2022届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（七）数学（理）试题含解析

2022届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（七）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素的个数为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【分析】利用直线与圆的位置关系判断.

【详解】因为圆心（0,0）到直线y=2的距离d=2=r，

所以直线与圆相切，

所以的元素的个数是1，

故选：C．

2．命题“若，则”的逆否命题是（       ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则 D．若或，则

【答案】D

【分析】根据命题和逆否命题的关系可得答案.

【详解】原命题的条件是“若”，结论为“”，则其逆否命题是：若或，则，

故选：D．

3．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为、则下列结论正确的是（       ）

A．，甲比乙稳定 B．，乙比甲稳定

C．，甲比乙稳定 D．，乙比甲稳定

【答案】A

【分析】比较甲乙两人的平均值，和他们成绩的集中分散情况，可得答案.

【详解】根据茎叶图可知， ,

,

,

,

故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩，但甲的成绩比乙的成绩更集中，

因此甲比乙稳定，

故选：A．

4．下列函数为奇函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可.

【详解】A选项，的定义域为，，，故为非奇非偶函数；

B选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

C选项，的定义域为，，故为奇函数；

D选项，的定义域为，，，故为偶函数，

故选：C．

5．深秋时节，霜叶红满地．今要测量捡到的枫叶的面积，在边长为15cm的正方形纸片中描出枫叶的轮廓，然后随机撒入100粒豆子，恰有60粒落入枫叶轮廓中，则枫叶的面积近似为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先可得落入枫叶轮廓中的概率，然后可得答案.

【详解】由题可知，落入枫叶轮廓中的概率为，

所以枫叶的面积近似为

故选：B．

6．已知数列满足：，点在函数的图象上．记为的前n项和，则（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】由以及解析式求出，再由得出答案.

【详解】由题得，解得，故，所以，故选：A．

7．设非零复数，在复平面内分别对应向量，，为原点，则的充要条件是（       ）

A． B． C．为实数 D．为纯虚数

【答案】D

【分析】设，，则，，计算出，然后结合可得答案.

【详解】设，，则，，

且，

由知且，故的充要条件是为纯虚数，

故选：D．

8．半径为4的圆与直线：、：分别相交于点A和点B、点和点D，若，则（       ）

A． B．5 C． D．4

【答案】A

【分析】首先求出直线与直线之间的距离、圆心到直线的距离，然后可得圆心到直线的距离，然后可得答案.

【详解】由题得直线与直线之间的距离为，所以圆心在两直线之间，

圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离为，

故，

故选：A．

9．函数在上的所有零点之和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出的零点，然后利用等差数列的求和公式可得答案.

【详解】由得，，

故在上的零点从小到大排成首项为、公差为的等差数列．

由得，即该数列共有项，所以所有零点之和为，

故选：D．

10．如图，将长和宽之比为2：1的长方形纸片（图甲）折成一个正三棱柱（图乙）的侧面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用割补法，结合余弦定理、异面直线所成角的定义进行求解即可.

【详解】设，则，．如图，通过补体将直线平移至，则异面直线与所成角等于与所成角．由图得，，则

故选：B．

11．已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为，，若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，则，可计算出，然后可得答案.

【详解】根据椭圆的标准方程：知，，

设，则，且，，，

所以．又，所以，

故选：C．

12．三棱锥的四个顶点在球О的球面上，平面ABC，，，，点M是BC的中点，，则球О的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得的外接圆的半径r，再由求得外接球的半径求解.

【详解】如图所示：

由余弦定理可得，

解得．

故，．

设的外接圆半径为，由正弦定理可得，

故，

所以球的半径为，

球的表面积为，

故选：C．

二、填空题

13．二项式的展开式中的常数项为__________.

【答案】15

【解析】由该二项式的通项公式即可得出.

【详解】由题意可得，通项为，令，得，

所以常数项为，

故答案为：.

14．已知，为单位向量，且在方向上的投影为，则______________．

【答案】

【分析】根据向量投影的定义求得，进而结合平面向量的数量积以及运算律即可求出结果.

【详解】由题得在方向上的投影为，又因为，为单位向量，则，所以，所以，即．

故答案为：．

15．已知，为双曲线：的左右焦点，直线：与双曲线C交于A，B两点，且，则双曲线C的离心率为______________．

【答案】

【分析】不妨设，分别在第一、第三象限，易知，再由得到是正三角形，利用双曲线的定义求解.

【详解】不妨设，分别在第一、第三象限，则．

由得，且四边形为矩形．

故是正三角形，，．

由双曲线的定义知，

从而，

故答案为：．

16．已知函数，下面四个结论：①的图象是轴对称图形；②的图象是中心对称图形；③在上单调；④的最大值为．其中正确的有______________．

【答案】①③④

【分析】根据函数满足，可知① 正确；假设函数图象是中性对称图形，结合①可知函数为周期函数，结合函数解析式，可判断② 错误；根据函数的单调性可判断③正确；

根据函数，，可判断④ 正确.

