全相同。
3. 长方体和正方体顶点和棱的特征。
长方体:有12条棱,分成3组,每组4条棱的长度相等。相交于一个顶点的三条棱的长度,分别叫做长方体的长、宽、高;有8个顶点。
正方体:有12条棱,都相等;有8个顶点。
4. 从长方体和正方体的对比中可以看出,正方体具备了长方体所有的特征,因此正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体,可以用下图表示长方体和正方体的关系。
5. 长方体和正方体的异同点。
重点提示:
沿不同的棱将长方体(或正方体)剪开,展开后的平面图形一般不相同。
名称
相同点
不同点
面
棱
顶点
面的
形状
面积
棱长
长方体
6个面
12
条棱
8个
顶点
长方形
(最多有
两个相
对的面
是正
方形)
相对的
面的面
积相等
相对的
棱长度
相等
正方体
6个面
12
条棱
8个
顶点
正方形
6个面
的面积
都相等
12条棱
的长度
都相等
二、长方体和正方体的展开图
易错题:
判断:底面积和高分别相等的两个长方体,它们的形状一定相同。(?)
错因分析:底面积相等,形状未必相同,如底面积是12,长和宽可能分别是6和2,也可能分别是4和3。
正确答案:✕
知识巧记:
包装用料求面积,意义方法要牢记,前后单位要统一,还要把面数清楚,六面齐全容易算,六面不全也不难,要么数清几个面,几面一合是答案,要么就看缺几面,再从六面里面减。
要点提示:在比较节省包装纸的实验时,可以将扑克的包装方式,扑克摆出的长、宽、高及表面积列在表格里,便于比较。
长方体展开图 正方体展开图
三、长方体和正方体的表面积
1. 长方体六个面的总面积叫做长方体的表面积。
2. 长方体相对的面相等,所以长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
3. 正方体六个面的总面积叫做正方体的表面积。
4. 正方体的六个面都相等,所以正方体的表面积=棱长×棱长×6。
四、解决问题
1. 求粉刷房间的面积时,先确定好粉刷几个面,再扣除门窗等的面积。
2. 解决生活中的实际问题时,所要求的长方体并不一定都有6个面,如长方体鱼缸只有5个面,长方体通风管只有4个面……计算时要根据实际条件和题中的要求求解。
五、包装扑克
1. 探索怎样包装6盒扑克用的包装纸最少时,要把6盒扑克实际摆一摆,通过实际拼摆与比较,发现将6盒扑克摞在一起摆6层,最节省包装纸。
2. 探索怎样包装8盒扑克用的包装纸最少时,要把8盒扑克实际摆一摆,通过实际拼摆与比较,发现将8盒扑克最大的面叠放在一起时,用的包装纸最少。
四 分 数 乘 法
一、分数乘整数的意义和方法
易错题:×2=
错因分析:此题错在没有真正理解分数乘整数的计算方法,把分母与整数相乘了。
正确答案:×2=
知识巧记:
分数乘整数,计算很简单,分子乘整数,分母不用变,计算想简便,约分要在先,结果要想准,分数化最简。
方法提示:
求部分量,要用部分量对应的分率去乘单位“1”对应的量。
1. 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数的和的运算。
2. 分数乘整数,用分子乘整数的积作分子,分母不变。
如×2==。
二、求一个数的几分之几是多少
求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。
每千克草莓5元,买千克草莓应付多少元?根据“单价×数量=总价”用乘法计算。
列式为5×的意义就是求5元的是多少。
5×===2.5(元)。
三、分数乘分数 易错题:
判断:一个数乘真分数,积小于这个数。(?)
错因分析:此题忽略了这个数可能是“0”的情况,0乘真分数,积还是0,这时积等于这个数,而不是小于这个数。
正确答案:✕
1. 分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
一台收割机每小时收割小麦公顷,小时收割小麦多少公顷?
根据题意,求公顷的是多少,就是把公顷平均分成5份,也就是把1公顷平均分成2×5=10(份),取其中的3份。
求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。
列式为×。
×==(公顷)。
2. 两个不为0的数相乘,当其中的一个因数小于1时,所得的积小于另一个因数;当其中一个因数大于1时,所得的积大于另一个因数;当其中的一个因数等于1时,所得的积等于另一个因数。
易错题:
学校给同学们体检,小亮的体重是35千克,小林的体重比小亮的轻,小林的体重是多少千克?
35×=5(千克)
答:小林的体重是5千克。
错因分析:此题把小林比小亮轻的部分看成小林的体重了。
正确答案:
35×
=35×
=30(千克)
答:小林的体重是30千克。
四、分数的混合运算
1. 分数混合运算的运算顺序同整数混合运算的运算顺序相同,即在没有括号的算式里先算乘除法,再算加减法;有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
2. 已知一部分量占总量的几分之几,求另一部分量。
解题方法:另一部分量=总量-总量×部分量占总量的分率=总量×(1-部分量占总量的分率)
一捆彩带的长是60米。某蛋糕店今天已经用去这捆彩带的,还剩多少米彩带?根据题意:还剩的长度=彩带的总长度×还剩的长度占总长度的分率。
60×=60×=36(米)。
3. 简便运算。
整数乘法的运算定律,分数乘法同样适用。
即a×b=b×a,(a×b)×c=a×(b×c),(a+b)×c=ac+bc。
五、倒数
1. 倒数的意义。
乘积是1的两个数互为倒数。
重点提示:
1. “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,必须说一个数是另一个数的倒数,不是孤立地说某个数是倒数。
2. 1的倒数是1,0没有倒数。
3. 真分数的倒数大于1,假分数的倒数小于或等于1。
如×=1,8×=1。
和互为倒数;8和互为倒数。
2. 求倒数的方法。
求一个数的倒数,可以把它的分子和分母调换位置;一个整数(0除外)的倒数就是以这个数为分母,分子是1的分数。
如的倒数是;5的倒数是。
五 长方体和正方体的体积
一、体积和体积单位
易错题:
判断:只有棱长是1米的正方体的体积才是1立方米。 (?)
