2022淄博高二上学期期末考试数学试题含答案

2021-2022学年度第一学期高二教学质量检测

数学试题

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知直线，，的倾斜角为60°.若，则的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. “某彩票的中奖概率为”意味着（    ）

A. 买100张彩票就一定能中奖

B. 买100张彩票能中一次奖

C. 买100张彩票一次奖也不中

D. 购买彩票中奖的可能性为

4. 已知直线，.若，则实数（    ）

A.  B. 2 C. 或2 D. 0

5. 如图，在四面体OABC中，M在棱OA上，满足，N，P分别是BC，MN中点，设，，，用，，表示，则（    ）

A.  B.

C  D.

6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知曲线（    ）

A. 表示两条直线 B. 表示圆

C. 表示焦点在x轴上的双曲线 D. 表示焦点在x轴上的椭圆

10. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 平面与所有坐标轴相交 D. 原点一定不在平面内

11. 已知圆，点是圆上的一个动点，点，则（    ）

A.  B. 的最大值为

C. 面积的最大值为2 D. 的最大值为4

12. 抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（    ）

A.  B. B，D为对立事件 C. A，C为互斥事件 D. A，D相互独立

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于y轴的对称点坐标为______.

14. 若点P是抛物线上的动点，则点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值是______.

15. 已知甲､乙两人定点投篮比赛，投中的概率分别为和，若按甲､乙､甲､乙……的次序轮流投篮，且每次投篮是否投中互不影响，直到有一人投中停止比赛，则甲投篮两次的概率是______.

16. 已知双曲线左焦点为，过点的直线与双曲线E的两条渐近线的交点M､N位于y轴左侧，满足，，为坐标原点，则双曲线E的渐近线方程为______.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知O为坐标原点，，是直线l与抛物线的两个交点，满足.试求的值，并证明直线l恒过定点.

18. 已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，点M在PD上，且.

（1）求的值；

（2）求点B到直线CM的距离.

19. 1765年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）在他的著作《三角形的几何学》中首次提出著名的欧拉线定理：三角形的重心､垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.已知中，，，的欧拉线方程为.

（1）求外接圆的标准方程；

（2）求点C到直线AB的距离.

注：重心是三角形三条中线的交点，若的顶点为，，，则的重心是.

20. 某游乐场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲､乙两人在该停车场临时停车，两人停车时间互不影响且都不超过2.5小时.

（1）若甲停车的时长在不超过半小时､半小时以上且不超过1.5小时､1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲､乙两人停车付费之和为4元的概率；

（2）若甲､乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为､，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为､，求甲､乙两人临时停车付费不相同的概率.

21. 已知平面图形ABCDE（图1）中，，，，.沿BD将折起，使得点C到F的位置（如图2），满足.

（1）证明：平面平面BDF；

（2）求平面AEF与平面BCF夹角的余弦值.

22. 如图，已知椭圆的顶点，，，分别为矩形的边的中点，点分别满足，，直线与直线的交点为.

（1）证明：点P在椭圆E上；

（2）设直线l与椭圆E相交于M，N两点，内切圆的圆心为.若直线垂直于x轴，证明直线l的斜率为定值，并求出该定值.

1【答案】B

2【答案】A

3【答案】D

4【答案】A

5【答案】C

6【答案】B

7【答案】A

8【答案】B

9【答案】BD

10【答案】C

11【答案】AC

12【答案】BC

13【答案】

14【答案】

15【答案】

16【答案】

17【详解】解：因为，所以，

又因为，

所以，解得，

下证直线恒过定点.

由题可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，

由得，

所以，

由得，

所以直线的方程为，

所以直线恒过定点

18【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

以为原点建立空间直角坐标系如图所示：

则，0，，，0，，，2，，，2，，

，0，，，2，，，0，，

设，，，则，，，

，

即，，

∴

【小问2详解】

在棱上取点，使得，

设，，，

则，又，

∴

故，

因为，

则，

解得，，

∴

∴

∴点B到直线CM的距离.

19【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

解：由题知，边的中点为，直线的斜率为，

所以边的中垂线的方程为，即，

又因为的外心在其欧拉线上，

所以联立，解得，即的外心为，

所以外接圆的半径为，

所以外接圆的标准方程为

【小问2详解】

解：设点，则由（1）知，

因为的重心在欧拉线上，

所以，即

所以，解得，即

又，所以直线的方程为，

所以点C到直线的距离为

20【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

解：设甲停车付费元，乙停车付费元，由题知，

所以两人停车费用的可能情况为共9种，

其中，甲､乙两人停车付费之和为4元的事件有

所以甲､乙两人停车付费之和为4元的概率为.

【小问2详解】

解：设甲、乙两人停车时长不超过半小时分别为事件，停车时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，

则，

所以，甲乙两人临时停车付费相同的概率为

，

所以，甲乙两人临时停车付费不相同的概率为

21【小问1详解】

∵，∴

又∵，∴

且AE与BD相交，

∴平面ABDE，又平面ABDE，

∴

由图1知，，，

∴，∴，

即，

∴，

又，

∴平面BDF，又平面ADF，

∴平面平面BDF；

【小问2详解】

以为坐标原点，，， 所在直线为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，

，

设平面的一个法向量为，，，

则，即，

令，则，

∴，，，

易知平面BCF的一个法向量为，1，

设平面AEF与平面BCF所成的夹角为，

则，

故平面AEF与平面BCF所成的夹角的余弦值为．

22【小问1详解】

解：由题知：，

则直线的方程为：，直线的方程为：，

解方程组，得，

因为，

所以点在椭圆上.

【小问2详解】

解：由题知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，

联立得，

设，则，

因为直线与轴垂直，所以直线的斜率互为相反数，

所以，

因为,

所以，

整理得，

所以。

化简得，即，

若，则，

此时直线的方程为，直线过点，此时不能构成，故不成立，

所以，即直线的斜率为定值，.

综上，直线的斜率为定值，.