2021福建省宁德市高三上学期数学普通高中毕业班第一次质量检查试题答案

2021届福建省宁德市高三上学期数学普通高中毕业班第一次质量检查试题答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．

1．A  2．B  3．B  4．B  5．D  6．D  7．C  8．A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．CD  10．BC  11．ACD  12．ACD

三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．

13．  14．2020  15．  16．

8.解：设的中点为P，由可得点P的轨迹方程为.

所以的最大值为

（E为中点），

又，

所以最大值为12.解：由得，函数的零点个数即为函数与的图像交点个数.如图可知：

当时，有0个交点；

当时，有3个交点；

当时，有4个交点；

当时，有2个交点；

当时，有0个交点，

所以的零点个数的可能取值为0，2，3，4.故A正确.

即函数图像在图像的上方，由上可知，当且仅当时，才有恒成立.故B不正确.

显然（为偶函数），故只需研究时的情形，此时

为减函数，

令，解得，

且当时，时，

所以为极大值点，同理可知也为极大值点，故C正确；

所以，

又，，

所以的值域为，D正确.

故选ACD.

B也可通过时的情形予以排除.本题还可通过三角换元求解

15.解：设的中点为，则为外接圆的圆心

由已知可得

等边外接圆的圆心即为外接球的球心O

设

则

三棱锥高的最大值为x

所以的最大值为

解得

所以球O的半径

所以球O的表面积为

16.解：设双曲线C的左焦点为，连结，，设，则，

所以，.

由对称性可知，四边形为平行四边形，故.

在中，由余弦定理得，

解得.

故，.

在中，由余弦定理得，

，

解得：.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分10分．

解：选条件①

由①及正弦定理可得

，………………………………………………………1分

，

……………………………………………………………3分

因为，

所以……………………………………………………………………………4分

因为，所以.………………………………………………………………5分

由得，………………………………………………………6分

又，可得，………………………………………………………………8分

所以是等边三角形，从而.……………………………………………………10分

另解：…………………………………………………………7分

…………………………………………………………………8分

，………………………………………………………………………9分

则.……………………………………………………………………………10分

选条件②

由②可得，

即……………………………………………………………………1分

由正弦定理可得

，………………………………………………………2分

因为，

所以，

……………………………………………………………3分

因为，∴，………………………………………………………………4分

因为，所以.…………………………………………………………5分

下同选择①.

选条件③

由③，……………………………………………1分

……………………………………………………………2分

因为………………………………………………………………3分

所以，

所以.…………………………………………………………………4分

因为，所以.…………………………………………………………………5分

下同选择①.

18．本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等．满分12分．

解法一：

（1）设的公比为q，由题意得

………………………………………………………………………2分

解得：………………………………………………………………………4分

所以…………………………………………………………………5分

（2）因为

所以………………………………………………6分

所以时，

……………………………………8分

时，………………………………9分

………………………………10分

………………………………………………………11分

所以………………………………………………………12分

解法二：

（1）同解法一

（2）因为

所以……………………………………………………6分

设数列的前n项和为

则

………………………………………………………………………8分

当时，…………………………………………………………9分

当时，

………………………………………11分

所以………………………………………………………12分

19.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．

解法一：

（1）因为椭圆E：的焦点为，所以.………………1分

又，，…………………………………………………………3分

所以，.………………………………………………………………4分

即椭圆方程为.……………………………………………………………5分

 （2）由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的解析式为，

则C点为.…………………………………………………………………………6分

由，可得：，…………………………………7分

解得：，……………………………………………………………8分

故，……………………………………………………………10分

由此可得：

.……………………………………………………………11分

所以．……………………………………………………………………12分

解法二：

（1）同解法一

（2）由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的解析式为，

则C点为.…………………………………………………………………………6分

由，可得：…………………………7分

设，

由韦达定理得：，………………………………………8分

则，点F到直线l的距离为：，

所以

.…………………………………………………………10分

由此可得：．………………………………………………11分

故．………………………………………………………………………12分

20.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计等．满分12分．

（1）连接， ，

因为且，，

解得，

又，，

则，

所以.……………………………………1分

又，，

所以，又，

则.………………………4分

又，E为的中点，

所以，

又，

所以，………………………5分

则.………………………6分

（2）由（1）得，，

且，如图建立空间直角坐标系

，，，.…………………………………………………7分

易知，平面的一个法向量为，……………………………………………8分

假设存在满足题意的点设E

设

………………………………9分

，

设平面的一个法向量为，

则

令，则，，

则.………………………………………………………………………10分

若二面角的余弦值为，

则

解得或 （舍去）………………………………………………………………11分

所以棱上存在点E，使二面角的余弦值为，此时.…………12分

21.本小题主要考查频率分布直方图、二项分布、正态分布等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查统计思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（1）由题意可得

所以，，.……………………………3分

.…………………………5分

（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，长度d在的概率

且随机变量ξ服从二项分布，

所以，

……………………………………………………………7分

所以随机变量ξ分布列为

…………………………………………………………8分

（另解：）.……………………………………………………………9分

（3）由（1）及题意可知，.

所以；

…………………10分

.…………………11分

所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布的概率分布.

所以能让该批零件出厂.………………………………………………………………12分

22.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．

解：（1），…………………………………………………1分

定义域为……………………………………………………………2分

当时，，所以函数的单调递减区间为和，无增区间；………………………………………………3分

当.时，由得且；由得，

所以函数的单调递减区间为和，递增区间为；……………4分

当时，由得且；由得

所以函数的单调递减区间为和，递增区间为……………5分

综上，当时，函数的单调递减区间为和，无增区间；

当时，函数的单调递减区间为和，递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为和，递增区间为.

（未考虑定义域扣2分）

（2）由，即，

从而，

即，

…………………………………………………………………7分

设，

令，得，

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，即恒成立；……………………………………………9分

设，

令，

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，即恒成立；…………………………………………10分

又当时，，时，，……………………………………11分

所以不等式的解集为……………………………………………12分

（注：构造函数不唯一，请阅卷老师根据具体情况酌情给分）

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