2021-2022学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（上）期末数学试卷（含答案），共37页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）气温由﹣2℃上升3℃后是（ ）
A．1℃ B．3℃ C．5℃ D．﹣5℃
2．（3分）某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是（ ）

A．正方体 B．长方体 C．圆柱体 D．圆锥体
3．（3分）2021年9月25日，被扣押在加拿大3年的孟晚舟女士安全返回中国，当晚，仅在央视新媒体上就有4亿多人的点赞，点赞量超越了美国和加拿大两国的人口总和．4亿＝400000000，用科学记数法将400000000表示为（ ）
A．4×109 B．40×107 C．0.4×1010 D．4×108
4．（3分）某公园门票的价格为：成人票10元/张，儿童票5元/张．现有x名成人、y名儿童，买门票共花了75元．据此可列出关于x、y的二元一次方程为（ ）
A．10x+5y＝75 B．5x+10y＝75 C．10x﹣5y＝75 D．10x＝75+5y
5．（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
6．（3分）如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）

A．60° B．40° C．50° D．70°
7．（3分）如图，∠AOB＜60°．
（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交射线OA、OB于点C、D，连结CD；
（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作圆弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．下列结论中错误的是（ ）

A．∠AOP＝∠BOP B．CP＝2QC C．CD⊥OP D．CP∥OB
8．（3分）如图，点P在函数（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时，下列结论不正确的是（ ）

A．△ODB与△OCA的面积相等
B．四边形PAOB的面积不会发生变化
C．PA与PB始终相等
D．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：2﹣（﹣12）＝ ．
10．（3分）不等式3x﹣12≥0的解集为 ．
11．（3分）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为 度．

12．（3分）如图①，小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH，再将纸片EFGH按图②所示的方式分别沿MN、PQ折叠，使点E和点G落在线段PN上的点E′和点G′处，当PN∥EF时，若阴影部分的周长之和为8，则菱形纸片ABCD的一条对角线AC的长为 ．


13．（3分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为 （结果精确到1米）．
[参考数据：sin29.5°≈0.49，cs29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57]

14．（3分）定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．如：A（1，0）、B（﹣3，2）都是“整点”，抛物线y＝x2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点，若该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，则a的取值范围是 ．
三.解答题（共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．
17．（6分）自2008年8月1日中国第一条高速铁路运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展，截止2020年底，我国高速铁路运营里程稳居世界第一．高铁为居民出行带来便利，已知从相距700km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3.6h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.8倍，求普通列车的平均速度是多少km/h？
18．（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，请使用无刻度直尺按要求画图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中的BC边上找一点M，连结AM，使得线段AM将△ABC分成面积比为1：2两部分；（只画出一条线段AM即可）；
（2）在图2中过点C画线段CN，其中点N在四边形ABCD边上，并且CN将四边形ABCD分成面积比为1：2两部分，画出所有的线段CN．


19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠ADE．
（2）若⊙O的半径为，AD＝3，求CE的长．

20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：
（1）下列调查方式最合理的是 （填序号）．
①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；
②从不同住宅楼中随机选取200名居民；
③选取社区内的300名在校学生．
（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．
①补全条形统计图．
②在这次调查中的200名居民中，在家学习的有 人．
（3）请估计该社区5000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．

21．（8分）甲、乙两车从M地出发，沿同一路线驶向N地，甲车先出发匀速驶向N地，15分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时10分钟．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了40km/h，结果与甲车同时到达N地，甲、乙两车距M地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a＝ ，甲的速度是 km/h．
（2）求线段AD对应的函数表达式．
（3）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距10km．

