山东省泰安市2022届高三二模数学试题（含答案）

这是一份山东省泰安市2022届高三二模数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知的展开式中，含项的系数为4，则实数a＝（ ）
A．2B．4C．－2D．－4
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象，如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期是B．函数在上单调递减
C．曲线关于直线对称D．函数在上的最小值是－1
6．已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（ ）
A．B．C．3D．4
8．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变
10．已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若，则D．若，则的外接圆半径为
11．已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将△AMN沿MN折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角
B．在折起过程中，存在某位置使BN⊥平面
C．当四棱体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的正切值为
D．当二面角的余弦值为时，的面积最大
12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意的，存在，使得
B．若是的极值点，则在上单调递减
C．函数的最大值为
D．若有两个零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列，则______．
14．已知在边长为4的等边△ABC中，，则______．
15．已知是奇函数，且当时，．若，则a＝______．
16．已知以C为圆心的圆．若直线2ax＋by－2＝0（a，b为正实数）平分圆C，则的最小值是______；设点，若在圆C上存在点N，使得∠CMN＝45°，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A的角平分线交BC于点D．
（1）求B；
（2）若，，求b．
18．（12分）
已知数列单调递增，其前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为．
19．（12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M为BC中点，．
（1）求证：平面DMN⊥平面PAD；
（2）当取何值时，二面角B－DN－M的余弦值为．
20．（12分）
为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．
（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；
（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？
21．（12分）
已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知函数．当m＝1时，曲线在点处的切线与直线x－y＋1＝0垂直．
（1）若的最小值是1，求m的值；
（2）若，是函数图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方程在上有唯一实数根．
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数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：
二、选择题：
三、填空题：
13．20 14．10 15．－3 16．（2分），（3分）
四、解答题：
17．（10分）
解：（1）因为，所以，
整理得，所以
因为，所以，所以，
所以
（2）在△ABD中，，所以，
所以，所以，所以，
所以△ABC是等腰三角形，且a＝c，
所以．
18．（12分）
解：（1）因为，所以当时，，
所以当时，
整理得，
因为数列单调递增，且，所以当时，，，
所以当时，，即
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以，．
（2），所以
设，则，
所以
所以
所以．
19．（12分）
解：（1）证明：∵底面ABCD为菱形，∠DCB＝∠DAB＝60°
∴△DBC为正三角形
∵M为BC中点
∴DM⊥BC
又BC∥AD
∴DM⊥AD
∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD
∴DM⊥PD
又，PD，平面PAD
∴DM⊥平面PAD
又平面DMN，∴平面DMN⊥平面PAD
（2）由（1）知，DA，DM，DP两两垂直，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．
设AD＝2a，，则，，，，，．
∴，
∵，∴
∴，
设为平面DNM的一个法向量
则，∴
取，则，∴
连接AC，易证AC⊥平面DNB
∴为平面DNB一个法向量．
∴，解得
∴当时，二面角B－DN－M的余弦值为．
20．（12分）
解：（1）设A＝“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件A发生的所有情况有
①符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为
②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为
③符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为
所以
（2）由题知，强化训练后，每道非解答题入选的概率为，每道解答题入选的概率为，则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．
用X表示教师甲在3轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则．
∴
∴教师甲能进入复赛
21．（12分）
解：（1）由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
（2）假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
22．（12分）
解：由题知，的定义域为R，，
当m＝1时，，
∵当m＝1时，曲线在点处的切线与直线x－y＋1＝0垂直
∴n＋1＝－1，∴n＝－2，∴，
（1）当时，，在上单调递减
又，∴当时，，不合题意．
当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴
又，当时，，∴，∴m＝2
（2）证明：
令，则
∴单调递增
又，
令，则
令，解得x＝0，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴，∴当时，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴在上有唯一零点
∴方程在上有唯一实数根．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
B
D
C
D
A
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ABD
ACD
BD