2022届北京四中高三开学考试数学试题含解析

2022届北京四中高三开学考试数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接由求解即可

【详解】因为集合，集合， ，

所以，

故选：B

2．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

A．（–∞，1） B．（–∞，–1）

C．（1，+∞） D．（–1，+∞）

【答案】B

【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.

【解析】复数的运算

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．已知直线，，若，则实数的值是（       ）

A．0 B．2或-1 C．0或-3 D．-3

【答案】C

【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.

【详解】由知：,解得：或

故选：C .

4．数列满足（，），且与的等差中项是5，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由递推公式得到等比数列，公比为2，进而求出首项，求出前n项和.

【详解】（，），则为等比数列，公比为2，又，解得：，所以.

故选：B

5．已知直线m，n和平面，若，则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用线面垂直的性质得到充分性成立，由反例得到必要性不满足，求出答案.

【详解】若，，则，故充分性成立，若，，则或∥，故必要性不满足，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6．若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由圆心到直线距离小于等于半径列出不等式，求出实数a的取值范围.

【详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：.

故选：C

7．已知向量，将向量绕坐标原点O逆时针旋转角得到向量（），则下列说法不正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意得到四边形OACB为菱形，且，由两边之和大于第三边判断A选项，利用余弦定理求出B选项，利用模的平方求出模的范围，判断C选项，利用数量积为0判断D选项.

【详解】由题意得：，四边形OACB为菱形，且，由两边之和大于第三边，可得：，A正确；

因为，所以，故，所以，B正确；

，则，，则，故，C错误；

，故，D正确.

故选：C

8．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.

故选：C.

9．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：由图可知表示的离心率相等为,观察知的比要圆,根据离心率的几何意义知, 的离心率要比的离心率小.故本题答案应选D.

【解析】椭圆的离心率．

10．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（       ）

A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点

C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点

【答案】C

【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.

【详解】由题设，，则，

又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，

所以的两个零点为，由图知：存在使，

综上，有三个不同零点，

由图：上，上，上，上，

所以在上递减，上递增，上递减，上递增.

故至少有两个极小值点和一个极大值点.

故选：C.

二、填空题

11．的展开式中，的系数为______．

【答案】-20

【分析】由二项式定理，展开式的通项公式求出指定项的系数.

【详解】展开式的通项公式，令，解得：，则，所以的系数为-20.

故答案为：-20

12．双曲线的一条渐近线为，则的焦距为__________

【答案】

【分析】根据题意双曲线的一条渐近线为求出，即可求出答案.

【详解】双曲线的渐近线为，

由于双曲线的一条渐近线为，

故.

.

的焦距为.

故答案为：.

13．在中，若，，，则_______．

【答案】4

【详解】由题意，，

整理可得：，解得．

14．已知抛物线，点A为第一象限内C上一点．抛物线C的焦点F关于原点的对称点为K．过A作抛物线C准线的垂线，垂足为B．若直线的斜率为，四边形的面积为，则______．

【答案】2

【分析】设出A点坐标，利用四边形ABKF的面积及直线FA的斜率列出方程，求出.

【详解】，，则，设，则，由题意得：①，且②，解得：或，

由②得：，故不成立，舍去，

把代入①得：

故答案为：2

15．正方体棱长为3，对角线上一点P（异于A，两点）作正方体的截面，且满足，有下列命题：①截面多边形只可能是三角形或六边形；②截面多边形只可能是正多边形；③截面多边形的周长L为定值；④设，截面多边形的面积为S，则函数是常数函数．其中所有正确命题的序号是______．

【答案】①

【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定可得面、面，以截面为面、面为临界截面，讨论的位置判断截面图形的性质，即可判断①②③，再由时截面为正三角形且边长为即可判断④.

【详解】连接，由在上的射影分别为，

又，即，，

所以面，同理面，即截面可能为面、面，此时截面为正三角形；

而当在与面、面的交点之间运动时，根据正方体的性质知：截面为六边形，但不一定是正六边形，即截面交相关棱于中点时才是正六边形(如上图示)，

而当在与面交点左下方、面交点右上方运动时，截面为正三角形，

所以①正确，②错误；

显然在与面交点左下方，截面周长小于截面的周长，故③错误；

由题设，当时截面为正三角形且边长为，所以，故不是常数函数，④错误.

故答案为：①.

【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质及线面垂直的判定找到在移动过程中截面形状发生变化的临界截面，进而判断临界截面两侧截面多边形的性质.

三、解答题

16．如图，在直三棱柱中，，，点D，E，F分别为棱，，的中点.

(1)求证：平面DEF；

(2)在线段上是否存在一点P，使得直线DP与平面所成的角为30°？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)存在，

【分析】（1）如图所示，连接，交于点，连接，，，利用三角形中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理可得：四边形是平行四边形．即平面；又，利用线面平行的判定定理即可证明结论平面．

（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设，0，，，设平面的法向量为，，，则，可得．利用，向量夹角公式即可得出．

【详解】(1)证明：如图所示，连接，交于点，连接，，，

则为的中点，因为点D，E，F分别为棱，，的中点，

所以，且，且，

又且，所以且，

所以四边形是平行四边形．平面；

又，平面；平面．

平面；

(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系．

则，0，，，0，，，2，，，0，，

设，0，，，，

则，0，，，0，，，2，，

设平面的法向量为，，，则，

，，

可取，1，，

，化为：．，．

解得．，0，，

所以．

在线段上存在一点，为线段的中点，使得直线与平面所成的角为，．

17．已知函数，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．

(1)求的单增区间；

(2)在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，求面积最大值．

①在区间上单调递减，的最大值为；

②离y轴最近的对称轴为；

③的最小正周期为．

【答案】(1)选①②③答案一样，均有单增递增区间为，

(2)选①②③答案一样，均有面积最大值是.