22．（9分）已知，在△ABC中，AB＝AC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连接DE，DE所在直线交直线BC于点M．
猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若BD＝CE，则线段DM、EM的大小关系为 ．
探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD＝CE，判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD＝2，CE＝8，DM＝1.4．则ED的长为 ．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点D从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，以DC、DE为邻边作▱DEFC，当点E到达点B时，点D也之停止运动．设点D的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示BE的长．
（2）当DE∥BC时，求t的值．
（3）当点F落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
（4）以DC为边向左侧做正方形DCMN．当▱DEFC的一边所在直线把正方形DCMN的面积分成1：3两部分时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）与y轴交于点P，将抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）上点P及点P左边的部分图象沿y轴平移，使点P平移后的对应点Q落在（0，﹣m）处，将平移后的图象与原图象剩余部分合称为图象G．
（1）当m＝1时，
①求图象G与x轴正半轴的交点坐标；
②图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为 ；
（2）当图象G的最低点到x轴的距离为时，求m的值．
（3）当过点Q且与y轴垂直的直线与图象G有三个交点时，设另外两个交点为A、B．当Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1时，直接写出线段AB的长度．
2021-2022学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）气温由﹣2℃上升3℃后是（ ）
A．1℃ B．3℃ C．5℃ D．﹣5℃
【分析】根据有理数加法的计算法则进行计算即可．
【解答】解：﹣2℃+3℃＝1℃，
故选：A．
【点评】本题考查有理数加法，理解有理数加法的计算方法是正确解答的关键．
2．（3分）某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是（ ）

A．正方体 B．长方体 C．圆柱体 D．圆锥体
【分析】俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．
【解答】解：俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．
故选：C．
【点评】考查简单几何体的三视图及其画法，简单几何体的主视图、左视图、俯视图就是从正面、左面、上面的正投影所得到的图形．
3．（3分）2021年9月25日，被扣押在加拿大3年的孟晚舟女士安全返回中国，当晚，仅在央视新媒体上就有4亿多人的点赞，点赞量超越了美国和加拿大两国的人口总和．4亿＝400000000，用科学记数法将400000000表示为（ ）
A．4×109 B．40×107 C．0.4×1010 D．4×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000000＝4×108．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）某公园门票的价格为：成人票10元/张，儿童票5元/张．现有x名成人、y名儿童，买门票共花了75元．据此可列出关于x、y的二元一次方程为（ ）
A．10x+5y＝75 B．5x+10y＝75 C．10x﹣5y＝75 D．10x＝75+5y
【分析】设x名成人、y名儿童，根据买门票共花了75元，列方程即可．
【解答】解：设x名成人、y名儿童，
由题意得，10x+5y＝75．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
5．（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
6．（3分）如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）

A．60° B．40° C．50° D．70°
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【解答】解：∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
7．（3分）如图，∠AOB＜60°．
（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交射线OA、OB于点C、D，连结CD；
（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作圆弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．下列结论中错误的是（ ）

A．∠AOP＝∠BOP B．CP＝2QC C．CD⊥OP D．CP∥OB
【分析】利用基本作图得到OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，则可对A选项进行判断；先证明△PCD为等边三角形得到∠CPD＝60°，再证明OP垂直平分CD，则可对C选项进行判断；由于CQ＝DQ，则PC＝2CQ，于是可对B选项进行判断；利用∠CPO＝30°，∠BOP＜30°可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，
∴∠AOP＝∠BOP，所以A选项不符合题意；
∵PC＝PD＝CD，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠CPD＝60°，
∵OC＝OD，PC＝PD，
∴OP垂直平分CD，所以C选项不符合题意；
∴CQ＝DQ，
∴PC＝2CQ，所以B选项不符合题意；
∵∠CPO＝30°，
∠BOP＜30°，
∴PC与OB不平行，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．（3分）如图，点P在函数（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时，下列结论不正确的是（ ）

