2022年小升初专题精炼 专题10《盈亏问题》

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专题10 盈亏问题
一．选择题
1．（2020•衢州）为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，加强植树造林，某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路（不相交）的两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵，若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（　　）
A．8500棵 B．12500棵 C．12596棵 D．13000棵
【专题】应用意识．
【思路引导】树苗两次的多少完全是由距离的变换带来的，所以一共相差2754×4+396×5的路程，每段的长度相差为5﹣4＝1，所以一共相差（2754×4+396×5）÷1的段数，然后因为两端也要种树，一共两条路，所以加上1×4，根据此解答即可。
【完整解答】解：（2754×4+396×5）÷（5﹣4）+1×4
＝11016+1980+4
＝13000（棵）
故选：D。
【考察注意点】本题的关键是要考虑到植树问题中两端都要种，并且是两条路。
2．（2020•保德县）有一段木头用一根绳子来量，绳子多出150公分，将绳子对折后量，又短了35公分。问这段木头有多长？（　　）
A．220 B．250 C．320 D．360
【专题】综合判断题；推理能力．
【思路引导】木头的长度比绳子长度的一半长35公分，所以木头长度的2倍比绳子的长度长了70公分，即2个木头的长度减去绳子长度就是70公分，1个木头的长度加上150公分就是绳子的长度，所以木头的长度减去150公分就是70公分，据此解答即可。
【完整解答】解：150+70＝220（公分）
答：这段木头长220公分。
故选：A。
【考察注意点】
明确1段木头的长度比绳子短150公分以及2段木头的长度比绳子长70公分是解题的关键。
3．（2019•衡阳模拟）毛毛和小兵在同一个商店买同一种练习本，毛毛买了6本，小兵买了4本，毛毛比小兵多付了8角钱．每本练习本的价格是（　　）
A．3角 B．4角 C．5角 D．6角
【专题】传统应用题专题．
【思路引导】毛毛买了6本，小兵买了4本，则毛毛比小兵多买了6﹣4＝2本，又毛毛比小兵多付了8角钱，即买两本练习本的钱数是8角，根据除法的意义可知，每本的价格是8÷2＝4角．
【完整解答】解：8÷（6﹣4）
＝8÷2，
＝4（角）．
答：每本练习本的价格是4角．
故选：B．
【考察注意点】在求出毛毛比小兵多买本数的基础上，根据毛毛多花的钱数用除法求得是完成本题的关键．
4．（2017•长沙）美猴王带着蟠桃回到花果山分给众猴，先分给3只老猴各6个，每只小猴4个，发现还有4只小猴分不到，于是收回重新分，3只老猴各5个，每只小猴3个，可是还剩下12个，那么花果山共有（　　）只猴．
A．24 B．25 C．26 D．28
【思路引导】设花果山共有x只猴，则小猴有（x﹣3）只．根据“先分给3只老猴各6个，每只小猴4个，发现还有4只小猴分不到”可知，一共有桃子6×3+（x﹣3）×4﹣4×4个桃子．根据“只老猴各5个，每只小猴3个，可是还剩下12个”可知，一共有桃子5×3+（x﹣3）×3+12个桃子．根据桃子总个数不变即可列方程解答．
【完整解答】解：设花果山共有x只猴．
6×3+（x﹣3）×4﹣4×4＝5×3+（x﹣3）×3+12
18+4x﹣12﹣16＝15+3x﹣9+12
x＝28
答：花果山共有28只猴．
故选：D．
【考察注意点】此类题最好是用方程解答，设其中的一个量为未知数，另一个数也用未知数表示，根据题意，找出数量间的相等关系式，列出方程，解答即可．
5．（2017•长沙）甲乙二人买同一种杂志，甲买一本差2角8分，乙买一本差2角6分，而他俩的钱合起来买一本还剩2角6分，那么这种杂志每本价钱是（　　）
A．1元 B．7角 C．8角 D．9角
【专题】传统应用题专题．
【思路引导】假设甲、乙两人合买2本，则共缺0.28+0.26＝0.54（元），现在他们的钱合起来买一本还剩0.26元，所以一本应该是0.26+0.54＝0.80（元）．
【完整解答】解：2角8分＝0.28元，2角6分＝0.26元．
0.28+0.26+0.26＝0.8（元）＝8角
答：这种杂志每本价钱是0.8元．
故选：C．
【考察注意点】本题属于盈亏问题，对于此类问题，一般采用假设法求解．
二．填空题
