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九年级中考复习 二次函数知识点总结课件PPT
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这是一份九年级中考复习 二次函数知识点总结课件PPT，共25页。
1、二次函数的概念：一般的，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为0。二次函数的定义域为全体实数。2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的结构特征（1）等号左边使函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2（2）a、b、c是常数，，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项例题1、已知以x为自变量的二次函数y=（m-2）x2+m2-m-2的图像经过原点，则m=______2、若函数y=（ -m）x 是二次函数，则m的值为（ ）A B C - D 03、下列具有二次函数关系的是（ ）A 正方形的周长y与边长x B 速度一定时，路程s与时间tC 三角形的高一定时，面积y与底边长x D 正方形的面积与与边长x
4、若y+2与x2成正比例，且当自变量x为3时，函数值y为25，则这个二次函数的解析式是_______5、某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，，若销售单价每涨1元，则月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：（1）当销售价格定为每千克55元是，月销售利润为多少元？（2）设月销售价格为每千克x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式。（不必写x的取值范围）6、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）A． B． C． D．
二、二次函数的基本形式
1、二次函数基本形式y=ax2的性质a的绝对值越大，抛物线的开口越小
2、y=ax2+c的性质：上加下减
3、y=a（x-h）2的性质左加右减
4、y=a（x-h）2+k的性质
例题1、抛物线y=-6x2不具有的性质是（ ）A 开口向下 B 与y轴不相交 C 对称轴是y轴 D 最高点是坐标原点2、已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，则m的取值范围是（ ）A m＜-1 B m＜1 C m＞-1 D m＞-23、已知抛物线y=ax2（a＞0）过点A（-2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A y1＞0＞y2 B y2＞0＞y1 C y1＞y2＞0 D y2＞y1＞0 4、已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像可能是（ ） A B C D
5、二次函数的图像如图所示，则它的解析式为________,如果另一函数的图像与该图像关于x轴对称，那么它的解析式为_____________。6、如图，已知一条直线与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，如果∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，那么a的值为_______。 y C y=ax2 A B O x 7、 某函数图像是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（-2，8），（1）求这个函数的解析式（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积
8、如图，一座抛物线拱桥，拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米，现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，货箱长10米，宽6米，高2.55米（竹排与水平面持平）。问该货箱是否能顺利通过该桥？并说明理由。9、关于二次函数y=-3x2+4的图像，下列说法正确的是（ ）A 开口向上 B 经过点（-3，4） C 对称轴是直线x=2 D 与x轴有两个交点10、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为（ ） A B C D
A B
11、将二次函数y=x2-1的图像向上平移三个单位长度，得到的图像所对应的函数解析式是_______12、抛物线y=ax2+k与y=3x2的图像形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其函数解析式为______________13、已知二次函数y=-x2+2（m-1）x+2m-m2的图像关于y轴对称，则由此图像的顶点A和图像与x轴的两个交点B,C构成的△ABC的面积是________14、如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上。（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标（2）抛物线上是否存在一点M，使得△MAC ≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
y C B A O x
15、对于函数y=-2（x-m）2的图像，下列说法不正确的是（ ）A 开口向下 B 对称轴是直线x=m C 最大值为0 D 与y轴不相交16、已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（ ）A 3或6 B 1或6 C 1或3 D 4或617、已知二次函数y=3（x-a）2，若当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_____18、如图，直线L经过A（4，0），B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线与抛物线的交点为M（1）求直线L的解析式；（2）若 ，求抛物线的解析式
19、设A（-2，y1），B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________20、对于抛物线y= ，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（-1，3）；④x＞1是，y随x的增大而减小。其中正确结论的个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D 421、若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与抛物线y=x2-4x+3的图像关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为_____________22、如图，抛物线 平移得到抛物线m，抛物线m过点A（-6，0）和O（0，0），它的对称轴与抛物线 交于点Q，则图中阴影部分的面积为_________
三、二次函数图像的平移
1、平移步骤方法一：（1）将抛物线的解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定顶点坐标（h，k）（2）保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 向上k＞0（或向下k＜0）平移k个单位 向上k＞0（或向下k＜0）平移k个单位
向右h＞0（向左h＜0）平移h个单位
2、平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字“左加右减，上加下减”也可记为：左右平移在括号，上下平移在末梢，左正右负须牢记，上正下负错不了。方法二（1） 沿y轴平移，向上（下）平移m个单位， 变成 （或 ）（2） 沿x轴平移，向左（右）平移m个单位， 变成 （或 ）
23、把抛物线y=-x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_______________.24、把抛物线 的图像先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图像的解析式为y=x2-3x+5，则a+b+c=_______
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 ，后者通过配方可以得到前者 ，即 ，其中 ，
五、二次函数 图像的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称的描点画图。一般我们选取的五点为：顶点（h，k）、与y轴的交点（0，c）以及（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c）、与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。画草图时应抓住以下几点：开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点。