错因分析:此题错在对1立方米的意义理解不透彻。棱长是1米的正方体的体积是1立方米,这是建立体积单位模型时的一个参照物,用它作为衡量体积的一个标准。
正确答案:✕
1. 体积的意义。
物体都占空间,物体大的占的空间大,物体小的占的空间小。物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2. 常用的体积单位。
常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。
3. 体积单位的实际意义。
(1)1立方厘米:棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米,用字母表示为1 cm3,一个蚕豆的大小大约是1 cm3。
(2)1立方分米:棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米,用字母表示为1 dm3,一个粉笔盒的大小大约是1 dm3。
(3)1立方米:棱长是1米的正方体,体积是1立方米,用字母表示为1 m3,借助3根1米长的木条在墙角搭成的空间的大小大约是1 m3。
二、长方体、正方体的体积公式及应用 重点提示:
在实际运用中,长方体的“厚”是长方体的“高”。
易错题:
选择:两个棱长总和相等的长方体,它们的体积(A)。
A.一定相等
B.一定不相等
C.不一定相等
错因分析:棱长总和相等只能说明两个长方体的长、宽、高的和相等,不能说明两个长方体的长、宽、高的积相等。
正确答案:C
易错点:a3表示三个a相乘,不要与3×a混淆。
1. 长方体的体积=长×宽×高,用字母表示为V=abh。
2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示为V=a3。
3. 底面积:长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
4. 长方体、正方体体积的统一公式。
(1)长方体的底面积=长×宽
长方体的体积=长×宽×高
长方体的体积=底面积×高
(2)正方体的底面积=棱长×棱长
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
正方体的体积=底面积×棱长
(3)由上面可以推导出长方体(正方体)的体积=底面积×高,用字母表示为V=Sh。
5. 体积单位之间的进率。
(1)相邻体积单位之间的进率是1000,即1立方米=1000立方分米,1立方分米=1000立方厘米。
(2)体积单位的换算:把高级单位换算成低级单位,要乘进率;把低级单位换算成高级单位,要除以进率。
三、应用问题 方法提示:
求横截面是梯形的拦河坝的体积,可以用“横截面面积×长”来计算。
易错题:
判断:一个可乐瓶的包装上标有500毫升,是指这个可乐瓶的容积是500毫升。 (?)
错因分析:可乐瓶上标的500毫升是瓶内可乐的体积,而不是可乐瓶的容积。
正确答案:✕
要点提示:在实践中,要综合考虑包装箱是否容易搬动、是否结实等现实问题。
1. 土石方问题。
生活中,计量沙、土、石子等的体积时,常常把“立方米”简称为“方”。
2. 求挖出土石多少方,可以根据体积公式进行计算。
3. 容积的意义:容器所能容纳物体的体积,通常叫做容积。
4. 容积和体积的区别:意义不同,容积和体积是同一容器的两个方面的特征;容积和体积的计算方法相同,但测量的方法不同(求体积从容器的外面测量,求容积从容器的里面测量)。
5. 容积的计量单位:计量容积,一般用体积单位,但计量液体的体积常用“升”和“毫升”作单位。
1升=1000毫升,1升=1立方分米,1毫升=1立方厘米。
四、设计包装箱
在设计适合装香皂和牙膏的包装箱时,要根据牙膏盒和香皂盒的长、宽、高等数据,通过实际拼摆和画图的方法来分析、比较得出哪种设计最好。
六 分 数 除 法
一、分数除以整数
易错题:
÷6=×6=
错因分析:此题错在没有掌握分数除以整数的计算方法。应该用被除数乘除数的倒数。
正确答案:÷6=×
=
1. 一个整数除以另一个整数(0除外)等于这个整数乘另一个整数的倒数。
如48÷8=48×=6,36÷9=36×=4。
2. 分数除以整数的计算方法。
分数除以整数(0除外)等于这个分数乘整数的倒数。
如÷3=×=。
二、一个数除以分数 易错题:
判断:一个数(0除外)除以真分数,商大于被除数;一个数(0除外)除以假分数,商小于被除数。 (?)
错因分析:假分数大于或等于1,当一个数除以1,商等于被除数,所以原说法错误。
正确答案:✕
1. 一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数。
如2÷=2×=5。
2. 商与被除数的关系。
(1)一个数(0除外)除以真分数,商大于被除数。
(2)一个数(0除外)除以1,商等于被除数。
(3)一个数(0除外)除以大于1的数,商小于被除数。
三、应用问题。
拓展提升:
同学们开联欢会布置会场,用了28个红气球,红气球占气球总数的。一共用了多少个气球?