6．（2021秋•平罗县期末）把一袋糖分给一群小朋友。每人分5颗糖，余2颗；每人分6颗糖，少11颗。请你算一算有 　13　个小朋友，　67　颗糖。
【专题】应用意识．
【思路引导】盈亏问题一般解答方法“盈亏总额（总差额）÷每人两次分配数的差＝人数；”据此先求出人数，再计算糖的颗数。
【完整解答】解：（11+2）÷（6﹣5）
＝13÷1
＝13（人）
13×5+2＝67（颗）
答：有13个小朋友，67颗糖。
故答案为：13，67。
【考察注意点】把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有剩余（简称“盈”），每人多分，则物品不足（简称“亏”），凡是研究这一类算法的问题一般叫做盈亏问题。盈亏问题的解题关键是确定盈亏总和（也称总差额）与两次分配人数的差。其基本公式是：盈亏总额（总差额）÷
每人两次分配数的差＝人数；盈亏问题的几种情形：（1）一盈一亏：盈亏总额＝盈数+亏数 （2）两盈：盈亏总额＝大盈数﹣小盈数（3）两亏：盈亏总额＝大亏数﹣小亏数 （4）一不盈不亏，另一盈或亏：盈亏总额＝盈数或亏数。
7．（2021春•青神县期末）兴趣小组活动，老师分给学生树叶。如果每人分5片，则差3片。如果每人分7片，则差25片。学生一共有 　11　人。
【专题】应用意识．
【思路引导】如果每人分5片，则差3片，如果每人分7片，则差25片，两种分法树叶的总差额是：25﹣3＝22（片），每份的差额是：7﹣5＝2（片），所以学生一共有：22÷2＝11（人）。
【完整解答】解：（25﹣3）÷（7﹣5）
＝22÷2
＝11（人）
答：学生一共有11人。
故答案为：11。
【考察注意点】本题主要考查盈亏问题。盈亏问题的解题思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数。
8．（2021•五华区开学）老师有一堆糖果要分给小朋友，如果每人分7颗剩5颗，如果每人分8颗刚好分完，一共有 　40　颗糖。
【专题】应用意识．
【思路引导】根据盈亏问题公式：人数＝总量差÷两次分的数量差，代入数值计算出人数，再根据每人分8颗刚好分完求出总数量即可。
【完整解答】解：人数为：
（5+0）÷（8﹣7）
＝5÷1
＝5（人）
糖的数量：
8×5＝40（颗）
答：一共有40颗糖。
故答案为：40。
【考察注意点】本题主要考查了盈亏问题，熟记盈亏问题公式是本题解题的关键。
9．（2021•赛罕区）（1）幼儿园王老师，把一盆草莓分给几个小朋友，若每人分4个，则多两个；若每人分5个，则差3个。设分给x个小朋友，则草莓的数量可以表示为 　（4x+2）　个，还可以表示为 　（5x﹣3）　个。
（2）如果x＝2，那么x2﹣x3＝　1　。
【专题】运算能力；应用意识．
【思路引导】（1）根据：草莓的数量＝4×人数+2或草莓的数量＝5×人数﹣3，由此解答即可。
（2）把x＝2代入含字母的式子x2﹣x3中，进而求出式子的数值。
【完整解答】解：（1）设分给x个小朋友，则草莓的数量可以表示为（4x+2）个，还可以表示为（5x﹣3）个。
（2）当x＝2时，
x2﹣x3
＝×（2×2）﹣×（2×2×2）
＝2﹣1
＝1
故答案为：（4x+2），（5x﹣3）；1。
【考察注意点】（1）解答此题的关键是，根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，再结合所求的问题，即可得出答案。
（2）解决此题关键是知道x2表示两个x相乘，x3表示三个x相乘，进而把字母表示的数据代入式子，求得式子的数值即可。
10．（2021春•福清市期中）有1包糖果，无论是平均分给2个人还是5个人，都正好剩下1块；如果平均分给3个人，那么正好分完。这包糖果至少有　21　块。
【专题】小升初与竞赛专题；能力层次．
【思路引导】根据题中所说的平均分给2人和5人，都正好剩下1块，说明总个数是2和5的最小公倍数加1，这样得到的是11块，但是不符合平均分给3个人正好分完，所以还需要同时满足3的倍数，这样就需要把2和5的最小公倍数再扩大，这样可以得到满足条件的数最少是21块。
【完整解答】解：2×5+1＝11（块）
11÷3＝3（块）.......2（块）
2×5×2+1＝21（块）
答：这包糖果至少有21块。
故答案为：21。
【考察注意点】本题考查了最小公倍数问题，出错的地方是容易忽略满足2和5的最小公倍数加1，同时还得是3的倍数。
三．应用题
11．（2021秋•娄星区期末）小华从家到学校，先以每分钟走90米的速度走了2分钟，她估算了一下，以这个速度到学校将迟到3分钟，于是在接下来的路程中，她每分钟走120米，结果提早了3分钟到校。小华家到学校的距离是多少米？
【专题】应用意识．
