全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—10.数列（解析版）

这是一份全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—10.数列（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
 数列
一、选择题
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由知，序列的周期为m，由已知，，

对于选项A，

，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
解析：在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题．
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) (　　)
(　　)
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
解析：设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以．
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 (　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
另解：数感好的话由，立即会想到数列：，检验是否满足，可以迅速得出．
【点评】在数列相关问题中，用基本量的通性通法是最重要的，当然适当积累一些常见数列，对解题大有裨益．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．已知，，则 (　　)
A．
B．
C．
D．

【答案】A
解析：，
所以，故选A．
6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为等差数列的前项和，,．则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：∵为等差数列的前项和，，，∴，把，代入得∴，故选B．
7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力．
不妨设(其中)
则有,因为,所以
由等比数列的前项和公式可得
因为,所以
所以即,因为
所以,故
所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意
当时,,故满足题意的的最小值为．
解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出．
解法二:将数列的前项按照分组,不妨设这样的分组共有组不满足此特点的单独为一组,则,从而数列的前项的和为:
所以若使数列的前项和为的整数幂,则必存在正整数,使得,即
又,所以,所以,所以,所以
当时,,此时,所以的可能值为,经验证均不符合题意,当负结合选项也可知道不合题意,直接排除掉的可能性
当时,,此时,结合选项特点可知:,故选A．
事实上验证:或或或或或
只有成立．
点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建的不等式限定的可能值,进而求出最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作．
解法三:检验法
由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验
选项D:若,由,知第项排在第14行,第19个

由是奇数知不能写成整数幂;
选项C:若,由知,第项排在第21行,第10个
是大于1的奇数,不能写成整数幂;
选项B,若,由知第项排在第26行,第个
,同理,不能写成整数幂;
选项A时,当时,由,可解出
所以这前和为:,符合题意,故选A．
解法四:直接法
由能写成的整数幂可知,,,且由知,故满足条件的的最小值为,得,此时．
解法五:二进制转化法
按照上面形式重新排列后,第层:,的和为
把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐)
第1层: 1
第2层: 11
第3层: 111

第层: 1111
由于的数幂的二进制数为:,前层的和再加多少可以写成的整数幂?
为方便相加,首先,每层都加,则总共加了,得:
第1层: 10
第2层: 100
第3层: 1000

第层: 1000
此时层总的和为:,仍然不是的整数幂,再加上即可!
所以在前层总和的基础上,再加上可使和成为的整数幂
设第层的前个数的和为,即
后面的方法同“解法四”．
【考点】等差数列、等比数列的求和．
【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和．另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断．
8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】设公差为,,,联立解得,故选C．
秒杀解析:因为,即,则,即,解得,故选C．
【考点】等差数列的基本量求解
【点评】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如为等差数列,若,则．
9．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选A．
【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算
【点评】（1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　　)
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】 B
【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式及其前项和，以考查考生的运算能力为主目
的．
【解析】解法一：常规解法
一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即
，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得
．
解法二：边界效应
等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴ ．
【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必
有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所
占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难
度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，
11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有 (　　)
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0