根据除法的意义,知道用了28个红气球,对应气球总数的,求单位“1”,用除法计算。即28÷=28×=63(个)。
1. 已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
解这类问题的方法步骤:
(1)根据题意找出单位“1”,设未知数量为x。
(2)找出题中的等量关系。
(3)列方程解答。
(4)检验并写出答案。
2. 稍复杂的已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
解这类问题的方法步骤:
先找到题中的等量关系,设未知量(单位“1”的量)为x,再列方程。
解题的关键是找准单位“1”,计算出已知量对应单位“1”的几分之几。
四、混合运算 易错题:
÷÷
=××
=
错因分析:没有把第二个除数变成乘倒数的形式。
正确答案: ÷÷
=××
=
1. 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同,即先算乘除法,再算加减法;有括号的,先算括号里面的,再算括号外面的。
如 +÷ ×
=+× =×
= =
2. 整数的运算定律和运算性质,在分数四则运算中同样适用。
七 折线统计图
一、认识单式折线统计图
易错题:
判断:条形统计图和折线统计图都在表示事物发展趋势方面有优势。(?)
错因分析:此题错在不清楚条形统计图和折线统计图的特征,条形统计图不能表示事物的发展趋势,只能便于看出和比较各种数量的多少。
答案:✕
1. 折线统计图的意义:折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少,描出各点,然后把各点用线段顺次连接。
2. 折线统计图的特征:折线统计图不但可以表示出数量的多少,还能够清楚地反映出数量的增减变化情况。
3. 绘制单式折线统计图的方法:
(1)先画横轴,再画纵轴。
(2)根据数据的大小确定一个单位长度表示的数量。
(3)根据数据的大小描点,描点时应注意先找准横轴上的点,再找准纵轴上的点,过两点画横轴、纵轴的垂线,两条垂线的交点便是所要描的点。
(4)连点成线段。
(5)标明数据。
4. 解读单式折线统计图:
运用横向、纵向、综合比较等不同的观察方法,可以读懂折线统计图,从中获取更多的信息,并能根据获取的信息回答或提出相应的问题,进行
重点提示:
1. 画复式折线统计图时,一定要标明图例。
简单的分析和推测。
二、认识复式折线统计图
1. 复式折线统计图的意义:
在统计过程中存在两组数据,需要在一幅统计图中表示出这两组数据,就要用两种不同颜色(形式)的折线来表示不同数据的变化情况,这样的统计图就是复式折线统计图。
2. 解读复式折线统计图要先看清图例,不要把两种 数据混淆了。
2. 复式折线统计图的特征:
复式折线统计图可以更加清晰地反映两组数据的增减变化情况,便于对两组相关数据进行比较。
3. 绘制复式折线统计图的方法:
与单式折线统计图的制作方法基本相同,只是需要用不同的图例表示不同的数据信息。
4. 单式折线统计图和复式折线统计图有什么相同点和不同点?
相同点:都是折线统计图。
3. 方法提示:
运用不同的观察方法可以读懂统计图,从中获取信息,根据信息提出或回答相应的问题,并进行简单的分析和合理的预测。
不同点:(1)单式拆线统计图只有一条折线,而复式折线统计图会有两条(或两条以上)折线,而且一般都是以虚线和实线出现的。多张结构一样的单式折线统计图可以合并到一张复式折线统计图中。
(2)单式折线统计图通过将一组数据的水平表示出来,可以很容易地看出数量增减变化的情况。复式折线统计图通过两组或两组以上数据的水平进行比较,可以容易地比较出两组或两组以上数据的变化趋势,更清楚地看出各类之间的比较。
八 探 索 乐 园
一、用集合图解决问题
1. 用集合图表示整体与部分的包含关系。
整体与部分的包含关系可以用一个图包含另一个图的方式表示。
方法提示:
关于两种情况互相包含的问题。用求出两个量的和再减去相同的部分的方法来解决。
整体-部分=另一部分。
2. 关于两种情况互相包含的问题。
易错题:
从北京到上海的某特快列车在沿线共停靠5站,分别是北京、济南、徐州、南京和上海。请问:要为这几个站点共准备多少种不同的车票?列举出来。
北京—济南、北京—徐州、北京—南京、北京—上海、济南—徐州、济南—南京、济南—上海、徐州—南京、徐州—上海、南京—上海,共10种。
错因分析:此题错在没有注意与车票站点的顺序有关,北京—济南,济南—北京,票价相同,但属于往、返两种车票,所以共要准备10×2=20(种)车票。
如上图:如果放在桌面上的两张圆形纸片的面积分别是A、B,它们相互包含的部分的面积为C,那么它们覆盖的面积为A+B-C。关于两种情况相互包含这一类题型,都可以用上面的计算方法。
二、比赛场次
1. 比赛场次问题。
(1)单循环赛:即假设有n个队参加比赛,则每个队都要和除自己队之外的(n-1)个队打一场比赛。
(2)单循环赛的比赛场次。
用画图法:(以四国球队比赛为例)
从图中可以看出,每支球队都要和另外3支球队分别进行一场比赛,每场比赛只与2支球队有关,与2支球队的排列顺序无关。但在比赛中,每一场次的比赛都重复计算了。
用列表法:
正确答案:北京—济南、济南—北京、北京—徐州、徐州—北京、北京—南京、南京—北京、北京—上海、上海—北京、济南—徐州、徐州—济南、济南—南京、南京—济南、济南—上海、上海—济南、徐州—南京、南京—徐州、徐州—上海、上海—徐州、南京—上海、上海—南京,共20种。
中国
韩国
澳大利亚
越南
中国
韩国
中、韩
澳大利亚
中、澳
韩、澳
越南
中、越
韩、越
澳、越
从上面的表格里也可以看出只在一半的表格里写出了球队,而另一半则是重复的。
2. 由以上两种方法可以看出比赛场次=[1+2+3+…+(n-1)]。
如果队数比较多,则可以根据“队数×(队数-1)÷2=比赛场次”直接列式解答。
一 图形的运动(二)
一、轴对称图形
要点提示:
平行四边形不是轴对称图形。
1. 轴对称图形:如果把一个图形沿一条直线对折,折痕两旁的部分能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,这条折痕所在的直线就是它的对称轴。
2. 用折纸的办法判断正方形、等边三角形、等腰梯形、长方形和圆有几条对称轴。 易错题:
判断:正方形中的两条对称轴是正方形的对角线。 (?)
