2022恩施州高中教育联盟高一下学期期中考试数学含答案

恩施州高中教育联盟2022年度春季学期高一期中考试

数 学

命题学校：利川一中 命题教师：何 平 审题教师：吴周伦

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第八章第2节．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1.设集合，，则（    ）

A.B.C.D.

2.若，，，且，则向量a与b的夹角为（    ）

A.B.C.D.

3.“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.在正方体ABCD—中，M，N分别是棱和上的点，，，那么正方体中过M，N，的截面图形是（    ）

A. 三角形B.四边形 C.五边形 D.六边形

5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ）

A.B.

C.D.

6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.B.C.D.

7.已知函数图象的一个对称中心为（，0），把f（x）的图象向右平移（＞0）个单位长度后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（    ）

A.B.C.D.

8.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，且满足，则的取值范围是（    ）

A.（0，3）B.（0，4] C.（3，4] D.（1，3）

二、多选题；本题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ）

A.“若x，则的充要条件是“”

B.是纯虚数

C.若，则

D.当时，复数是纯虚数

10.下列命题正确的是（    ）

A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

C.棱锥是由一个底面为多边形，其金各面为且有公共顶点的三角形围成的几何体

D.球而可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面

11.对于函数下列四个结论中正确的是（    ）

A.f（x）是以为固期的函数

B.当且仅当时，f（x）取得最小值－1

C.f（x）图象的对称轴为直线

D.当且仅当时，

12.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若，则把有序数对（x，y）叫做向量的仿射坐标，记，在的仿射坐标系中，，b＝（2，－1），则下列结论中正确的是（    ）

A.B.

C.D.a在b上的投影向量为（－，）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.如图所示的正方形的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是．

14.在△ABC中，，，若BC边的中点D的坐标为（－3，1），点A的坐标为（－2，t），则t＝．

15.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索，这些现象中都有相似的曲线形态，事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线，悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用，在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中a，b是非零常数，无理数e＝2.71828…），对于函数f（x），以下结论正确的是．

①如果a＝b，那么f（x）为奇函数；

②如果，那么f（x）为单调函数；

③如果，那么f（x）没有零点；

④如果，那么f（x）的最小值为2

16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A，B两点间的距离为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17.（满分10分）

已知向量，，向量．

（1）当k为何值时，？

（2）若x，y的夹角为钝角，求实数k的取值范围．

18.（满分12分）

已知复数，，．

（1）若，求角；

（2）复数，对应的向量分别是，，其中O为坐标原点，求的取值范围．

19.（满分12分）

在△ABC中，．

（1）若，求B的大小；

（2）若，求△ABC面积的最大值．

20.（满分12分）

在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题．

问题：已知函数．

（1）若命题“___，”为真命题，求实数a的取值范围；

（2）当时，求关于x的不等式的解集．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21.（满分12分）

已知函数的最小正周期为．

（1）求f（x）的单调增区间；

（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在[0，b]（）上至少含有2022个零点，求b的最小值．

22.（满分12分）

已知函数），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动时，对应的点在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数．

（1）解关于x的不等式；

（2）若对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；

（3）设函数，，当时，求|F（x）|的最大值．

恩施州高中教育联盟2022年度春季学期高一期中考试

数学参考答案

13.14.315.②③16.

17.解：（1），

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因为，所以，解得．．．．．．．．．．．．．4分

当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）可知，

由，得，解得．…．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

由，得，解得．

当时，x与y共线反向，x与y的夹角为平角，舍去．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

当且时，x与y的夹角为钝角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18.解：（1）由，，，

可得

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

所以，又，

所以或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由题意可得．．．．．．．．．．7分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

由，得，所以，…．．．．．．．．．．．．．．11分

所以的取值范围为[—2，4]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）因为，且，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又因为，，

所以，

所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

因为，所以△ABC为等边三角形，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）因为，且，

所以，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（当且仅当时，等号成立）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

因为，所以，所以，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

综上，当△ABC是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）由，得，即．

设，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

则在[－2，0]上的最小值为，最大值为．．．．．．．．．．．．4分

选择条件①，则在[－2，0]上成立，

所以，故实数a的取值范围是（－∞，0]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

选择条件②，则在[－2，0]上恒成立，

所以，故实数a的取值范围是（－∞，－1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由，可得，即，

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

当时，解集为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

当时，解集为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

当时，解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.解：（1）由题得

．

因为f（x）的最小正周期为，所以，

则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

令，

解得，

所以f（x）的单调增区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，

可得到函数的图象，

所以．…．．．．7分

令，得，

可得或，

解得或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以g（x）在每个周期上恰有2个零点，若在[0，上至少含有2022个零点，．．．．．．．．．．10分

则b不小于第2022个零点的横坐标即可，即b的最小值为．……12分

22.解：（1）依题意得则所以，

所以原不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）由题意得，所以，

所以f（x）的相关函数为．

依题意，对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，

即当时，恒成立①．

由对任意的总成立，，结合题设条件有，．．．．…．4分

在此条件下，①等价于当时，恒成立，

即，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

设，

要使当时，恒成立，

只需，即成立，解得，即a的取值范围是（0，1]．…………7分

（3）由（2）可得当时，在区间（0，1）上，，

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

设，则．

令，则，所以，

因为（当且仅当时，等号成立），

可得，当时，等号成立，满足，则t的最大值为，．．．．．．．．．．．11分

所以|F（x）|的最大值是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分