2022年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（一）（含答案）

这是一份2022年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（一）（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给的四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（4分）﹣2022的倒数是（　　）
A．-12022 B．12022 C．﹣2022 D．2022
2．（4分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（　　）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a﹣b）2＝a2+b2
C．（﹣a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1 D．（a3）4＝a7
4．（4分）一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．（4分）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）已知方程组ax-by=4ax+by=2的解为x=2y=1，则2a﹣3b的值为（　　）
A．4 B．6 C．﹣6 D．﹣4
7．（4分）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况．统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法错误的是（　　）
月用电量（度）
15
30
40
50
65
户数
1
2
4
2
1
A．方差是160 B．众数是40 C．平均数是40 D．中位数是40
8．（4分）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（　　）

A．60° B．55° C．50° D．40°
9．（4分）如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
10．（4分）如图，已知A（12，y1），B（2，y2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时点P的坐标是（　　）

A．（72，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（52，0）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）
11．（4分）函数y=1-x中自变量x的取值范围是　 　．
12．（4分）分解因式：ab3﹣a3b＝　 　．
13．（4分）点P（﹣1，2022）关于x轴对称的点的坐标为 　 　．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　．
15．（4分）若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝　 　．
16．（4分）不等式组6-3x≥0x-22＞-2的解集是 　 　．
17．（4分）如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF＝1：2，则S△BCF：S▱ABCD＝　 　．

18．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 　 　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】

三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）
19．（6分）计算：（12）﹣1+2sin60°-12．
20．（8分）先化简，再求值：a2-2ab+b2a2-b2+ba+b，其中a＝2，b=-12．
21．（8分）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　 　人，在扇形统计图中，m的值是　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）如果sinA=45，AD＝BE＝5，连接AF，求AF的长度．

23．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数y2=k2x交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞k2x的解集．

24．（10分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
25．（12分）如图，在锐角△ABC中，AB＝BC，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AC＝4AE，DE=3时，求劣弧CD的长．

26．（16分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与详解
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给的四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（4分）﹣2022的倒数是（　　）
A．-12022 B．12022 C．﹣2022 D．2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是-12022．
故选：A．
2．（4分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（　　）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000039＝3.9×10﹣8．
故选：A．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a﹣b）2＝a2+b2
C．（﹣a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1 D．（a3）4＝a7
【分析】根据合并同类项运算法则判断A，根据完全平方公式判断B，根据平方差公式判断C，根据幂的乘方运算法则判断D．
【解答】解：A、原式＝2a2，故此选项不符合题意；
B、原式＝a2﹣2ab+b2，故此选项不符合题意；
C、原式＝a2﹣1，故此选项符合题意；
D、原式＝a12，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（4分）一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：∵360÷40＝9，
∴这个正多边形的边数是9．
故选：D．
5．（4分）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据各个图形的左视图和主视图分别判断即可．
【解答】解：由题知，A选项中正方体左视图和主视图都为正方形，
故A选项不符合题意；
B选项中圆柱体左视图为圆，主视图为长方形，
故B选项符合题意；
C选项中圆锥体左视图和主视图都为三角形，
故D选项不符合题意；
D选项中类球体左视图和主视图都为圆，
故D选项不符合题意；
故选：B．
6．（4分）已知方程组ax-by=4ax+by=2的解为x=2y=1，则2a﹣3b的值为（　　）
A．4 B．6 C．﹣6 D．﹣4
【分析】把原方程组的解代入方程组，求出a，b的值，再代入所求代数式即可．
【解答】解：把x=2y=1代入原方程组，
得2a-b=42a+b=2，
解得a=32b=-1．
2a﹣3b＝2×32-3×（﹣1）＝6．
故选：B．
7．（4分）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况．统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法错误的是（　　）
月用电量（度）
15
30
40
50
65
户数
1
2
4
2
1
A．方差是160 B．众数是40 C．平均数是40 D．中位数是40
【分析】根据加权平均数、众数、中位数、极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、这组数据的平均数（15+30×2+40×4+50×2+65）÷10＝40，
则方差是：110[（15﹣40）2+2（30﹣40）2+4（40﹣40）2+2（50﹣40）2+（65﹣40）2]＝165，
故本选项错误；
B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，正确；
C、根据A可得，平均数是40，正确；
D、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+40）÷2＝40，则中位数是40，正确；
故选：A．
8．（4分）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（　　）