错因分析:对称轴是直线,而正方形的对角线是线段。
正确答案:✕
3. 轴对称图形的特征。
(1)将轴对称图形沿其对称轴对折后,互相重合的点叫做对称点。
(2)轴对称图形的特征:对称点到对称轴的距离相等。
4. 在方格纸上画轴对称图形的方法。 重点提示:一般情况下,图形的关键点是线段的各个端点。
(1)确定已知图形的关键点。
(2)数出关键点到对称轴的距离。
(3)在对称轴的另一端描出关键点的对称点。
(4)按照已知图形的形状连接各对称点,即可画出已知图形的轴对称图形。
二、平移 要点提示:
物体或图形平移后,本身的大小、形状和方向都不发生改变,只有位置发生改变。
1. 平移:物体或图形在同一平面内沿直线的运动。
2. 判断一个图形是否可以通过平移得到另一个图形,先看这两个图形的大小、形状是否完全相同,再看两个图形的方向是否一致。
3. 一个图形通过平移得到另一个图形的方法。
易错题:
如下图,图形①向右平移(6)个方格得到图形②。
(1)确定平移的方向。
(2)确定平移的方格数,即对应点或对应线段之间的方格数。
4. 在方格纸上画简单图形平移后的图形。
(1)找出图形的关键点(关键线段)。
错因分析:此题错在把图形平移前、后之间的距离当成了平移的距离。应用图①中的某一点(某一线段)平移前、后的位置变化来判断。
正确答案:10
(2)以关键点(关键线段)为参照点,数出平移的方格数,按平移方向描出各对应点(对应线段)。
(3)把各对应点(对应线段)按原图形的形状连接起来。
三、旋转 重点提示:
物体旋转时,都是绕着一个固定点(或轴)按一定的方向和角度进行的。
1. 旋转:物体或图形绕着一个点(或一个轴)的运动。
2. 旋转的特征:物体在旋转过程中,大小、形状都没有发生变化,只是位置发生了变化。
3. 旋转的方向:物体的旋转方向和表针的转动方向一致,叫做顺时针旋转;物体的旋转方向和表针的转动方向相反,叫做逆时针旋转。
顺时针 逆时针
4. 物体旋转的三要素:旋转点、旋转方向和旋转角度。
5. 在方格纸上画简单图形旋转90°后的图形的方法:(1)确定旋转点、旋转方向和旋转角度。
(2)确定旋转后图形的各个对应点的位置。
(3)顺次连接各对应点。
四、设计图案 要点提示:
在设计复杂的图案时,可以利用多种图形的变换方式进行设计。
利用平移、旋转或轴对称的方法设计图案。
二 异分母分数加减法
一、真分数与假分数
重点提示:
1. 真分数小于1;假分数大于1或等于1。
2. 读带分数时,“又”字前面是整数部分,“又”字后面是分数部分。
1. 真分数:分子比分母小的分数,真分数都小于1。如、、。
2. 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,假分数大于1或等于1。如、、。
3. 带分数:一个整数(0除外)和一个真分数合成的数。读带分数时,先读整数部分,再读分数部分,中间加“又”字。如4读作四又五分之四。带分数的写法,先写整数部分,再写分数部分,分数部分的分数线与整数的中间对齐。
易错题:
判断:假分数一定大于1,真分数一定小于1。(?)
错因分析:此题错在没有理解假分数的特征,当假分数的分子和分母相等时,它的分数值是1,因此假分数一定大于1是错误的。
正确答案:✕
4. 把整数化成假分数:整数(0除外)可以化成分母是任意自然数(0除外)的假分数,即用指定的分母作分母,用分母和整数相乘的积作分子。如4==。
5. 把假分数化成带分数或整数的方法:用分子除以分母,当分子是分母的整数倍时,能化成整数,商就是这个整数;当分子不是分母的整数倍时,能化成带分数,商是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子,分母不变。如=12÷3=4,=15÷4=3。
6. 把带分数化成假分数时,用原来的分母作分母,用整数和分母相乘的积再加上原来的分子作分子。
如3==。
二、分数的大小比较 易错题:
判断:通分时分数值变大,约分时分数值变小。(?)