A．△ODB与△OCA的面积相等
B．四边形PAOB的面积不会发生变化
C．PA与PB始终相等
D．
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义分别求得△ODB与△OCA的面积和四边形PAOB的面积，即可判定A，B的结论正确；给出C结论成立的条件即可判定C结论错误；利用反比例函数系数k的几何意义分别求得△ODB与△OCA的面积，△ODP与△OCP的面积，则得到S△OPB＝S△OPA，再利用等高的三角形的面积比等于它们底的比即可判定D结论的正确．
【解答】解：∵点A，B在的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴＝1．
∴A选项正确；
∵点P在函数的图象上，PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S四边形PDOC＝k．
∴S四边形PAOB＝S四边形PAOB﹣S△OBD﹣S△OAC＝k﹣1﹣1＝k﹣2．
∵k为常数，k＞2，
∴四边形PAOB的面积不会发生变化．
∴B选项正确；
∵只有当OP是第一象限的角平分线时，PA＝BP，
∴C选项不正确；
连接OP，如图，

由反比例函数系数k的几何意义可得：
S△OAC＝S△OBD＝1，S△OPC＝S△OPD＝k，
∴S△POA＝S△OPC﹣S△OAC＝k﹣1，
S△OPB＝S△OPD﹣S△OBD＝k﹣1．
∴S△OPB＝S△OPA，
∴．
∵等高的三角形的面积比等于它们底的比，
∴，．
∴．
∴D选项正确．
综上，C的结论不正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，等高的三角形的面积比等于它们底的比，利用在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|和在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变，分别求得对应的三角形和矩形的面积是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：2﹣（﹣12）＝ 14 ．
【分析】根据有理数减法法则计算即可求解．
【解答】解：2﹣（﹣12）＝2+12＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了有理数减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）．
10．（3分）不等式3x﹣12≥0的解集为 x≥4 ．
【分析】利用不等式的基本性质，把12移到不等号的右边，系数化为1即可求得原不等式的解集．
【解答】解：移项得，3x≥12，
解得x≥4，
故答案为x≥4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，以及解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
11．（3分）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为 75 度．

【分析】首先计算∠4的度数，再根据平行线的性质可得∠1＝∠4，进而可得答案．
【解答】解：∵∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝75°，
故答案为：75．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
12．（3分）如图①，小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH，再将纸片EFGH按图②所示的方式分别沿MN、PQ折叠，使点E和点G落在线段PN上的点E′和点G′处，当PN∥EF时，若阴影部分的周长之和为8，则菱形纸片ABCD的一条对角线AC的长为 4 ．


【分析】由题意，AC＝2EF＝2GH，设EM＝EN＝a，FM＝b，GP＝GQ＝x，HQ＝y，则2（a+b）+2（x+y）＝8，求出a+b，可得结论．
【解答】解：如图①中，连接BD交AC于点O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AE＝EB，AH＝DH，
∴DH＝FG＝BD，EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵BE＝AE，BF＝FC，
∴EF∥AC，
∵AC⊥DB，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
设EM＝EN＝a，FM＝b，GP＝GQ＝x，HQ＝y，
则2（a+b）+2（x+y）＝8，
∵EF＝GH，
∴a+b＝x+y＝2，
∴AC＝2EF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查剪纸问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，中点四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（3分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为 275米 （结果精确到1米）．
[参考数据：sin29.5°≈0.49，cs29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57]

【分析】证△BCD是等腰直角三角形，得BD＝CD＝100米，再由锐角三角函数定义求出AD的长，即可求解．
【解答】解：由已知得：∠ECA＝29.5°，∠FCB＝45°，CD＝100米，EF∥AB，CD⊥AB，
∴∠A＝∠ECA＝29.5°，∠B＝∠FCB＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝100米，
在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝＝≈175.4（米），
∴AB＝AD+BD≈175.4+100≈275（米），
即建筑物A、B之间的距离约为275米，
故答案为：275米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义，求出AD、BD的长是解题的关键．
14．（3分）定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．如：A（1，0）、B（﹣3，2）都是“整点”，抛物线y＝x2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点，若该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，则a的取值范围是 ﹣1＜a≤﹣ ．
【分析】画出图象，找到该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，
∴函数的对称轴：x＝1，
∴P和Q两点关于x＝1对称，
根据题意，抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，这些整点是（0，1），（1，1），（2，1），
如图所示：