六、二次函数 的性质
1、当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为（ ， ）。当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大；当x= 时，y有最小值 。2、当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为（ ， ）。当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时，y随x的增大而减小；当x= 时，y有最大值 。
25、二次函数 的图像如图所示，下列结论错误的是（ ）A abc＜0 B a+c＜b C b2+8a＜4ac D 2a+b＞026、抛物线y=2x2+bx+c与y轴交于点C（0，1），过点C的直线MN∥x轴，且与抛物线的另一交点为D(-2，n)，则此抛物线的解析式为________________27、如图，抛物线 （a≠0）与x轴相交于A，B两点，对称轴为直线x=-1，点A的坐标为（-3，0）（1）求点B的坐标（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标②设点Q是线段AC上的动点，过点Q做QD⊥x轴，交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
x=-1 y A O B C
七、二次函数解析式的表示方法
1、一般式 （a、b、c为常数，a≠0）2、顶点式 （a、h、k为常数，a≠0）3、交点式 （a≠0，x1，x2为抛物线与x轴的交点的横坐标）注意：任意二次函数的解析式都可以化成一般式和顶点式的形式，但并非所有的二次函数都可以化成两根式的形式，只有抛物线与x轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式（两根式）表示，二次函数这三种形式可以互化。
八、二次函数的图像与各项系数之间的关系
1、二次项系数二次函数y=ax2+bx+c中，a为二次项系数，显然a≠0.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小；反之a的值越小，开口越大（2）当a＜0时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大；反之a的值越小，开口越小总结起来，a决定了抛物线的开口方向和大小，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口大小2、一次项系数在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴（1）在a＞0的情况下当b＞0时， ＜0，对称轴在y轴的左侧
当b=0时， =0，抛物线的对称轴就是y轴当b＜0时， ＞0，抛物线的对称轴在y轴右侧（2）在a＜0的情况下，结论正好与上述相反。总结起来，在a确定的情况下，b决定了抛物线对称轴的位置。ab的符号的判定，对称轴x= 在y轴左边，ab＞0，反之，在y轴右边，ab＜0，概括的说就是左同右异。3、常数项c（1）当c＞0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴的交点的纵坐标为正（2）当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴的交点的纵坐标为0（3）当c＜0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴的交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a、b、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。
二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数的解析式，通常用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况1、已知抛物线上的三点的坐标，一般选用一般式2、已知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式例题： y28、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M 在（ ）A 第一象限 B 第二象限 xC 第三象限 D 第四象限
1、二次函数的概念：一般的，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为0。二次函数的定义域为全体实数。2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的结构特征（1）等号左边使函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2（2）a、b、c是常数，，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项例题1、已知以x为自变量的二次函数y=（m-2）x2+m2-m-2的图像经过原点，则m=______2、若函数y=（ -m）x 是二次函数，则m的值为（ ）A B C - D 03、下列具有二次函数关系的是（ ）A 正方形的周长y与边长x B 速度一定时，路程s与时间tC 三角形的高一定时，面积y与底边长x D 正方形的面积与与边长x
4、若y+2与x2成正比例，且当自变量x为3时，函数值y为25，则这个二次函数的解析式是_______5、某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，，若销售单价每涨1元，则月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：（1）当销售价格定为每千克55元是，月销售利润为多少元？（2）设月销售价格为每千克x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式。（不必写x的取值范围）6、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）A． B． C． D．
二、二次函数的基本形式
1、二次函数基本形式y=ax2的性质a的绝对值越大，抛物线的开口越小
2、y=ax2+c的性质：上加下减
3、y=a（x-h）2的性质左加右减
4、y=a（x-h）2+k的性质
例题1、抛物线y=-6x2不具有的性质是（ ）A 开口向下 B 与y轴不相交 C 对称轴是y轴 D 最高点是坐标原点2、已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，则m的取值范围是（ ）A m＜-1 B m＜1 C m＞-1 D m＞-23、已知抛物线y=ax2（a＞0）过点A（-2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A y1＞0＞y2 B y2＞0＞y1 C y1＞y2＞0 D y2＞y1＞0 4、已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像可能是（ ） A B C D
5、二次函数的图像如图所示，则它的解析式为________,如果另一函数的图像与该图像关于x轴对称，那么它的解析式为_____________。6、如图，已知一条直线与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，如果∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，那么a的值为_______。 y C y=ax2 A B O x 7、 某函数图像是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（-2，8），（1）求这个函数的解析式（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积
8、如图，一座抛物线拱桥，拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米，现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，货箱长10米，宽6米，高2.55米（竹排与水平面持平）。问该货箱是否能顺利通过该桥？并说明理由。9、关于二次函数y=-3x2+4的图像，下列说法正确的是（ ）A 开口向上 B 经过点（-3，4） C 对称轴是直线x=2 D 与x轴有两个交点10、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为（ ） A B C D
A B