错因分析:无论是通分还是约分,依据的是分数的基本性质,分数的大小不变。
正确答案:✕
1. 公分母:把异分母分数化成同分母分数,这个相同的分母叫做它们的公分母。如把和化成同分母分数,分母是6,6是这两个分数的公分母。
2. 公倍数:两个数或几个数公有的倍数叫做它们的公倍数。如6是2的倍数,也是3的倍数,6就是2和3的公倍数。
3. 通分:把异分母的分数化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。
4. 通分的方法:通分时,用原分母的公倍数作公分母,通常选用最小公倍数作公分母,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
重点提示:
一个数的倍数的个数是无限的,因此两个数的公倍数的个数也是无限的,只有最小的公倍数,没有最大的公倍数。
5. 异分母分数比较大小的方法:先通分,再比较大小。
6. 公倍数和最小公倍数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
如4的倍数:4、8、12、16、20、24……
6的倍数:6、12、18、24……
易错题:
判断:两个数的公倍数一定比这两个数都大。(?)
错因分析:此题忽略了当两个数成倍数关系时,它们的最小公倍数是较大数的情况。
正确答案:✕
在4和6的倍数中12和24是4和6的公倍数,其中12是最小的,是4和6的最小公倍数。
7. 有特殊关系的两个数的最小公倍数。
(1)两个数,如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如6和2,6是2的倍数,那么6是6和2的最小公倍数。
(2)如果两个数只有公因数1,那么这两个数相乘的积就是它们的最小公倍数。如4和5只有公因数1,那么它们的最小公倍数是4×5=20。
易错题:用短除法求12和16的最小公倍数。
12和16的最小公倍数是2×2=4。
错因分析:此题混淆了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。用短除法求两个数的最小公倍数时,要将所有的除数和最后的商连乘。
正确答案:
12和16的最小公倍数是2×2×3×4=48。
8. 用短除法求两个数的最小公倍数的方法。
先用两个数公有的质因数(一般从最小的开始)依次作为除数连续去除这两个数,一直除到所得的商只有公因数1为止,再把所有的除数和最后所得的商连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
如求4和6的最小公倍数。
4和6的最小公倍数是2×2×3=12。
9. 求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法的异同。
相同点:用两个数公有的质因数(一般从最小的开始)依次作为除数连续去除这两个数,一直除到所得的商只有公因数1为止。
不同点:用短除法求两个数的最大公因数时,要将所有的除数连乘;用短除法求两个数的最小公倍数时,要将所有的除数和最后的商连乘。
三、分数和小数互化 方法提示:
把分数化成小数的两种情况:
1. 分子除以分母能除尽,得到有限小数。如=0.4、=0.875。
2. 分子除以分母除不尽,得到无限小数。如=0.142857142857……=0.111……
1. 把分数化成小数:用分子除以分母,除不尽的用“四舍五入”法按要求保留小数的位数,取近似值后要用约等号连接。如=5÷8=0.625;=1÷6≈0.17。
2. 把小数化成分数:根据小数的意义,有限小数可以直接写成分母是10、100、1000……的分数,原来有几位小数,就在1的后面写几个0作分母,把原来的小数去掉小数点后作分子,能约分的要约分,化成最简分数。如果需要化成假分数,先把小数化成带分数,再化成假分数。如3.625=3+=3+=3=。
3. 能化成有限小数的分数的特征:分母中只含有质因数2和5的数能化成有限小数;分母中除了2和5以外还有其他质因数的不能化成有限小数。
四、异分母分数加减
易错题:
+==
错因分析:此题错在没有通分,直接把分子和分母分别相加了。
正确答案:+=+
=
1. 异分母分数加减法的计算方法:分母不同的分数相加减,要先通分,化成同分母的分数,再按照同分母分数加减法的计算方法进行计算。
2. 异分母分数连加的计算方法:可以先把几个分数一次性通分,再相加,也可以应用加法的运算定律进行计算。
3. 整数加减法的运算定律在分数加减法中同样适用。
4. 异分母分数加减法的运算顺序:与整数加减法的运算顺序相同。没有括号的算式,按照从左到右的顺序计算,有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。
重点提示:
学数学要有运用意识,把所学的知识应用到生活中去解决身边的问题。
五、公交车上的数学
1. 运用时间、最小公倍数等知识求出两路公交车同时发车的时刻。
2. 运用时间等知识计算公交车每天卖票的收入。
三 长方体和正方体
一、长方体和正方体的特征
知识拓展:
1. 把长方体放在一个平面上观察,最多能同时看到3个面。
2. 一个长方体最多有两个面是正方形。
3. 正方体的棱长总和=棱长×12
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4
1. 认识长方体和正方体的面、棱、顶点。
2. 长方体和正方体面的特征。
(1)长方体有6个面,分别是上面、下面、左面、右面、前面、后面。上、下,左、右,前、后分别是一组相对的面。相对的面完全相同。
(2)正方体的6个面都完全相同。
3. 长方体和正方体顶点和棱的特征。
长方体:有12条棱,分成3组,每组4条棱的长度相等。相交于一个顶点的三条棱的长度,分别叫做长方体的长、宽、高;有8个顶点。
正方体:有12条棱,都相等;有8个顶点。
4. 从长方体和正方体的对比中可以看出,正方体具备了长方体所有的特征,因此正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体,可以用下图表示长方体和正方体的关系。
5. 长方体和正方体的异同点。
重点提示:
沿不同的棱将长方体(或正方体)剪开,展开后的平面图形一般不相同。
名称
相同点
不同点
面
棱
顶点
面的
形状
面积
棱长
长方体
6个面
12
条棱
8个
顶点
长方形
(最多有
两个相
对的面
是正
方形)
相对的
面的面
积相等
相对的
棱长度
相等
正方体
6个面
12
条棱
8个
顶点
正方形
6个面
的面积
都相等
12条棱
的长度
都相等
二、长方体和正方体的展开图
易错题:
判断:底面积和高分别相等的两个长方体,它们的形状一定相同。(?)