∵当x＝0时，y＝a+2，
∴1＜a+2＜2，
当x＝﹣1时，y＝4a+2≤1，
即：，
解得：﹣1＜a≤﹣
故答案为：﹣1＜a≤﹣．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．
三.解答题（共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．
【分析】先用完全平方公式、乘法分配律展开，再合并同类项，化简后将a＝代入即可．
【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2
＝a2+7，
把a＝代入得：
原式＝（）2+7
＝3+7
＝10．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式公式、合并同类项法则等将所求式子化简．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．
【解答】解：列表得：
∴P（和为3）＝．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是要区分放回实验还是不放回实验．
17．（6分）自2008年8月1日中国第一条高速铁路运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展，截止2020年底，我国高速铁路运营里程稳居世界第一．高铁为居民出行带来便利，已知从相距700km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3.6h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.8倍，求普通列车的平均速度是多少km/h？
【分析】设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.8x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3.6小时，列出分式方程，然后求解即可．
【解答】解：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.8x千米/时，根据题意得：
﹣＝3.6，
解得x＝125，
经检验x＝125是原方程的解，
答：普通列车平均速度是125千米/时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．
18．（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，请使用无刻度直尺按要求画图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中的BC边上找一点M，连结AM，使得线段AM将△ABC分成面积比为1：2两部分；（只画出一条线段AM即可）；
（2）在图2中过点C画线段CN，其中点N在四边形ABCD边上，并且CN将四边形ABCD分成面积比为1：2两部分，画出所有的线段CN．


【分析】（1）找出线段BC的三等分点，即可解决问题；
（2）求出四边形ABCD的面积为9，使得△BCN，△DCN′的面积为3，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，线段AM或线段AM′即为所求；
（2）如图2中，线段CN或线段CN′即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠ADE．
（2）若⊙O的半径为，AD＝3，求CE的长．

【分析】（1）连接OD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质得BD＝CD，AD平分∠BAC，接着证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，利用DE为切线得到OD⊥DE，所以DE⊥AC，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）先利用勾股定理可计算出CD＝4，再利用面积法计算出DE，然后利用勾股定理可计算出CE．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，AD平分∠BAC，
而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC，
∵∠ABD+∠BAD＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
而∠BAD＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADE；
（2）解：∵⊙O的半径为，
∴AC＝AB＝，
在Rt△ADC中，CD＝＝＝2，
∵S△ADC＝DE•AC＝AD•CD，
∴DE＝＝，
∴CE＝＝．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：
（1）下列调查方式最合理的是 ② （填序号）．
①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；
②从不同住宅楼中随机选取200名居民；
③选取社区内的300名在校学生．
（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．
①补全条形统计图．
②在这次调查中的200名居民中，在家学习的有 120 人．
（3）请估计该社区5000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．

【分析】（1）根据抽样调查的特点，可知最合理的是从不同住宅楼中随机选取200名居民，从而可以解答本题；
（2）①根据统计图中的数据可以计算出在图书馆学习4h的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
②根据统计图中的数据可以计算出在这次调查中，200名居民中，在家学习的有多少人；
（3）根据统计图中的数据可以计算出该社区5000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．
【解答】解：（1）下列调查方式最合理的是②从不同住宅楼中随机选取200名居民，
故答案为：②；
（2）①在图书馆等场所学习的有：200×30%＝60（人），
在图书馆学习4h的有：60﹣（14+16+6）＝60﹣36＝24（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有：200×60%＝120（人），
故答案为：120；
（3）5000×＝3550（人），
答：该社区5000名居民中双休日学习时间不少于4小时的有3550人．