A．60° B．55° C．50° D．40°
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴∠DCO＝35°，
∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
9．（4分）如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长是4cm，
∴AB＝BC＝AC＝1cm．
故选：A．
10．（4分）如图，已知A（12，y1），B（2，y2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时点P的坐标是（　　）

A．（72，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（52，0）
【分析】根据题意可以求得点A和点B的坐标，然后根据三角形三边关系，可以得到线段AP与线段BP之差的绝对值与线段AB的关系，然后根据图形作出合适的辅助线，即可求得满足条件的点P的坐标．
【解答】解：∵A（12，y1），B（2，y2）为反比例函数y=1x图象上的两点，
∴y1＝2，y2=12，
∵动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于点P′，当点P在点P′时，PA﹣PB＝AB达到最大值，
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
12k+b=22k+b=12，得k=-1b=52，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+52，
当y＝0时，x=52，
∴当线段AP与线段BP之差达到最大时点P的坐标是（52，0），
故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）
11．（4分）函数y=1-x中自变量x的取值范围是　x≤1　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，1﹣x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
12．（4分）分解因式：ab3﹣a3b＝　ab（b+a）（b﹣a）　．
【分析】首先提公因式ab，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：原式＝ab（b2﹣a2）＝ab（b+a）（b﹣a）．
故答案是：ab（b+a）（b﹣a）．
13．（4分）点P（﹣1，2022）关于x轴对称的点的坐标为 　（﹣1，﹣2022）　．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：点P（﹣1，2022）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2022），
故答案为：（﹣1，﹣2022）．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0有两个相等的实数根，则m的值是　±6　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝m2﹣4×1×9＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝m2﹣4×1×9＝0，
解得m＝±6，
故答案为±6．
15．（4分）若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝　a+b+c　．
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+c+a﹣b+a+b﹣c＝a+b+c；
故答案是：a+b+c．
16．（4分）不等式组6-3x≥0x-22＞-2的解集是 　﹣2＜x≤2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式6﹣3x≥0，得：x≤2，
解不等式x-22＞-2，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故答案为：﹣2＜x≤2．
17．（4分）如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF＝1：2，则S△BCF：S▱ABCD＝　1：6　．

【分析】设CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，则CD＝3a．利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题．
【解答】解：设CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，则CD＝3a．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3a，AB∥CF，
∴△CFE∽△ABE，
∴CFAB=CEAE=13，
∴S△EFCS△ABE=19，
∴S△ABE＝9S，
∴S△BCE＝3S，
∴S△BCF＝4S，
∴S平行四边形ABCD＝2•S△ABC＝24S，
∴S△BCF：S▱ABCD＝4：24＝1：6，
故答案为1：6．
18．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 　6.2　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）
19．（6分）计算：（12）﹣1+2sin60°-12．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2+2×32-23
＝2+3-23
＝2-3．
20．（8分）先化简，再求值：a2-2ab+b2a2-b2+ba+b，其中a＝2，b=-12．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a和b的值代入计算可得．
【解答】解：原式=(a-b)2(a+b)(a-b)+ba+b
=a-ba+b+ba+b
=aa+b，
当a＝2，b=-12时，
原式=22-12=43．
21．（8分）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　50　人，在扇形统计图中，m的值是　30%　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）首先用选舞蹈课的人数除以它占本次调查的学生总人数的百分率，求出本次调查的学生共有多少人；然后用选乐器课的人数除以本次调查的学生总人数，求出在扇形统计图中，m的值是多少即可；
（2）首先用本次调查的学生总人数乘参加绘画课、书法课的人数占总人数的百分率，求出参加绘画课、书法课的人数各是多少；然后根据参加绘画课、书法课的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）首先判断出在被调查的学生中，选修书法的有3名男同学，2名女同学，然后应用列表法，写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是多少即可．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人）
15÷50＝30%
答：本次调查的学生共有50人，在扇形统计图中，m的值是30%．