错因分析:底面积相等,形状未必相同,如底面积是12,长和宽可能分别是6和2,也可能分别是4和3。
正确答案:✕
知识巧记:
包装用料求面积,意义方法要牢记,前后单位要统一,还要把面数清楚,六面齐全容易算,六面不全也不难,要么数清几个面,几面一合是答案,要么就看缺几面,再从六面里面减。
要点提示:在比较节省包装纸的实验时,可以将扑克的包装方式,扑克摆出的长、宽、高及表面积列在表格里,便于比较。
长方体展开图 正方体展开图
三、长方体和正方体的表面积
1. 长方体六个面的总面积叫做长方体的表面积。
2. 长方体相对的面相等,所以长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
3. 正方体六个面的总面积叫做正方体的表面积。
4. 正方体的六个面都相等,所以正方体的表面积=棱长×棱长×6。
四、解决问题
1. 求粉刷房间的面积时,先确定好粉刷几个面,再扣除门窗等的面积。
2. 解决生活中的实际问题时,所要求的长方体并不一定都有6个面,如长方体鱼缸只有5个面,长方体通风管只有4个面……计算时要根据实际条件和题中的要求求解。
五、包装扑克
1. 探索怎样包装6盒扑克用的包装纸最少时,要把6盒扑克实际摆一摆,通过实际拼摆与比较,发现将6盒扑克摞在一起摆6层,最节省包装纸。
2. 探索怎样包装8盒扑克用的包装纸最少时,要把8盒扑克实际摆一摆,通过实际拼摆与比较,发现将8盒扑克最大的面叠放在一起时,用的包装纸最少。
四 分 数 乘 法
一、分数乘整数的意义和方法
易错题:×2=
错因分析:此题错在没有真正理解分数乘整数的计算方法,把分母与整数相乘了。
正确答案:×2=
知识巧记:
分数乘整数,计算很简单,分子乘整数,分母不用变,计算想简便,约分要在先,结果要想准,分数化最简。
方法提示:
求部分量,要用部分量对应的分率去乘单位“1”对应的量。
1. 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数的和的运算。
2. 分数乘整数,用分子乘整数的积作分子,分母不变。
如×2==。
二、求一个数的几分之几是多少
求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。
每千克草莓5元,买千克草莓应付多少元?根据“单价×数量=总价”用乘法计算。
列式为5×的意义就是求5元的是多少。
5×===2.5(元)。
三、分数乘分数 易错题:
判断:一个数乘真分数,积小于这个数。(?)
错因分析:此题忽略了这个数可能是“0”的情况,0乘真分数,积还是0,这时积等于这个数,而不是小于这个数。
正确答案:✕
1. 分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
一台收割机每小时收割小麦公顷,小时收割小麦多少公顷?
根据题意,求公顷的是多少,就是把公顷平均分成5份,也就是把1公顷平均分成2×5=10(份),取其中的3份。
求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。
列式为×。
×==(公顷)。
2. 两个不为0的数相乘,当其中的一个因数小于1时,所得的积小于另一个因数;当其中一个因数大于1时,所得的积大于另一个因数;当其中的一个因数等于1时,所得的积等于另一个因数。
易错题:
学校给同学们体检,小亮的体重是35千克,小林的体重比小亮的轻,小林的体重是多少千克?
35×=5(千克)
答:小林的体重是5千克。
错因分析:此题把小林比小亮轻的部分看成小林的体重了。
正确答案:
35×
=35×
=30(千克)
答:小林的体重是30千克。
四、分数的混合运算
1. 分数混合运算的运算顺序同整数混合运算的运算顺序相同,即在没有括号的算式里先算乘除法,再算加减法;有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
2. 已知一部分量占总量的几分之几,求另一部分量。
解题方法:另一部分量=总量-总量×部分量占总量的分率=总量×(1-部分量占总量的分率)
一捆彩带的长是60米。某蛋糕店今天已经用去这捆彩带的,还剩多少米彩带?根据题意:还剩的长度=彩带的总长度×还剩的长度占总长度的分率。
60×=60×=36(米)。
3. 简便运算。
整数乘法的运算定律,分数乘法同样适用。
即a×b=b×a,(a×b)×c=a×(b×c),(a+b)×c=ac+bc。
五、倒数
1. 倒数的意义。
乘积是1的两个数互为倒数。
重点提示:
1. “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,必须说一个数是另一个数的倒数,不是孤立地说某个数是倒数。
2. 1的倒数是1,0没有倒数。
3. 真分数的倒数大于1,假分数的倒数小于或等于1。
如×=1,8×=1。
和互为倒数;8和互为倒数。
2. 求倒数的方法。
求一个数的倒数,可以把它的分子和分母调换位置;一个整数(0除外)的倒数就是以这个数为分母,分子是1的分数。
如的倒数是;5的倒数是。
五 长方体和正方体的体积
一、体积和体积单位
易错题:
判断:只有棱长是1米的正方体的体积才是1立方米。 (?)
