2021届—炎德 英才大联考湖南师大附中模拟试卷(三)

炎德·英才大联考湖南师大附中2021届模拟试卷(三)

数  学

时量：120分钟    满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则(   )

A.    B.    C.    D.

2.已知在复平面内对应的点的坐标为，则(   )

A.    B.    C.    D.

3.若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的(   )

A.充分而不必要条件      B.必要而不充分条件

C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件

4.年月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划)，明确从年起强基计划取代原有的高校自主招生方式，如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，，，那么三人中恰有两人通过的概率为(   )

A.    B.    C.    D.

5.已知双曲线，以的焦点为圆心，为半径的圆与的渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是(   )

A.    B.   C.   D.

6定义：在数列中，若满足(，为常数)，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则等于(   )

A.       B.

C.       D.

7.已知中，，，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段上，则的最小值为(   )

A.    B.    C.    D.

8.已知函数，，若与的图象在区间上的交点分别为，，…，，，，则的值为(   )

A.    B.    C.    D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在的学生人数为，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是(   )

A.

B.

C.本次思想政治考试平均分为

D.从高三学生中随机抽取人，其中人成绩在内的概率为

10.设函数的图象为曲线，则(   )

A.将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合

B.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合

C.是曲线的一个对称中心

D.若，且，则的最小值为

11.如图，正三棱柱各棱的长度均相等，为的中点，、分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足，当、运动时，下列结论中正确的是(   )

A.在内总存在与平面平行的线段

B.平面平面

C.三棱锥的体积为定值

D.可能为直角三角形

12.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是(   )

A.若抛物线上的点到点的距离为，抛物线的方程为

B.以为直径的圆与准线相切

C.线段长度的最小值是

D.的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数在处的切线方程为________.

14.的展开式中项的系数为________.

15.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完段、黄“电子狗”爬完段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑黄“电子狗”间的距离是________.

16.设，是不相等的两个正数，且，则的取值范围为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)若数列的前项和，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列前项和.

18.(本小题满分12分)如图，长方体中，底面是正方形，，是上的一点且.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

19.(本小题满分12分)如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.

(1)求线段的长度；

(2)若，求两条观光线路与之和的最大值.

20.(本小题满分12分)某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

(1)为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了对观测值，求与的线性回归方程；

附：①对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；

②参考数据：，，，.

(2)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率)；

①

②；

③.

评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级；

(3)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.从样本中随意抽取件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取件零件，计算其中次品总数的数学期望.

21.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为.

(1)求该椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于、两点，且，求证：直线与某个定圆相切，并求出定圆的方程.

22.(本小题满分12分)已知函数.

(1)当时，试判断函数在上的单调性；

(2)存在，，，求证.