高中4.2 等差数列教学演示课件ppt

这是一份高中4.2 等差数列教学演示课件ppt，共54页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，内容索引，提示倒序相加法，解得n＝15，课堂小结，基础巩固，故m＝101，综合运用等内容，欢迎下载使用。
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中 三个求另外两个.
同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和.
一、等差数列前n项和公式的推导
二、等差数列中与前n项和有关的基本运算
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：花，　　　　　　 花.深浅，　　　 　　 芬葩.凝为雪，　　 　　 错为霞.莺和蝶到，　 　　 苑占宫遮.已迷金谷路，　 　 频驻玉人车.芳草欲陵芳树， 　 东家半落西家.愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯.从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
提示　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案.
问题2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？
提示　方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，
方法二　(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.
问题3　对于一般的等差数列 ，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.
等差数列的前n项和公式
注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
例1　在等差数列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.
反思感悟　等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝ 结合使用.
跟踪训练1　在等差数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
解　设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
(2)a3＋a15＝40，求S17；
问题4　等差数列前n项和Sn＝na1＋ 是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？
例2　若数列 的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列 的通项公式，并判断数列 是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
解　当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
延伸探究　若数列 的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列 的通项公式，并判断数列 是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
解　∵Sn＝2n2－3n－1， ①当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2，
①－②得an＝Sn－Sn－1
经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，
反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.(3)验证a1与an的关系：①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
解　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.又a1＝1不满足an＝2n，
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
1.知识清单：(1)等差数列前n项和公式的推导过程.(2)等差数列前n项和有关的基本运算.(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法.3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于
解析　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
2.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于A.18 B.27 C.36 D.45
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为
4.数列 的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝_________________.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；当n≥2且n∈N*时，
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于A.49 B.42 C.35 D.28
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝7，am＋am－1＝73(m≥3)，Sm＝2 020，则m的值为A.100 B.101 C.200 D.202
解析　a1＋am＋a2＋am－1＝80，由等差数列的性质可知，a1＋am＝a2＋am－1，故a1＋am＝40.
3.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于A.18 B.20 C.22 D.24
解析　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
4.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于A.160 D.220
解析　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，
5.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为A.7 B.8C.9 D.10
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.
6.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于A.－1 B.3 C.5 D.7
解析　由题意知a1＋(n－1)×2＝11， ①
由①②解得a1＝3或a1＝－1.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝_____.
解析　因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
8.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则 ＝____.
解析　设数列{an}的公差为d，
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，
9.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；
解　设数列{an}的首项为a1，公差为d.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)若Sn＝242，求n.
即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.
解　设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，
∴a1＝－1，d＝3.
解　由(1)知an＝3n－4，
11.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为A.765 B.665 C.763 D.663
解析　∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×70，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求数列{an}的通项公式；
∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0，∴a2