错因分析:此题错在对1立方米的意义理解不透彻。棱长是1米的正方体的体积是1立方米,这是建立体积单位模型时的一个参照物,用它作为衡量体积的一个标准。
正确答案:✕
1. 体积的意义。
物体都占空间,物体大的占的空间大,物体小的占的空间小。物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2. 常用的体积单位。
常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。
3. 体积单位的实际意义。
(1)1立方厘米:棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米,用字母表示为1 cm3,一个蚕豆的大小大约是1 cm3。
(2)1立方分米:棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米,用字母表示为1 dm3,一个粉笔盒的大小大约是1 dm3。
(3)1立方米:棱长是1米的正方体,体积是1立方米,用字母表示为1 m3,借助3根1米长的木条在墙角搭成的空间的大小大约是1 m3。
二、长方体、正方体的体积公式及应用 重点提示:
在实际运用中,长方体的“厚”是长方体的“高”。
易错题:
选择:两个棱长总和相等的长方体,它们的体积(A)。
A.一定相等
B.一定不相等
C.不一定相等
错因分析:棱长总和相等只能说明两个长方体的长、宽、高的和相等,不能说明两个长方体的长、宽、高的积相等。
正确答案:C
易错点:a3表示三个a相乘,不要与3×a混淆。
1. 长方体的体积=长×宽×高,用字母表示为V=abh。
2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示为V=a3。
3. 底面积:长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
4. 长方体、正方体体积的统一公式。
(1)长方体的底面积=长×宽
长方体的体积=长×宽×高
长方体的体积=底面积×高
(2)正方体的底面积=棱长×棱长
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
正方体的体积=底面积×棱长
(3)由上面可以推导出长方体(正方体)的体积=底面积×高,用字母表示为V=Sh。
5. 体积单位之间的进率。
(1)相邻体积单位之间的进率是1000,即1立方米=1000立方分米,1立方分米=1000立方厘米。
(2)体积单位的换算:把高级单位换算成低级单位,要乘进率;把低级单位换算成高级单位,要除以进率。
三、应用问题 方法提示:
求横截面是梯形的拦河坝的体积,可以用“横截面面积×长”来计算。
易错题:
判断:一个可乐瓶的包装上标有500毫升,是指这个可乐瓶的容积是500毫升。 (?)
错因分析:可乐瓶上标的500毫升是瓶内可乐的体积,而不是可乐瓶的容积。
正确答案:✕
要点提示:在实践中,要综合考虑包装箱是否容易搬动、是否结实等现实问题。
1. 土石方问题。
生活中,计量沙、土、石子等的体积时,常常把“立方米”简称为“方”。
2. 求挖出土石多少方,可以根据体积公式进行计算。
3. 容积的意义:容器所能容纳物体的体积,通常叫做容积。
4. 容积和体积的区别:意义不同,容积和体积是同一容器的两个方面的特征;容积和体积的计算方法相同,但测量的方法不同(求体积从容器的外面测量,求容积从容器的里面测量)。
5. 容积的计量单位:计量容积,一般用体积单位,但计量液体的体积常用“升”和“毫升”作单位。
1升=1000毫升,1升=1立方分米,1毫升=1立方厘米。
四、设计包装箱
在设计适合装香皂和牙膏的包装箱时,要根据牙膏盒和香皂盒的长、宽、高等数据,通过实际拼摆和画图的方法来分析、比较得出哪种设计最好。
六 分 数 除 法
一、分数除以整数
易错题:
÷6=×6=
错因分析:此题错在没有掌握分数除以整数的计算方法。应该用被除数乘除数的倒数。
正确答案:÷6=×
=
1. 一个整数除以另一个整数(0除外)等于这个整数乘另一个整数的倒数。
如48÷8=48×=6,36÷9=36×=4。
2. 分数除以整数的计算方法。
分数除以整数(0除外)等于这个分数乘整数的倒数。
如÷3=×=。
二、一个数除以分数 易错题:
判断:一个数(0除外)除以真分数,商大于被除数;一个数(0除外)除以假分数,商小于被除数。 (?)
错因分析:假分数大于或等于1,当一个数除以1,商等于被除数,所以原说法错误。
正确答案:✕
1. 一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数。
如2÷=2×=5。
2. 商与被除数的关系。
(1)一个数(0除外)除以真分数,商大于被除数。
(2)一个数(0除外)除以1,商等于被除数。
(3)一个数(0除外)除以大于1的数,商小于被除数。
三、应用问题。
拓展提升:
同学们开联欢会布置会场,用了28个红气球,红气球占气球总数的。一共用了多少个气球?
根据除法的意义,知道用了28个红气球,对应气球总数的,求单位“1”,用除法计算。即28÷=28×=63(个)。
1. 已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
解这类问题的方法步骤:
(1)根据题意找出单位“1”,设未知数量为x。
(2)找出题中的等量关系。
(3)列方程解答。
(4)检验并写出答案。
2. 稍复杂的已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
解这类问题的方法步骤:
先找到题中的等量关系,设未知量(单位“1”的量)为x,再列方程。
解题的关键是找准单位“1”,计算出已知量对应单位“1”的几分之几。
四、混合运算 易错题:
÷÷
=××
=
错因分析:没有把第二个除数变成乘倒数的形式。
正确答案: ÷÷
=××
=
1. 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同,即先算乘除法,再算加减法;有括号的,先算括号里面的,再算括号外面的。
如 +÷ ×
=+× =×
= =
2. 整数的运算定律和运算性质,在分数四则运算中同样适用。
七 折线统计图
一、认识单式折线统计图
易错题:
判断:条形统计图和折线统计图都在表示事物发展趋势方面有优势。(?)