（2）50×20%＝10（人）
50×10%＝5（人）
．

（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，

男
男
男
女
女
男
/
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
/
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
/
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
/
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
（女，女）
/
所有等可能的情况有20种，所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则P（一男一女）=1220=35
答：所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是35．
故答案为：50、30%．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）如果sinA=45，AD＝BE＝5，连接AF，求AF的长度．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠CFB∠A=∠CAD=BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵sinA=45，AD＝BE＝5，
∴DE＝4，
由勾股定理得：AE=52-42=3，
∴AB＝3+5＝8，BF＝DE＝4，
∴AF=82+42=45．
23．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数y2=k2x交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞k2x的解集．

【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD的面积；
（3）根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2=k2x的图象经过A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y2=3x；
把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，
可得1=3k1+b-3=-k1+b，解得k1=1b=-2，
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；

（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，
∴D（2，0），OD＝2，
如图，过B作BE⊥x轴于点E，
∵B（﹣1，﹣3），
∴BE＝3，
∴S△BOD=12×OD×BE=12×2×3＝3；

（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，
所以k1x+b＞k2x的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．

24．（10分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
【分析】（1）根据购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，
30a+60b=93040a+90b=1320，
解得a=15b=8，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.8＝1584（元），
方案二的花费为：15×100+8×（60﹣100÷10×5）＝1580（元），
1584﹣1580＝4（元），1584＞1580，
答：学校选用方案二更节约钱，节约4元．
25．（12分）如图，在锐角△ABC中，AB＝BC，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AC＝4AE，DE=3时，求劣弧CD的长．

【分析】（1）连接OD，BD，由圆周角定理得到∠BDC＝90°，等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ABD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得OC＝2，然后根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，

∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°,
∵OC＝OD,
∴△COD是等边三角形,
∴CD＝OC,
∵DE=3,
∴AE=33DE=33×3=1,
∴AD＝CD＝2，
∴OC＝2,
∴劣弧CD的长为60⋅π×2180=23π．
26．（16分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据点C坐标和对称轴代入表达式即可得出；
（2）根据（1）写出M点坐标，求出直线CM表达式，求出E点坐标构造△EOC≌△BOC，结论即得证；
（3）分情况构造△PEO∽△ABC，根据线段比例关系即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c与y轴相交于点C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入可得：c＝﹣3，
又∵对称轴直线为x=-b2a=1，
∴b＝﹣2，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵对称轴为直线x＝1，
代入抛物线表达式得y＝1﹣2﹣3＝4，
即点M（1，﹣4），
设直线CM的表达式为y＝kx+n，
把点C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入解得k＝﹣1，n＝﹣3，
∴CM的表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点E在x轴上，即纵坐标y＝0，此时x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
由平面直角坐标系的可知：OE＝OC＝OB＝3，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴△EOC≌△BOC（SAS），
∴EC＝BC；
（3）存在，
∵点P在线段EM上，可设P（t，﹣t﹣3），
如图1所示，作PN⊥x轴于N，
∴PN＝t+3，EN＝OE﹣ON＝3+t，
由勾股定理可知PE=PN2+EN2=（t+3）2，BC=OA2+OB2=32+32=32，
又∵AB＝OA+OB＝4，
由（2）可知△EOC≌△BOC，
∴∠OEC＝∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
PEAB=OEBC，
即(t+3)24=332，
解得t＝﹣1，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2），
当△PEO∽△CBA时，
PEBC=OEAB，即(t+3)232=34，
解得t=-34，
即点P的坐标为（-34，-94），
综上P的坐标为（﹣1，﹣2）或（-34，-94）．