11、将二次函数y=x2-1的图像向上平移三个单位长度，得到的图像所对应的函数解析式是_______12、抛物线y=ax2+k与y=3x2的图像形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其函数解析式为______________13、已知二次函数y=-x2+2（m-1）x+2m-m2的图像关于y轴对称，则由此图像的顶点A和图像与x轴的两个交点B,C构成的△ABC的面积是________14、如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上。（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标（2）抛物线上是否存在一点M，使得△MAC ≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
y C B A O x
15、对于函数y=-2（x-m）2的图像，下列说法不正确的是（ ）A 开口向下 B 对称轴是直线x=m C 最大值为0 D 与y轴不相交16、已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（ ）A 3或6 B 1或6 C 1或3 D 4或617、已知二次函数y=3（x-a）2，若当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_____18、如图，直线L经过A（4，0），B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线与抛物线的交点为M（1）求直线L的解析式；（2）若 ，求抛物线的解析式
19、设A（-2，y1），B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________20、对于抛物线y= ，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（-1，3）；④x＞1是，y随x的增大而减小。其中正确结论的个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D 421、若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与抛物线y=x2-4x+3的图像关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为_____________22、如图，抛物线 平移得到抛物线m，抛物线m过点A（-6，0）和O（0，0），它的对称轴与抛物线 交于点Q，则图中阴影部分的面积为_________
三、二次函数图像的平移
1、平移步骤方法一：（1）将抛物线的解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定顶点坐标（h，k）（2）保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 向上k＞0（或向下k＜0）平移k个单位 向上k＞0（或向下k＜0）平移k个单位
向右h＞0（向左h＜0）平移h个单位
2、平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字“左加右减，上加下减”也可记为：左右平移在括号，上下平移在末梢，左正右负须牢记，上正下负错不了。方法二（1） 沿y轴平移，向上（下）平移m个单位， 变成 （或 ）（2） 沿x轴平移，向左（右）平移m个单位， 变成 （或 ）
23、把抛物线y=-x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_______________.24、把抛物线 的图像先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图像的解析式为y=x2-3x+5，则a+b+c=_______
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 ，后者通过配方可以得到前者 ，即 ，其中 ，
五、二次函数 图像的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称的描点画图。一般我们选取的五点为：顶点（h，k）、与y轴的交点（0，c）以及（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c）、与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。画草图时应抓住以下几点：开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点。
六、二次函数 的性质
1、当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为（ ， ）。当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大；当x= 时，y有最小值 。2、当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为（ ， ）。当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时，y随x的增大而减小；当x= 时，y有最大值 。
25、二次函数 的图像如图所示，下列结论错误的是（ ）A abc＜0 B a+c＜b C b2+8a＜4ac D 2a+b＞026、抛物线y=2x2+bx+c与y轴交于点C（0，1），过点C的直线MN∥x轴，且与抛物线的另一交点为D(-2，n)，则此抛物线的解析式为________________27、如图，抛物线 （a≠0）与x轴相交于A，B两点，对称轴为直线x=-1，点A的坐标为（-3，0）（1）求点B的坐标（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标②设点Q是线段AC上的动点，过点Q做QD⊥x轴，交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
x=-1 y A O B C
七、二次函数解析式的表示方法
1、一般式 （a、b、c为常数，a≠0）2、顶点式 （a、h、k为常数，a≠0）3、交点式 （a≠0，x1，x2为抛物线与x轴的交点的横坐标）注意：任意二次函数的解析式都可以化成一般式和顶点式的形式，但并非所有的二次函数都可以化成两根式的形式，只有抛物线与x轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式（两根式）表示，二次函数这三种形式可以互化。
八、二次函数的图像与各项系数之间的关系
1、二次项系数二次函数y=ax2+bx+c中，a为二次项系数，显然a≠0.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小；反之a的值越小，开口越大（2）当a＜0时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大；反之a的值越小，开口越小总结起来，a决定了抛物线的开口方向和大小，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口大小2、一次项系数在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴（1）在a＞0的情况下当b＞0时， ＜0，对称轴在y轴的左侧
当b=0时， =0，抛物线的对称轴就是y轴当b＜0时， ＞0，抛物线的对称轴在y轴右侧（2）在a＜0的情况下，结论正好与上述相反。总结起来，在a确定的情况下，b决定了抛物线对称轴的位置。ab的符号的判定，对称轴x= 在y轴左边，ab＞0，反之，在y轴右边，ab＜0，概括的说就是左同右异。3、常数项c（1）当c＞0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴的交点的纵坐标为正（2）当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴的交点的纵坐标为0（3）当c＜0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴的交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a、b、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。
二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数的解析式，通常用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况1、已知抛物线上的三点的坐标，一般选用一般式2、已知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式例题： y28、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M 在（ ）A 第一象限 B 第二象限 xC 第三象限 D 第四象限
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