错因分析:此题错在不清楚条形统计图和折线统计图的特征,条形统计图不能表示事物的发展趋势,只能便于看出和比较各种数量的多少。
答案:✕
1. 折线统计图的意义:折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少,描出各点,然后把各点用线段顺次连接。
2. 折线统计图的特征:折线统计图不但可以表示出数量的多少,还能够清楚地反映出数量的增减变化情况。
3. 绘制单式折线统计图的方法:
(1)先画横轴,再画纵轴。
(2)根据数据的大小确定一个单位长度表示的数量。
(3)根据数据的大小描点,描点时应注意先找准横轴上的点,再找准纵轴上的点,过两点画横轴、纵轴的垂线,两条垂线的交点便是所要描的点。
(4)连点成线段。
(5)标明数据。
4. 解读单式折线统计图:
运用横向、纵向、综合比较等不同的观察方法,可以读懂折线统计图,从中获取更多的信息,并能根据获取的信息回答或提出相应的问题,进行
重点提示:
1. 画复式折线统计图时,一定要标明图例。
简单的分析和推测。
二、认识复式折线统计图
1. 复式折线统计图的意义:
在统计过程中存在两组数据,需要在一幅统计图中表示出这两组数据,就要用两种不同颜色(形式)的折线来表示不同数据的变化情况,这样的统计图就是复式折线统计图。
2. 解读复式折线统计图要先看清图例,不要把两种 数据混淆了。
2. 复式折线统计图的特征:
复式折线统计图可以更加清晰地反映两组数据的增减变化情况,便于对两组相关数据进行比较。
3. 绘制复式折线统计图的方法:
与单式折线统计图的制作方法基本相同,只是需要用不同的图例表示不同的数据信息。
4. 单式折线统计图和复式折线统计图有什么相同点和不同点?
相同点:都是折线统计图。
3. 方法提示:
运用不同的观察方法可以读懂统计图,从中获取信息,根据信息提出或回答相应的问题,并进行简单的分析和合理的预测。
不同点:(1)单式拆线统计图只有一条折线,而复式折线统计图会有两条(或两条以上)折线,而且一般都是以虚线和实线出现的。多张结构一样的单式折线统计图可以合并到一张复式折线统计图中。
(2)单式折线统计图通过将一组数据的水平表示出来,可以很容易地看出数量增减变化的情况。复式折线统计图通过两组或两组以上数据的水平进行比较,可以容易地比较出两组或两组以上数据的变化趋势,更清楚地看出各类之间的比较。
八 探 索 乐 园
一、用集合图解决问题
1. 用集合图表示整体与部分的包含关系。
整体与部分的包含关系可以用一个图包含另一个图的方式表示。
方法提示:
关于两种情况互相包含的问题。用求出两个量的和再减去相同的部分的方法来解决。
整体-部分=另一部分。
2. 关于两种情况互相包含的问题。
易错题:
从北京到上海的某特快列车在沿线共停靠5站,分别是北京、济南、徐州、南京和上海。请问:要为这几个站点共准备多少种不同的车票?列举出来。
北京—济南、北京—徐州、北京—南京、北京—上海、济南—徐州、济南—南京、济南—上海、徐州—南京、徐州—上海、南京—上海,共10种。
错因分析:此题错在没有注意与车票站点的顺序有关,北京—济南,济南—北京,票价相同,但属于往、返两种车票,所以共要准备10×2=20(种)车票。
如上图:如果放在桌面上的两张圆形纸片的面积分别是A、B,它们相互包含的部分的面积为C,那么它们覆盖的面积为A+B-C。关于两种情况相互包含这一类题型,都可以用上面的计算方法。
二、比赛场次
1. 比赛场次问题。
(1)单循环赛:即假设有n个队参加比赛,则每个队都要和除自己队之外的(n-1)个队打一场比赛。
(2)单循环赛的比赛场次。
用画图法:(以四国球队比赛为例)
从图中可以看出,每支球队都要和另外3支球队分别进行一场比赛,每场比赛只与2支球队有关,与2支球队的排列顺序无关。但在比赛中,每一场次的比赛都重复计算了。
用列表法:
正确答案:北京—济南、济南—北京、北京—徐州、徐州—北京、北京—南京、南京—北京、北京—上海、上海—北京、济南—徐州、徐州—济南、济南—南京、南京—济南、济南—上海、上海—济南、徐州—南京、南京—徐州、徐州—上海、上海—徐州、南京—上海、上海—南京,共20种。
中国
韩国
澳大利亚
越南
中国
韩国
中、韩
澳大利亚
中、澳
韩、澳
越南
中、越
韩、越
澳、越
从上面的表格里也可以看出只在一半的表格里写出了球队,而另一半则是重复的。
2. 由以上两种方法可以看出比赛场次=[1+2+3+…+(n-1)]。
如果队数比较多,则可以根据“队数×(队数-1)÷2=比赛场次”直接列式解答。
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