2021河北省“五个一名校联盟”高三上学期数学第一次诊断考试题答案

2021届河北省“五个一名校联盟”高三上学期数学第一次诊断考试题答案

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C  2．B  3．D  4．A  5．B  6．D  7．C  8．A

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9．BD  10．ABC  11．ABD  12．ABD

三、填空题：

13．2x＋y-1＝0  14．相切  15．134  16．（，＋∞）

四、解答题：

17．解：（1）若选①，sin2A＝sin2B＋sin2C-sinBsinC，

由正弦定理可得：a2＝b2＋c2-bc，

再由余弦定理可得：．

若选②，由二倍角公式，

．

若选③，由1-2sinBsin（A-C）＝cos2B，

可得sinBsin（A-C）＝＝sin2B．

即sin（A-C）＝sinB，

即A-C＝B或A-C＝π-B（舍），所以可得A-C＝B，

而A＋B＋C＝π，所以，则cosA＝0．

（2）若选①或②，由余弦定理a2＝b2＋c2-2bccosA，

把，a＝2代入可得：4＝b2＋c2-bc≥bc，可得bc≤4，

当且仅当b＝c时等号成立，

又因为A为三角形内角，可得sinA＞0，则，

则，即S的最大值为，

若选③，由勾股定理a2＝b2＋c2，即4＝a2＋b2≥2bc，可得bc≤2，当且仅当b＝c时等号成立．

则，即S的最大值为1．

18．解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，由题意可知：

6a1＋15d＋a1＋4d＝1，其中a1＝-8，解得：d＝3，

则an＝-8＋3（n-1）＝3n-11．

（2）由（1）可知当n＝1，2，3时，an＜0，|an|＝-an，

当n≥4时，an＞0，|an|＝an，

当n＝1，2，3时，可知：T1＝32，T2＝72，T3＝104，

当n≥4时，可知：Tn＝104＋a4b4＋…＋anbn，即：

Tn＝104＋（3×4-11）·25＋…＋（3n-11）·2n＋1，两边乘以2可得：

2Tn＝2×104＋（3×4-11）·26＋…＋（3n-11）·2n＋2，

两式做差，整理可得：Tn＝（3n-14）·2n＋2＋264，

综上可得：．

19．解：（1）证明：过A'向底面作垂线，设垂足为O，

过O分别向AD，AB作垂线，垂足分别为E，F，连接A'E和A'F，易得A'O⊥AD，OE⊥AD，A'O∩OE＝O，所以AD⊥平面A'OE，

所以AD⊥A'E，同理AB⊥A'F．

在Rt△A'AE和Rt△A'AF中，∠A'AB＝∠A'AD＝60°，所以，，

在Rt△OAE和Rt△OAF中，∠OAE＝∠OAF＝30°，

可解得：，所以O在∠DAB的平分线AC上，

又，所以O既为AC中点，又在BD上，AC∩BD＝O，

又A'O平面A'BD，A'O⊥平面ABCD，所以平面A'BD⊥平面ABCD；

（2）方法一：

由（1）可知OA'，OA，OB两两垂直，分别以OA，OB，OA'所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（，0，0），B（0，1，0），A'（0，0，），D（0，-1，0），C'（，0，），

设平面BA'C'的法向量为＝（x，y，z），则，

即，可取z＝1，则＝（0，，1），

同理可解得平面DA'C'的一个法向量为＝（0，，1），

则，

由图可知该二面角为锐二面角，故二面角B-A'C'-D的余弦值是．

方法二：由（1）可知：平面A'BD⊥平面ABCD，又AC⊥BD，AC平面ABCD，

所以AC⊥平面A'BD，又AC∥A'C'，

所以A'C'⊥平面A'BD，

则∠BA'D即为二面角B-A'C'-D的平面角；

由（1）可知：，A'B＝A'D＝，BD＝2，

由余弦定理可得：，

所以二面角B-A'C'-D的余弦值是．

20．解：（1）在一轮比赛中，甲积1分记为事件A，其概率为，

甲积0分记为事件B，其概率为P（B）＝，

甲积-1分记为事件C，其概率为，

三轮比赛后，甲积1分记为事件D，则P（D）＝P（ABB＋BAB＋BBA＋CAA＋ACA）

＝P（ABB）＋P（BAB）＋P（BBA）＋P（CAA）＋P（ACA）＝．

（2）乙两轮获胜记为事件E，则P（E）＝P（CC）＝；

乙三轮获胜记为事件F，则P（F）＝P（BCC＋CBC）＝P（BCC）＋P（CBC）＝；

乙四轮获胜记为事件G，则

P（G）＝P（BBCC＋BCBC＋CBBC＋ACCC＋CACC）＝P（BBCC）＋P（BCBC）＋P（CBBC）＋P（ACCC）＋P（CACC）＝；

乙五轮获胜记为事件H，则P（H）＝P（BBBCC＋BBCBC＋BCBBC＋CBBBC＋BACCC＋BCACC

＋ABCCC＋CBACC＋ACBCC＋CABCC＋ACCBC＋CACBC）＝．

综上：若比赛至多进行五轮，则乙能获胜的概率是．

21．解：（1）f'（x）＝3x2＋2bx＋c，由题意可知，f'（x）＝3x2＋2bx＋c＝0有两个不同的根x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[0，1]，

则，解得：-3≤c≤0，

即c的范围为[-3，0]．

（2）由题意可知，，所以，

所以，

，令，求导可得：，

可知g（x）在[0，1]上单调递减，则，

即，又由-3≤c≤0，所以-1≤f（x2）≤1得证．

22．解：（1）由题意可知，抛物线D：y2＝4x的焦点为（1，0），所以椭圆C的半焦距c＝1，

又椭圆C有一点P满足|PF1|︰|F1F2|︰|PF2|＝3︰4︰5，

所以椭圆C的离心率，所以a＝2，，

则求得椭圆C的方程是．

（2）当直线AB的斜率不存在时，直线PQ即为x轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；

当直线AB的斜率为0时，A，B为椭圆长轴两端点，直线PQ⊥x轴，|PQ|＝4，

四边形APBQ的面积S＝4×2＝8；

当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y＝k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立直线AB与椭圆C：，

消去y可得：（3＋4k2）x2-8k2x＋4k2-12＝0，

则，．

则弦长

，

设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立直线PQ与抛物线D：，

消去y可得：x2-（4k2＋2）x＋1＝0，则x3＋x4＝4k2＋2，

由抛物线的定义，弦长|PQ|＝x3＋x4＋2＝4k2＋2＋2＝4（k2＋1），

由于AB⊥PQ，则四边形APBQ的面积，

令3＋4k2＝t＞3，则，

即，令，求导可得：，

可知x＞3时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，则g（x）＞g（3）＝8，

综上可知，当直线AB斜率k＝0时，四边形APBQ面积有最小值8．

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