【思路引导】列方程解答，设正常用时x分钟，用小华每分钟走90米的速度乘时间（x+3）分钟，就是小华家到学校的距离，小华以每分钟走90米的速度走了2分钟走的路程是（90×2）米，再加上120乘（x﹣2﹣3）分钟，也是小华家到学校的距离，据此列方程，解方程即可解答。
【完整解答】解：设正常用时x分钟，由题意得：
90×（x+3）＝90×2+120×（x﹣2﹣3）
90x+270＝180+120x﹣600
30x＝690
x＝23
所以小华家到学校的距离是：
90×（23+3）
＝90×26
＝2340（米）
答：小华家到学校的距离是2340米。
【考察注意点】明确小华家到学校的距离不变，据此列方程，解方程解答此题即可。
12．（2021秋•西峡县期中）学校准备了一笔钱，用来买笔记本。如果买30本，还剩下120元，如果买35本，还剩下20元，那么每个笔记本多少钱？
【专题】应用题；数据分析观念．
【思路引导】根据题意求出两次购物的总差额和两次购物的笔记本数量差，进而求出每本笔记本的单价，据此解答。
【完整解答】解：120﹣20＝100（元）
35﹣30＝5（本）
100÷5＝20（元）
答：那么每个笔记本20元。
【考察注意点】盈亏问题的解题思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个数相除，就可求出总份数，然后再求出物品数；基本关系为：总差额÷每份的差额＝总份数。
13．（2021•长沙开学）“植树节”那天，甲班派男、女生共12名同学去取树苗，男同学每人拿3棵，女同学每人拿2棵，正好全部取完：如果男、女人数调换一下，则还差2棵不能取回，原来男、女生各有多少人？
【专题】解题思想方法；推理能力．
【思路引导】根据题意可知，本题的数量关系：男同学每人拿3棵×原来的男生人数+女同学每人拿2棵×原来的女生人数＝男同学每人拿3棵×后来的男生人数+女同学每人拿2棵×后来的女生人数+没拿回的2棵，可设原来男生有x人，则女生原来有（12﹣x）人，据此数量关系可列方程解答。
【完整解答】解：设男生有x人，则女生有（12﹣x）人
3x+（12﹣x）×2＝3（12﹣x）+2x+2
3x+24﹣2x＝36﹣3x+2x+2 x+2
x+24＝38﹣x
2x＝14
x＝7
12﹣7＝5（人）
答：原来男生有7人，原来女生有5人。
【考察注意点】.本题是较复杂的问题，解决本题的重点是根据树苗的总数不变，找出题目中的数量关系，再列方程解答.
14．（2021春•浑源县期中）一年一班举行联欢会，买了18个气球。如果给男生每人发1个，就多出1个气球。如果给女生每人发1个，还少2个气球。一年一班男生有多少人，女生有多少人？
【专题】应用题；运算能力．
【思路引导】由已知条件“如果给男生每人发1个，就多出1个气球”，可知男生有18﹣1＝17（个）；由已知条件“如果给女生每人发1个，还少2个气球”可知女生有18+2＝20（人），据此解答。
【完整解答】解：18﹣1＝17（人）
18+2＝20（人）
答：一年一班男生有17人，女生有20人。
【考察注意点】此题考查学生分析问题的能力和灵活做题的能力。
15．（2021春•淮安期中）少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵。参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？
【专题】应用题；数据分析观念．
【思路引导】根据题意“如果每人种5棵，则剩下13棵”，可知多了13棵树；由“每人种7棵，则差21棵”可知少了21棵，由此可知：如果每人多种7﹣5＝2（棵），就会多出13+21＝34（棵），因此，人数为：34÷2＝17（人），树有17×5+13＝98（棵），据此列式解答。
【完整解答】解：7﹣5＝2（棵）
13+21＝34（棵）
人数：34÷2＝17（人）
树：17×5+13
＝85+13
＝98（棵）
答：参加植树的少先队员有17人，这批树有98棵。
【考察注意点】此题解答的关键是根据关系式：（盈数+亏数）÷两次分物数量的差＝分物的份数，求出参加植树的人数，进而求出树的棵数。
16．（2021•迁安市）猴子们分桃子，如果每只猴子分3个，就剩余12个桃子，如果每只猴子分5个，又缺4个桃子。问有多少只猴子？多少个桃子？
（各注：“盈不足”问题源于中国古代数学经典《九章算术》）
【专题】应用意识．
【思路引导】根据盈亏问题公式“（盈+亏）÷两次分配差＝分配的份数”解答。
【完整解答】解：（12+4）÷（5﹣3）
＝16÷2
＝8（只）
8×3+12
＝24+12
＝36（个）
答：有8只猴子，36个桃子。
