二次函数的性质与应用（中下）-无答案学案

一、知识梳理

（一）、二次函数的图象和性质

1．二次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

 二次函数的图象是一条抛物线．顶点为（－，），对称轴x=－

相关增减性画图理解

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。

3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．

注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”

（二）、抛物线的特征与a、b、c的关系

1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；  抛物线开口向下，则a＜0．

2、b的符号由对称轴决定，

若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－＜0，即＞0，则a、b为同号

若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－＞0，即＜0．则a、b异号．即“左同右异”．

3．c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．

若抛物线交y轴于正半，则c＞0;

若抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；

若抛物线过原点，则c=0．

4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．

若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；

有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．

5、a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线(a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵坐标，

a－b+c是抛物线(a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．（x=2，-2时的函数值也会涉及）

（三）、二次函数解析式求法

 ⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

 ⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h；

 ⑶交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）。

 注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。

（四）、二次函数图象与一元二次方程和不等式

（1）．二次函数与一元二次方程的关系：

  （1）一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

  （2）二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

（2）．二次函数与不等式的关系：

 二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值大于0时的值，即此二次函数的图象在轴上方时的取值范围；同样的，二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值小于0时的值，即此二次函数的图象在轴下方时的取值范围。

二、巩固练习

1、二次函数的图像如图，则点M（b ，）在第_______象限。

      第1题                第2题           第4题             第5题             第6题

2、已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：①ac，②a+b+c，③4a－2b+c，④2a+b，⑤2a－b中，其值大于0的有_______________（填序号）。

3、已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有___________（填序号）。

4、抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是_________。

5、已知y=ax2+bx+c图象如图，则下列关系中成立的是                        (   )  

6、二次函数的图像如图，则下列关系判断正确的是     （　）

A．ab < 0   B．bc < 0　　　C．a + b + c > 0    D．a - b + c < 0

7、已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小：       _（填“>”，“<”或“=”）。

8、已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是                                                              (   )

A、y1＜y2＜y3      B、y2＜y1＜y3          C、y3＜y1＜y2   D、y1＜y3＜y2

9、如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列结论：①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＜－1；④b2＋8a＞4ac。其中正确的有                      （   ）                               

A、1个          B、2个         C、3个         D、4个

10、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（    ）

第9题

12.抛物线的顶点坐标是       .[来源:Z+xx+k.Com]

13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两 点.若点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为        .

15.将二次函数化为的 形式，结果为（   ）

A.                   B.

C.                   D.

17对于高次方程、高次不等式，我们常常借助方程、不等式与函数图象的关系，转化为函数图象分析求解．

①对于 x2-2x-6＞-3 而言，可以直接看作是函数 y=x2-2x-6 与直线 y=-3 比大小，请画出对应的函数图象，并进行求解．

②对 x2-2x-6＞-3 化简，得到 x2-2x-3＞0，该不等式可看作是函数 y=x2-2x-3 与 x 轴比大小，请画出对应的函数图象，求解后与第一种方法对比．

18、如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

三、拓展提升

1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4，—1)，与y轴交于点C(0，3)，O是原点．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)设此抛物线与x轴的交点为A，B(A在B的左边)，问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2、已知抛物线y=kx2+2kx-3k交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

3.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点A(-1，0)，与 y 轴的交点 B 在(0，-2)和(0，-1)之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．下列结论：①abc＞0；

②4a+2b+c＞0；③4ac-b2＜8a；④ 1  a  2 ；⑤b＞c．

3 3

其中正确的有（ ）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

4.抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段 y=0（1≤x≤3）有交点，则 c 的值不可能是（              ）

A．4 B．6 C．8 D．10

5.已知点 P(m，n)在抛物线 y=ax2-x-a 上，当 m≥-1 时，总有 n≤1成立，则 a 的取值范围是              ． 

6.已知二次函数 y=ax2-bx-2（a≠0）的图象的顶点在第四象限， 且过点(-1，0)，当 a-b 为整数时，ab 的值为（              ）

A． 3 或 1 B． 1 或 1 C． 3 或 1 D． 1 或 3

4 4 4 2 4 4

7.若 m，n（n＜m）是关于 x 的一元二次方程 1-(x-a)(x-b)=0 的两个根，且 b＜a，则 m，n，b，a 的大小关系为                          ．                 ．

8.如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．

（1）求线段AD的长；

（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

9.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克， 为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元千克，y关于x的函数解析式为y= ，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克， 每天的利润是W元(利润=销售收入一成本)

(1)m= _______，n=_______；

(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大?最大利润是多少?

(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天?

10．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．
（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？

11.在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
 

12．我乡香炉冲茶厂种植的“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似的用如图1种的一条折线表示。“岳西翠尖”的种植除了与气候，种植技术有关外，其种植成本z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似的用如图2的抛物线表示。

（1）直接写出图1表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的函数关系式；

（2）求出图2种表示的种植成本z（元）与上市时间t（天）（t＞0）的函数关系式；

（3）认定市场销售价减去种植成本为纯收益单价，问何时上市“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”纯收益最大？

（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克。）

13、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点。

（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标。

（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；

若不存在，请说明理由。

14.如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．

（1）求a，b的值．

（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．

15.如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC.
 

（1）求点A、B、D的坐标；   

（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；   

（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.