【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）甲、乙两车从M地出发，沿同一路线驶向N地，甲车先出发匀速驶向N地，15分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时10分钟．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了40km/h，结果与甲车同时到达N地，甲、乙两车距M地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a＝ ，甲的速度是 80 km/h．
（2）求线段AD对应的函数表达式．
（3）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距10km．

【分析】（1））由乙在途中的货站装货耗时10分钟易得a＝；甲从M到M共用了（4.5+）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；
（2）求出A的坐标，用待定系数法可得AD函数表达式；
（3）分4种情况：①乙车出发前，甲车出发10÷80＝（小时），与乙车相距10千米；设乙车开始速度为x千米/小时，3x+（4.5﹣）（x﹣40）＝380，解得x＝100，②乙车出发后，在甲车后面10千米时，设此时甲车已经出发m小时，80m﹣10＝100（m﹣），③乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米时，设甲车已经出发n小时，80n+10＝100（n﹣，④乙车减速后，甲车在乙车后面10千米，设此时甲车已经出发p小时，80p+10＝3×100+（100﹣40）×（p﹣﹣），分别解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）a＝3+＝，
甲车的速度＝380÷（4.5+）＝80（千米/小时）；
故答案为：，80；
（2）∵甲车先出发15分钟，乙出发时，甲距M地80×＝20（千米），
∴A（0，20），
设线段AD的函数表达式为y＝kx+20，将D（4.5，380）代入得：
4.5k+20＝380，
解得k＝80，
∴线段AD的解析式为y＝80x+20；
（3）①乙车出发前，甲车出发10÷80＝（小时），与乙车相距10千米；
设乙车开始速度为x千米/小时，
3x+（4.5﹣）（x﹣40）＝380，
解得x＝100，
②乙车出发后，在甲车后面10千米时，设此时甲车已经出发m小时，
则80m﹣10＝100（m﹣），
解得m＝，
③乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米时，设甲车已经出发n小时，
则80n+10＝100（n﹣），
解得n＝，
④乙车减速后，甲车在乙车后面10千米，设此时甲车已经出发p小时，
则80p+10＝3×100+（100﹣40）×（p﹣﹣），
解得p＝，
综上所述，甲出发小时或小时或小时或小时，甲乙两车相距10km．
【点评】本题考查一次函数及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，运用分类思想解决问题．
22．（9分）已知，在△ABC中，AB＝AC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连接DE，DE所在直线交直线BC于点M．
猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若BD＝CE，则线段DM、EM的大小关系为 DM＝EM ．
探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD＝CE，判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD＝2，CE＝8，DM＝1.4．则ED的长为 4.2 ．

【分析】猜想：过E作EF∥AB交BC于F，证明△BDM≌△FEM（AAS），即可得出结论；
探究：过E作EF∥AB交CB的延长线于F，证明△BDM≌△FEM（AAS），即可得出结论；
拓展：过E作EF∥AB交CB的延长线于F，先证∠F＝∠C，则EF＝CE＝8，再证△MBD∽△MFE，得＝，求出EM＝5.6，即可解决问题．
【解答】解：猜想：DM＝EM，理由如下：
如图①，过E作EF∥AB交BC于F，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC，
∴∠C＝∠EFC，
∴EF＝CE，
∵BD＝CE，
∴BD＝EF，
∵EF∥AB，
∴∠D＝∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
，
∴△BDM≌△FEM（AAS），
∴DM＝EM，
故答案为：DM＝EM．
探究：结论DM＝EM，理由如下：
如图②，过E作EF∥AB交CB的延长线于F，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC，
∴∠C＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∵BD＝EC，
∴DB＝EF，
∵EF∥AB，
∴∠D＝∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
，
∴△BDM≌△FEM（AAS），
∴DM＝EM．
拓展：如图③，作EF∥AB交CB的延长线于F，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∴EF＝CE＝8，
∵BD∥EF，
∴△MBD∽△MFE，
∴＝，
即＝，
解得：EM＝5.6，
∴ED＝EM﹣DM＝5.6﹣1.4＝4.2，
故答案为：4.2．