【考察注意点】把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有剩余（简称“盈”），每人多分，则物品不足（简称“亏”），凡是研究这一类算法的问题一般叫做盈亏问题。盈亏问题的解题关键是确定盈亏总和（也称总差额）与两次分配人数的差。其基本公式是：盈亏总额（总差额）÷每人两次分配数的差＝人数盈亏问题的几种情形：（1）一盈一亏：盈亏总额＝盈数+亏数 （2）两盈：盈亏总额＝大盈数﹣小盈数（3）两亏：盈亏总额＝大亏数﹣小亏数（4）一不盈不亏，另一盈或亏：盈亏总额＝盈数或亏数。
17．（2021•宁波模拟）甲、乙两个代表团乘车去参观某市博物馆，每辆车可乘36人。两个代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
【专题】压轴题；应用意识．
【思路引导】甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36﹣11＝25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。（11×25）÷36＝7……23，即拍完了7个卷后最后一个胶卷还要拍23张，还可拍36﹣23＝13（张）。
【完整解答】解：甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11，
36﹣11＝25（人）
乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25，
（11×25）÷36
＝275÷36
＝7……23
36﹣23＝13（张）
答：相机里的胶卷还可拍13张。
【考察注意点】这道题本身并不是很复杂，关键是要帮助学生去理解题意，把题意转化成常规的余数问题就很简单了。可以这么说：甲数除以36 余11，乙数除以36余25，问甲乙两数的积除以36 余几。
四．解答题
18．（2020秋•句容市期末）用一根固定长度的铁丝去围一些同样大小的正方形卡片，结果如下图。围一个正方形卡片一圈，铁丝还多出12厘米，围2个正方形卡片一圈，铁丝还多出4厘米。这根铁丝的长度是多少厘米？

【专题】应用意识．
【思路引导】根据题意：等量关系为：12+1个正方形卡片周长＝4+2个正方形卡片周长，设正方形卡片的边长为x厘米，列方程即可解决。
【完整解答】解：设正方形卡片的边长为x厘米。
12+4x＝4+6x
2x＝8
x＝4
12+4×4＝28（厘米）
答：这根铁丝的长度是28厘米。
【考察注意点】解题关键是要读懂两种围法中铁丝的长度是相等的，根据此等量关系，列出方程。
19．（2021春•涟水县期中）少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵．参加植树的有多少人？共有树苗多少棵？
【专题】传统应用题专题．
【思路引导】由“如果每人种5棵，则剩下13棵；”，说明多了13棵；由“若每人种7棵，则差21棵”，说明少了21棵．由此可知，如果每人多植7﹣5＝2棵，就会多出13+21＝34（棵），因此，人数为34÷2＝14（人），树苗棵数为17×5+13，解决问题．
【完整解答】解：参加植树的有：
（13+21）÷（7﹣5）
＝34÷2
＝17（人）
共用树苗：
17×5+13
＝85+13
＝98（棵）
答：有17人参加植树，共有树苗98棵．
【考察注意点】此题解答的关键是根据关系式“（盈数+亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数”，求出参加植树的人数，然后再求出树苗的棵数．
20．（2021•铁东区）一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行60千米，比计划早到1小时，返回时每小时行40千米，比计划迟到1小时，原计划几小时到达？
【专题】传统应用题专题．
【思路引导】根据题意，来回相差2小时，所以去时行了40×2÷（60﹣40）＝4小时，因此原计划4+1＝5小时到达．
【完整解答】解：40×2÷（60﹣40）+1
＝80÷20+1
＝4+1
＝5（小时）．
答：原计划5小时到达．
【考察注意点】根据来回相差的时间，求得去时行的时间，进而求得原计划的时间．
21．（2021•拱墅区模拟）某玻璃厂托运玻璃250箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元．运后结算时，共付运费4400元．托运中损坏了多少箱玻璃？
【专题】简单应用题和一般复合应用题．