12．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列前9项的和为27，，则 (　　)
(A)100(B)99(C)98(D)97
【答案】C
【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C．
13．(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列满足，，则 (　　)
A．21 B．42 C．63 D．84
【答案】B
解析：设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．
考点：等比数列通项公式和性质．
14．(2013高考数学新课标2理科)等比数列的前项和为，已知，则等于 (　　)
A． B．－ C． D．－
【答案】C
解析：设等比数列的公比为，由得，即，又，所以．
考点：（1）6．3．1等比数列的基本量的计算；（2）6．3．4等比数列的前n项和及综合应用
难度：A
备注：高频考点
15．(2013高考数学新课标1理科)设的三边长分别为，的面积为，n=1,2,3,…若，，，，,则 (　　)
A．为递减数列 B．为递增数列
C．为递增数列，为递减数列
D．为递减数列，为递增数列
【答案】B
解析: 因为，，，所以，
，注意到，所以．
于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值．
因为，
所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列．
考点：（１）6．1．1数列的概念及归纳简单数列的通项公式；（２）6．3．1等比数列的基本量的计算；（３）12．5．1数列极限．
难度：C
16．(2013高考数学新课标1理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，＝－2，＝0，＝3，则＝ (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】Ｃ
解析：由题意知==0，∴=－=－（-）=－2，
= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C．
考点: （1）6．2．4等差数列的前n项和及综合应用；（2）13．1．1函数与方程思想．
难度：Ｂ
备注：高频考点
17．(2012高考数学新课标理科)已知为等比数列，，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：∵①，由等比数列的性质可得，②
①、②联立方程组解得：=4，=-2或=-2，=4
当=4，=-2时，q3=，
∴=-8，=1，
∴+=-7
当=-2，=4时，q3=-2，则=-8，=1
∴+=-7
考点：（1）6．3．1等比数列的基本量的计算；（2）6．3．3等比数列的性质及应用．
难度：B
备注：高频考点
二、填空题
18．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)记为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
【答案】4．
【解析】因，所以，即，所以．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
19．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】
解析：由，得，所以，又因为，所以，．
20．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则 ．
【答案】
解析：为数列的前项和．若，①
当时，，解得，
当时，，②，
由①﹣②可得，
∴，
∴是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设等比数列满足,，则 ．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则依题意有，解得
所以．
【考点】等比数列的通项公式
【点评】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)等差数列的前项和为，，，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
由题意有： ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项有：，据此：
。
【考点】 等差数列前n项和公式；裂项求和。
【点评】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。学&科&网数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。
【知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉这个条件，此处属于易错点．
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设等比数列满足，，则的最大值为 ．
【答案】64
【解析】由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．
∴，解得：．
故，∴
当或时，取到最小值，此时取到最大值．
所以的最大值为64．
24．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
【答案】
解析：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
考点：等差数列和递推关系．
25．(2013高考数学新课标2理科)等差数列的前n项和为，已知，则的最小值为________．
【答案】－49
解析：由已知解得
，
由函数的单调性知，∴的最小值为－49．
考点：（1）6．2．2等差数列的基本量的计算；（2）6．2．4等差数列的前n项和及综合应用
（3）3．2．4导数与函数最值
难度： C
备注：高频考点
26．(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
【答案】
解析:当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．
考点:（1）6．1．3已知an与Sn的关系求通项公式an；（2）6．3．2等比数列的定义及判定；（3）6．3．1等比数列的基本量的计算．
难度：Ｂ
备注：高频考点、易错题
27．(2012高考数学新课标理科)数列满足，则的前60项和为
【答案】1830
解析：由得，
……①
……②,
再由②—①得 ……③
由①得
由③得,
∴．
考点：（1）6．2．4等差数列的前n项和及综合应用；（2）6．4．1分组转化与倒序相加求和．
难度：C
备注：高频考点

1．(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
解析：（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴．
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法．
2．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
解析：选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列．
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去．
综上可知为等差数列．
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
．
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题．
4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）．
解析：（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立．
那么时，也成立．
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即．
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
求和的通项公式．
【答案】见解析；，.
【官方解析】
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列．
由知，，．
所以，
．
【分析】可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
可通过中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果.
【解析】由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为等差数列，.
由可知，，，
所以，.
【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
(1)或；(2)
【答案】【官方解析】（1）设的公比为，由题设得
由已知得，解得（舍去），或
故或
（2）若，则，由，得，此方和没有正整数解
若，则，由，得，解得
综上，．
【民间解析】（1）设等比数列的公比为，由，可得，所以
所以
当时，；当时，
（2）由（1）可知
当时，由即，即，所以；
当时，由即，即，无解
综上可知．
7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】解析：（1）设的公差为，由题意得．
由得，所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
所以当时，取得最小值，最小值为．
8．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.
9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本题满分12分)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
(I)求；(II)求数列的前1 000项和．
【答案】（1），，；（2）．
【解析】（1）设的公差为，据已知有，解得．
所以数列的通项公式为．
，，．
（2）因为
所以数列的前项和为．
10．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)为数列的前项和．已知
(Ⅰ)求的通项公式：
(Ⅱ)设,求数列的前项和
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和．
解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为= =．
考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
11．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
已知数列满足=1，．
(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ)证明：
【答案】解析：（Ⅰ）由，得，且
所以是首相为，公比为的等比数列。
因此，所以的通项公式为．
（Ⅱ）由（1）知
当时，，所以
于是
所以
考点：（1）等比数列的证明及通项公式的求法；（2）等比数列的前项的和
（3）放缩法证明不等式
难度：C
备注：一题多解
12．(2014高考数学课标1理科)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．
(1)证明:;
(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．
【答案】解析:(1)由题设,,两式相减
,由于,所以．
(2)由题设,,可得,由(1)知
假设为等差数列,则成等差数列,∴,解得;
证明时,为等差数列:由知
数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列
令则,∴
数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列
令则,∴
∴(),
因此,存在存在,使得为等差数列．
考点:(1)等差数列的证明;(2)等差数列的前项和及综合应用(3)分类讨论思想
难度:C
备注:高频考点