【分析】（1）选①②③均有最小正周期，进而根据化简后的函数解析式求出，利用整体法求解单调递增区间；（2）先由第一问求出，利用余弦定理和基本不等式求解三角形面积的最大值.

【详解】(1)选①在区间上单调递减，的最大值为；

则最小正周期，

，因为，所以，解得：，

所以，令，，解得：，令，，解得：，则求的单增递增区间为，

选②离y轴最近的对称轴为；

，由题意得：最小正周期为，因为，所以，解得：，

所以，令，，解得：，令，，解得：，则求的单增递增区间为，

选③的最小正周期为；

，因为，所以，解得：，

所以，令，，解得：，令，，解得：，则求的单增递增区间为，

(2)由（1）可知，选①②③答案一致，以下为解题过程：

，因为，所以，又，所以，即，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，即，解得：，则，即面积最大值为

18．暑假里大学二年级的H同学去他家附近的某个大型水果超市打工．他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售；若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库．H同学记录了打工期间A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：

以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率，解答下面的两个问题．

(1)若超市明天购进A水果150千克，求超市明天获得利润X（单位：元）的分布列及期望；

(2)若超市明天可以购进A水果150千克或160千克，以超市明天获得利润的期望为决策依据，在150千克与160千克之中应当选择哪一个？若受市场影响，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？请说明理由．

【答案】(1)分布列见解析，数学期望为元

(2)两种都选超市应购进160千克，理由见解析

【分析】（1）求出X的可能取值及相应的概率，进而得到分布列及数学期望；

（2）设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y元，求出Y的可能取值及相应的概率，求出数学期望，与第一问求出的期望值相比，得到结论，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，同理求得分布列和期望即可求解.

【详解】(1)若A水果日需求量为140千克，则，且，

若A水果日需求量不少于150千克，则，且，故X的分布列为：

元

(2)设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y元，则Y的可能取值为， ，，即

且，，，

则，

因为，所以超市应购进160千克.

若剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，同理，可得的分布列

元

元

因为，所以超市应购进160千克.

19．己知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求证：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义求在处的切线方程即可.

（2）将问题转化为证明在上恒成立，求导得，构造中间函数求判定的单调性和零点的区间，进而得到，再利用导数研究在所在区间的符号，即可证结论.

【详解】(1)由题设，，则，

所以，而，

所以曲线在点处的切线方程为.

(2)由，即，令且定义域为，

所以，

若，可得，又，

所以在上递减，，，则存在使，

所以上，上，即在上递增，在上递减.

所以，又，故，

令，则且，故，

所以在上递减，则，即在上恒成立，

综上，，即，得证.

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为在上恒成立，再利用中间函数及导数证明恒成立.

20．已知圆，定点，为圆上一动点，点为中点，的垂直平分线交于点．

(1)求点N运动轨迹E的方程；

(2)若过的直线交曲线E于不同的两点G，H（G在之间），且满足，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用线段的垂直平分线定理推得，再利用椭圆的定义得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程；

（2）不妨设斜率为，且将原点移至，则直线方程为，椭圆的方程变为，联立方程组，结合题设条件，即可求解的取值范围.

【详解】(1)解：因为为圆上一动点，点为中点，的垂直平分线交于点，

可得且，

所以为线段的垂直平分线，

所以，，

所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆，

且长轴长为，焦距，所以，所以，

曲线的方程为.

(2)解：当斜率不存在时，直线与曲线有2个交点，此时参数的值为，

不妨设斜率为，且将原点移至，

则直线方程为，椭圆的方程变为，

将直线方程代入椭圆的方程，整理得，

直线与曲线有两个不同的交点，

故，解得，

因为左右对称，可以研究单侧，

当时，，

令，则，

由于，故函数在上是减函数，故，

综上可得，实数的取值范围是.

21．若实数数列满足，则称数列为“Q数列”．

(1)若数列是Q数列，且，，求，的值；

(2)若数列是Q数列：

①试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；

②若数列中不含值为零的项，记前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值．

【答案】(1)

(2)①数列不可能全是正数，也不可能全是负数，理由见解析；②

【分析】（1）代入求值即可；（2）①用反证法证明；②结合①中结论得到中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，又得到的周期为9，且，这9项中，为负数，这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，对前5项的正负分情况得到负数的个数，求出最后结果.

【详解】(1)因为是Q数列，且，所以，，所以，解得：，所以，；

(2)①数列不可能全是正数，也不可能全是负数，理由如下：

假设“Q数列”的项全是正数，即，所以，，这与假设矛盾，故“Q数列”的项不可能全是正数；

假设“Q数列”的项全是负数，则，而，与假设矛盾，故数列不可能全是正数，也不可能全是负数，

②由①可知，中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，因此存在最小的正整数k满足，，设，，则，，，，，，，，，……，故，所以的周期为9，所以，这9项中，为负数，这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，

因为，所以当时，m=3×224=672；

当时，这（k-1）项至多一个为负，而且负数项只能是，记这项中负数项个数为t，

当时，若，则，故为负数，此时t=671，m=671+1=672；

若，则，故是负数，此时t=672，m=672；

当时，必须为负数，，

综上：m的取值集合为.

【点睛】定义新数列，要结合题目信息，运用所学的不等式，周期等知识进行求解，分类讨论是处理定义新数列最常用的方法.