【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明△BDM≌△FEM是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点D从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，以DC、DE为邻边作▱DEFC，当点E到达点B时，点D也之停止运动．设点D的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示BE的长．
（2）当DE∥BC时，求t的值．
（3）当点F落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
（4）以DC为边向左侧做正方形DCMN．当▱DEFC的一边所在直线把正方形DCMN的面积分成1：3两部分时，直接写出t的值．

【分析】（1）根据勾股定理可得AB＝5，根据题意可得AE＝2t，即可求解；
（2）根据DE∥BC，可得△ADE∽△ACB，从而可得＝，即可求解；
（3）根据平行四边形的性质可得EF∥AC，EF＝CD＝t，然后分三种情况：当F在BC的垂直平分线上时，当F在AC的垂直平分线上时，当F在AB的垂直平分线上时，即可求解；
（4）分两种情况：当CF所在直线把正方形DCMN的面积分成1：3时，当DE所在直线把正方形DCMN的面积分成1：3时，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴AE＝2t，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣2t．
（2）∵AE＝2t，CD＝t，
∴AD＝3﹣t，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝．
（3）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴EF∥AC，EF＝CD＝t，
当点F在BC边的垂直平分线上时，
如图1，延长EF交BC于点J，

∴BJ＝CJ，
∵EF∥AC，
∴＝＝1，
∴BE＝AE＝AB＝，
∴2t＝，
解得：t＝，
当点F在AC边的垂直平分线上时，
如图2，设AC边的垂直平分线交AB，AC于点H，G，

∴HG⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴HG∥BC，
∴∠B＝∠EHF，＝＝1，
∴BH＝AH＝AB＝，
∵EF∥AC，
∴∠HEF＝∠A，
∴△EFH∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝，
如图3，点F在AB边的垂直平分线上时，设AB边的垂直平分线交AB于点K，

∴FK⊥AB，BK＝AK＝AB＝，
∴∠EKF＝∠ACB＝90°，
∵EF∥AC，
∴∠KEF＝∠A，
∴△EFK∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝，
综上所述，当点F落在△ABC一边的垂直平分线上时，t的值为或或．
（4）如图4，延长EF交BC于点N，设MN交FC于点P，

∵CF所在直线把正方形DCMN的面积分成1：3两部分，
∴S△PCM＝S正方形DCMN＝t2，
∵S△PCM＝PM×CM，
∴S△PCM＝PM×t＝t2，
∴PM＝，
∴tan∠PCM＝＝，
∴＝，
∴CG＝2FG，
设FG＝x，则：
EG＝t+x，CG＝2x，
∵tanB＝＝，
∴＝，
∴BG＝（t+x），
∵BC＝4，
∴（t+x）+2x＝4，
∴x＝，
∴EG＝t+x＝，
∵sinB＝＝，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝1，
如图5，设EF交BC于点T，设MN交DE于点S，

∵DE所在直线把正方形DCMN的面积分成1：3两部分，
∴S△DNS＝S正方形DCMN＝t2，
同理tan∠NDS＝＝，＝，＝，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵∠AND＝∠DCB＝90°，
∴∠NDS＝∠FCT，
∴tan∠FCT＝，
∴CT＝2TF，
设TF＝a，则：
ET＝t﹣a，CT＝2a，
∴BT＝（t﹣a），
∴（t﹣a）+2a＝4，
解得：a＝6﹣2t，
∴ET＝t﹣a＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6，
∵＝，
∴＝，
解得：t＝，
如图6，过点E作EG⊥AC于点G，CF交DN于点O，