【思路引导】根据已知托运玻璃250箱，每箱运费20元，可求出应付运费总钱数．根据每损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元的条件可知，则损坏一个就少收运费100+20元，应付的钱数和实际付的钱数的差里有几个（100+20）元，就是损坏几箱．
【完整解答】解：（20×250﹣4400）÷（100+20），
＝600÷120，
＝5（箱）
答：损坏了5箱．
【考察注意点】明确损坏一个就少收运费100+20元是完成本题的关键．
22．（2020•岳麓区）华校给思维训练课老师发洗衣粉．如果给男老师每人3包，女老师每人4包，那么就会多出8包；如果给男老师每人4包，女老师每人5包，那么就会少7包．已知男老师比女老师多1人，那么共有多少包洗衣粉？
【思路引导】“男老师每人3包，女老师每人4包”到“男老师每人4包，女老师每人5包”每位老师增加1包，共用去了8+7＝15包，说明有15位老师，其中男老师8位，女老师7位．要求共有多少包洗衣粉，列式为3×8+4×7+8，计算即可．
【完整解答】解：老师人数：
8+7＝15（人），
其中男老师8位，女老师7位．
共有洗衣粉：
3×8+4×7+8，
＝24+28+8，
＝60（包）．
答：共有60包洗衣粉．
【考察注意点】解答此题的关键是求出教师的人数，共有洗衣粉的数量就会迎刃而解．
23．（2019•衡水模拟）一种商品随季节出售，如果按现价降低10%，每件仍可盈利200元；如果按现价降低20%，则每件亏损220元．这种商品每件的进价是多少元？
【专题】分数百分数应用题．
【思路引导】要求这种商品的进价是多少元，应先求出这种商品的定价，根据前后价格之差和分率之差即可求出定价，即从降价10%到降价20%，商品的销售就从每件盈利200元到每件亏损220元，相差200+220＝420（元），每件现价为420÷10%＝4200（元），再由每件现价的（1﹣10%）减去盈利的200元就是每件进价了．
【完整解答】解：（200+220）÷（20%﹣10%）
＝420÷10%
＝4200（元）
4200×（1﹣10%）﹣200
＝4200×90%﹣200
＝3780﹣200
＝3580（元）
答：这种商品每件的进价是3580元．
【考察注意点】根据盈亏问题的解法求出定价是解答此题的关键．
24．（2019春•普陀区期中）“六一”儿童节，学校向每个班级分发气球布置教室．如果每个班分20个气球，则多了130个；如果每个班分25个气球，则正好分完．一共有几个班级？一共有几个气球？
【专题】传统应用题专题．
【思路引导】根据题意可知：每个班多分（25﹣20）＝5个，则正好分完，因为班级个数不变，所以用130除以5即可求出班级个数，进而求出气球的个数．
【完整解答】解：130÷（25﹣20）
＝130÷5
＝26（个）
20×26+130＝650（个）
答：一共有26个班级，共用650个气球．
【考察注意点】此题属于盈亏问题，明确每个班多分（25﹣20）＝5个，即多分130个气球，由此求出班级数，是解答此题的关键．
25．（2019•江西模拟）全班同学站队排成若干行，若每行14人则多5人，若每行17人则少4人．共有多少名同学，排成几行？
【专题】传统应用题专题．
【思路引导】由题意知，每行14人变为每行17人，就要增加（5+4）＝9人，由此可以用（5+4）÷（17﹣14）＝3（行）求得排了3行，进而用14×3+5＝47（人）求出总人数，据此解答．
【完整解答】解：（5+4）÷（17﹣14）
＝9÷3
＝3（行），
14×3+5＝47（人），
答：共有47名同学，排成3行．
【考察注意点】此题属于盈亏问题，运用关系式：（盈数+亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数．
26．（2019•北京模拟）李师傅做一批零件，如果他平均每天做24个，将比计划推迟一天完成，如果他平均每天做40个，将比计划提前一天完成，为了按计划完成，他平均每天要做多少个零件？
【思路引导】每天做24个，迟一天完成，说明时间到时还有24个没有完成；每天做40个，提前一天完成，说明时间到时还可以多做40个，64个就是每天做24个和40个的差别．所以规定时间为（24×1+40×1）÷（40﹣24）＝4（天），有零件24×（4+1）＝120（个），或40×（4﹣1）＝120（个），按时完成每天做120÷4＝30（个）．
【完整解答】解：①规定时间为
（24×1+40×1）÷（40﹣24），
＝64÷16，
＝4（天）；

②按时完成每天做
24×（4+1）÷4，
＝120÷4，
＝30（个）．
答：他平均每天要做30个零件．
【考察注意点】此题属于盈亏问题，在本题中求出计划的天数，是解决问题的关键