高考复习《向量在解三角形中的应用》课时作业5.3

这是一份高考复习《向量在解三角形中的应用》课时作业5.3，共8页。
1．(2020·河南非凡联盟联考)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(2，t)，则|eq \(CD,\s\up6(→))|＝( )
A.eq \r(5) B．5
C．2eq \r(5) D．20
A 由题意知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(CD,\s\up6(→))，∴1×2＋2t＝0，
∴t＝－1，∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋（－1）2)＝eq \r(5).
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
B a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.
3．(2020·豫南九校联考)已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则eq \f(|2a－b|,a·（a＋b）)等于( )
A．－eq \f(5,3) B．1
C．2 D.eq \f(5,4)
B ∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0，5)，
a＋b＝(3，1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，
|2a－b|＝5，∴eq \f(|2a－b|,a·（a＋b）)＝eq \f(5,5)＝1，故选B.
4．(2020·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
D 在△ABC中，cs∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)
＝eq \f(9＋4－10,2×3×2)＝eq \f(1,4)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs∠BAC＝3×2×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2).
5．(2019·哈尔滨质检)已知平面向量a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝eq \f(1,2)|b|，则向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
C 设a与b的夹角为θ.
因为|a|＝eq \f(1,2)|b|，所以|b|＝2|a|.
因为(a－2b)⊥(3a＋b)，
所以(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2
＝3|a|2－5|a||b|cs θ－2|b|2
＝3|a|2－5|a|×2|a|cs θ－2(2|a|)2
＝－5|a|2－10|a|2cs θ＝0，
解得cs θ＝－eq \f(1,2).
又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(2π,3).故选C.
6．(2020·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
C 因为(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，
即eq \(CB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
因为eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，即|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以△ABC是等腰三角形，故选C.
7．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，m)．若a∥b，则a·b＝________．
解析 向量a＝(2，4)，b＝(－1，m)．
若a∥b，2m＝4×(－1)，得m＝－2.
a·b＝－2＋4m＝－10.
答案 －10
8．(2020·银川质检)已知向量a，b的夹角为eq \f(3π,4)，|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
解析 a·(a－2b)＝a2－2a·b
＝2－2×eq \r(2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝6.
答案 6
9．(2019·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cs〈a，b〉＝________．
解析 由题意得a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，|b|＝eq \r(（－8）2＋62)＝10.
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2\r(2)×10)＝－eq \f(\r(2),10).
答案 －eq \f(\r(2),10)
10．(2020·巢湖质检)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________________．
解析 a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3λ2＋4λ>0，,2λ－6λ2≠0，))解得λ|eq \(BC,\s\up6(→))|等价于|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|>|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|，因模为非负数，故不等号两边平方得eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs θ>eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2－2|eq \(AC,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|cs θ(θ为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角)，整理得4|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs θ>0，故cs θ>0，即θ为锐角．当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为锐角，可得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))>0，则有|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))>|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，即有|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2>|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|2，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2>|eq \(BC,\s\up6(→))|2，故|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|>|eq \(BC,\s\up6(→))|，所以“eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为锐角”是“|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|>|eq \(BC,\s\up6(→))|”的充分必要条件．故选C.
15.
(一题多解)(2019·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))，则eq \f(AB,AC)的值是________．
解析
法一 如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点．又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，所以6eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)(AB＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(3,2)eq \(AC2,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB2,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，整理可得eq \(AB2,\s\up6(→))＝3eq \(AC2,\s\up6(→))，所以eq \f(AB,AC)＝eq \r(3).
法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．
设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,2)，\f(b,2))).
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(lAD：y＝\f(b,a＋3)x，,lCE：y＝\f(b,a－1)（x－1）))⇒Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,4)，\f(b,4))).
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))，
∴(3，0)·(a，b)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,4)，\f(b,4)))·(a－1，b)，
即3a＝6eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(（a＋3）（a－1）,4)＋\f(b2,4)))，
∴a2＋b2＝3，∴AC＝eq \r(3).∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
答案 eq \r(3)
16．(2020·河北衡水模拟)已知在△ABC所在平面内有两点P，Q，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，S△APQ＝eq \f(2,3)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
解析 由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0知，P是AC的中点，由eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，可得eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))，即eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \(BQ,\s\up6(→))，即eq \(QA,\s\up6(→))＝2eq \(BQ,\s\up6(→))，∴Q是AB边靠近B的三等分点，
∴S△APQ＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×S△ABC＝eq \f(1,3)S△ABC，
∴S△ABC＝3S△APQ＝3×eq \f(2,3)＝2.
∵S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin A＝eq \f(1,2)×4×2×sin A＝2，
∴sin A＝eq \f(1,2)，∴cs A＝±eq \f(\r(3),2)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·cs A＝±4eq \r(3).
答案 ±4eq \r(3)