∵∠AGE＝∠ACB＝90°，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝＝，
∵AE＝2t，AB＝5，BC＝4，AC＝3，
∴EG＝，AG＝，
∵CD＝t，
∴DG＝3﹣t﹣＝3﹣，
∵四边形DCMN是正方形，
∴∠CDO＝90°，
∴△CDO∽△DGE，
∴＝，
∵此时CE将正方形DCMN面积分为1：3两部分，
∴OD＝DN＝CD＝，
∴＝，
解得：t＝，
综上所述，当平行四边形DEFC的一边所在直线把正方形DCMN的面积分为1：3两部分时，t的值为或1或．
【点评】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）与y轴交于点P，将抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）上点P及点P左边的部分图象沿y轴平移，使点P平移后的对应点Q落在（0，﹣m）处，将平移后的图象与原图象剩余部分合称为图象G．
（1）当m＝1时，
①求图象G与x轴正半轴的交点坐标；
②图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为 x≤0或0＜x＜2 ；
（2）当图象G的最低点到x轴的距离为时，求m的值．
（3）当过点Q且与y轴垂直的直线与图象G有三个交点时，设另外两个交点为A、B．当Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1时，直接写出线段AB的长度．
【分析】（1）①令y＝0，求出方程的解即可；
②将抛物线解析式配方找出对称轴，结合函数的图象解答即可；
（2）分两种情况结合图象G的最低点到x轴的距离为列出方程求解即可；
（3）分两种情况求出点A，B的坐标，根据Q，A，B三点中，有一点到另外两点的距离之比为1：1列出方程求解得出AB的长即可．
【解答】解：（1）①当m＝1时，y＝x2﹣4mx+m＝x2﹣4x+1，
令y＝0，则x2﹣4x+1＝0，
解得x＝2﹣或2+，
∴图象G与x轴正半轴的交点坐标为：（2﹣）或（2+，0）；
②y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+1的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），且开口向上，如图，

∴图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为x≤0或0＜x＜2，
故答案为：x≤0或0＜x＜2；
（2）当m＞0时，
∵y＝x2﹣4mx+m＝（x﹣2m）2﹣4m2+m，
﹣4m2+m﹣（﹣m）＝﹣4m2+2m，
∴①当0＜m＜时，﹣4m2+m﹣（﹣m）＝﹣4m2+2m＞0，即点Q是图象的最低点，
∴|﹣m|＝，不符题意，舍去，
②当m时，﹣4m2+m﹣（﹣m）＝﹣4m2+2m≤0，即抛物线的顶点是图象G的最低点，
∴﹣（﹣4m2+m）＝，
解得m＝或﹣（舍去），
当m＜0时，可知（0，m）即为最低点，
∴m＝﹣，
综上，m的值为或﹣；
（3）当m＞0时，如图，

当y＝﹣m时，则x2﹣4mx+m＝﹣m，
即（x﹣2m）2＝4m2﹣2m，
解得x＝2m﹣或2m+，
∴A（2m﹣，﹣m），B（2m+，﹣m），
∴AQ＝2m﹣，AB＝2m+﹣（2m﹣）＝2，
∵AQ：AB＝1：1，
∴2m﹣＝2，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴m＝，
∴AB＝2；
当m＜0时，如图，

当y＝﹣m时，则x2﹣4mx+m＝﹣m，
即（x﹣2m）2＝4m2﹣2m，
解得x＝2m﹣或2m+，
∴A（2m+，﹣m），
平移后的图象解析式为y＝x2﹣4mx﹣m，
当y＝﹣m时，则x2﹣4mx﹣m＝﹣m，
解得x＝4m或0，
∴B（4m，﹣m），
∴AQ＝2m+，QB＝﹣4m，
∵AQ：QB＝1：1，即AQ＝QB，
∴2m+＝﹣4m，
解得m＝﹣或0（舍去），
∴AB＝AQ+QB＝2m+﹣4m＝﹣2m+＝﹣2×，
AB的长为或．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点问题，解题的关键是理解题意，利用数形结合和转化的思想思考问题，学会用参数思想构建方程确定交点坐标是解题的关键．
和
1
2
0
1
2
3
1
2
3
4
2
0
1
2
0