【详解】的定义域为，由于，所以的图象关于对称，故①正确；

对于②，假设图象有对称中心，又由① 知函数图象有对称轴，则函数f(x)必为周期函数，而显然不具有周期性，故②错误；

当时，单调递增且函数值为正数，单调递减且函数值为正数，故在上单调递增，故③正确；

由于，，所以，当且仅当时取等号，故④正确；

故答案为：①③④．

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求A；

(2)从两个条件：①；②中任选一个作为已知条件，求的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据正弦定理角化边，利用三角恒等变换即可求出A；

(2)若选①：结合，和正弦定理可求tanB，求出B，从而求出C，再根据三角形面积公式即可求解；

若选②：结合，和余弦定理可求c，从而求出b，再根据三角形面积公式求解即可.

【详解】(1)由正弦定理得，

∴．

又，∴，∴．

又，∴；

(2)若选择①，将，代入得，

即，∵，∴，，．

∴．

若选择②，将，代入得，

解得(舍去)，∴．

∴．

18．如图，在直三棱柱中，，，，D，E分别是，的中点，是棱上的点且，M是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线CF与平面CDE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，设为平面的一个向量，直线与平面所成角为，由求解.

【详解】(1)证明：如图，取的中点，连接，．

，分别是，的中点，

且．

又是的中点，

且．

且．

四边形是平行四边形．

．

又平面，平面，

平面．

(2)建立空间直角坐标系，

则，，，．

∴，，．

设为平面的一个向量，

则解得

故可取，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．为弘扬“女排精神”，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一方先胜三局则比赛结束．假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立，每局比赛乙班获胜的概率为．

(1)若前两局已战成平局，求还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜的概率；

(2)如果比赛的赛制有“五局三胜”制和“三局两胜”制，对于乙班来说，如何选择比赛赛制对自己获胜更有利，请通过计算说明理由．

【答案】(1)

(2)乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利；理由见解析

【分析】(1)根据独立事件的概率乘法公式直接计算即可；

(2)根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接计算即可

【详解】(1)记为事件“第i局乙胜”，为事件“第i局乙输”，，

为事件“还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜”，则，

故．

(2)记为事件““三局两胜”制下乙班获胜”，为事件““五局三胜”制下乙班获胜”，

则（2局获胜）（3局获胜），

（3局获胜）（4局获胜）（5局获胜），

由于，

故乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利．

20．已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若对，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)极小值，无极大值

(2)

【分析】（1）当时，，求出，然后可得答案；

（2）分、两种情况讨论，当时，可判断出在上有唯一零点，且，然后可得，然后可得的范围，然后可得的范围.

【详解】(1)当时，，．

当时，；当时，．

所以有极小值，无极大值．

(2)由题得，．

①当时，，，故，在上单调递增．

所以，解得（舍去）．

②当时，，，

令，则

所以在上单调递增，

故在上有唯一零点，且．

当，，单调递减；

当，，单调递增．

所以，

即，解得．

又因为在上单调递增，所以．

综上，的取值范围为．

21．已知抛物线：，焦点为F，点Р是上任一点（除去原点），过点P作的切线交准线于点Q．

(1)求抛物线在处的切线方程；

(2)若点Р在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧．

①证明：；

②求面积的最小值．

【答案】(1)

(2)① 证明见解析；②

【分析】（1）利用导数求出斜率，然后可得答案；

（2）①设，然后求出的坐标，然后证明即可，②算出和点到切线的距离，然后可得，然后利用导数求出最小值即可.

【详解】(1)由得，，则切线斜率为，

故切线方程为，即．

(2)①设，由（1）得切线斜率为．

所以，且切线为，即．

令得，即．

当时，，；

，，满足．

当时，，

，

所以．

因为在第一象限，所以，，故．

综上，．

②由①得，

，

点到切线的距离为，

所以，

令，，则，

所以当，；当，．

故当时，取最小值．

所以当时，取最小值．

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程（t为参数），在以原点О为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线距离的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用整体消参求出曲线的普通方程为，利用公式法求出直线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，利用基本不等式求出最小值.

【详解】(1)由得消去参数得，

又，所以曲线的普通方程为．

由得，

所以直线的直角坐标方程为．

(2)设点的坐标为，则点到直线的距离为

，

当，即，，可以取到上述“”，此时点为．

所以曲线上的点到直线距离的最小值为．

23．已知函数．

(1)若不等式有解，求实数的取值范围；

(2)当时，记的最大值为．若，，，，，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值不等式得，不等式有解的充要条件是，求解即可；

（2）由绝对值不等式得，继而有，运用作差比较法可得证.

【详解】(1)解：由绝对值不等式得，

故，当且仅当时取“”．

所以不等式有解的充要条件是，解得或．

故实数的取值范围为．

(2)证明：由题得，当且仅当时取“”，故．

所以，．

因为

，

所以，

故．