初中数学解题模型之一元二次方程的应用（单循环问题）（含答案）

这是一份初中数学解题模型之一元二次方程的应用（单循环问题）（含答案），共17页。
初中数学解题模型之一元二次方程的应用（单循环问题）
一．选择题（共9小题）
1．（2021秋•包头期末）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程共7天，每天3场比赛．设比赛组织者邀请x个队参赛，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
2．（2021秋•南丹县期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
3．（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
4．（2021秋•通辽期末）为增强学生体质，丰富学生的课外生活，为同学们搭建一个互相交流的平台，学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛．设学校应邀请x个队参赛，根据题意列方程为（ ）
A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15
5．（2021秋•大同期中）某兴趣学习小组组织一次围棋比赛，参赛选手每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28场比赛，则参赛的人数为（ ）

A．7人 B．8人 C．9人 D．10人
6．（2021秋•卢龙县期中）教育局组织学生篮球赛，有x支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
7．（2021秋•正定县期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排55场比赛，则参加比赛的球队的个数是（ ）
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
8．（2021秋•惠安县期末）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
9．（2021秋•津南区期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共16小题）
10．（2021秋•朝阳县期末）为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
11．（2021秋•秀英区校级期中）若干支球队参加一次足球联赛，每两队之间都只打一场比赛，共有比赛55场，总共有 支球队参加比赛．
12．（2021秋•岷县期中）组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 ．
13．（2021秋•平阴县期中）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 ．
14．（2020秋•东莞市月考）石龙三中组织学生三人篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 ．
15．（2021春•徐汇区校级月考）八年级的一个兴趣小组新成员见面时相互握手表示友好，共握了15次手，则该小组共有成员 人．
16．（2021秋•蓬江区校级月考）学校组织学生三人篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），共进行了36场比赛，则有 支队伍参加该项比赛．
17．（2021•柳南区校级模拟）要组织一次球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，若参赛球队的个数为x个，则可列方程为 ．
18．（2021秋•镇江月考）某校初三年级组织一次班级篮球赛，赛制为单循环（每两班之间都赛一场），需安排45场比赛，则共有 个班级参加比赛．
19．（2021秋•龙华区期中）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 个．
20．（2021秋•东莞市月考）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是 ．
21．（2021秋•临川区校级月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为 ．
22．（2020秋•禹州市期中）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为 ．
23．（2020秋•义马市期中）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，那么共有多少人参加了这次聚会？设有x人参加这次聚会，则根据题意列出的方程是 ．
24．（2021春•嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 个班级．
25．（2021秋•中山市期中）在某次聚会上每两人都握了一次手，所有的共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是 ．

初中数学解题模型之一元二次方程的应用（单循环问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2021秋•包头期末）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程共7天，每天3场比赛．设比赛组织者邀请x个队参赛，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用比赛的总场次数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝3×7，
即x（x﹣1）＝3×7．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021秋•南丹县期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝21，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．
3．（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设参加这次交易会的公司共有x家，利用签订合同的总数＝参加这次交易会的公司数×（参加这次交易会的公司数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加这次交易会的公司共有x家，
依题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
∴参加这次交易会的公司共有10家．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021秋•通辽期末）为增强学生体质，丰富学生的课外生活，为同学们搭建一个互相交流的平台，学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛．设学校应邀请x个队参赛，根据题意列方程为（ ）
A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用安排比赛的场次数＝邀请参赛的队伍数×（邀请参赛的队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝15．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2021秋•大同期中）某兴趣学习小组组织一次围棋比赛，参赛选手每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28场比赛，则参赛的人数为（ ）

A．7人 B．8人 C．9人 D．10人
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】设参赛的人数为x，由参赛的每两人之间都要比赛一场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设比赛组织者应邀请x支参赛队参与比赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝28，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2021秋•卢龙县期中）教育局组织学生篮球赛，有x支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ）
A． B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：A．
【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
7．（2021秋•正定县期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排55场比赛，则参加比赛的球队的个数是（ ）
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设参加比赛的球队有x个，则可表示出所比赛的场数，由条件可列出方程，可求得球队的个数．
【解答】解：设参加比赛的球队有x个，
根据题意可得x（x﹣1）＝55，
解得x1＝11，x2＝﹣10（舍去），
即参加比赛的球队有11个，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
8．（2021秋•惠安县期末）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1）．
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021秋•津南区期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛列出方程即可．
【解答】解：设应邀请x个队参加比赛，则列方程为x（x﹣1）＝21，
解这个方程，得x1＝7，x2＝﹣6（舍去）．
即x的值为7．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共16小题）
10．（2021秋•朝阳县期末）为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排x个球队参赛，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝36 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用比赛的总场次数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝36．
故答案为：x（x﹣1）＝36．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2021秋•秀英区校级期中）若干支球队参加一次足球联赛，每两队之间都只打一场比赛，共有比赛55场，总共有 11 支球队参加比赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设共有x支球队参加比赛，利用比赛的总场次数＝参赛球队数量×（参赛球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x支球队参加比赛，
依题意得：x（x﹣1）＝55，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
故答案为：11．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•岷县期中）组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 6 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这次参加比赛的球队个数为x，利用进行比赛的总场次数＝参赛球队的个数×（参赛球队的个数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这次参加比赛的球队个数．
【解答】解：设这次参加比赛的球队个数为x，
依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2021秋•平阴县期中）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 6 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设八年级有x个班，利用比赛的总场次数＝八年级的班级数×（八年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出八年级共有6个班．
【解答】解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2020秋•东莞市月考）石龙三中组织学生三人篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 9 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这次参加比赛的球队个数为x，利用比赛的总场数＝参赛球队数量×（参赛球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这次共有9支队伍参赛．
【解答】解：设这次参加比赛的球队个数为x，
依题意得：x（x﹣1）＝36，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2021春•徐汇区校级月考）八年级的一个兴趣小组新成员见面时相互握手表示友好，共握了15次手，则该小组共有成员 6 人．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设该小组共有成员x人，利用握手的总次数＝该小组成员人数×（该小组成员人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该小组共有成员x人，
依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
∴该小组共有成员6人．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2021秋•蓬江区校级月考）学校组织学生三人篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），共进行了36场比赛，则有 9 支队伍参加该项比赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这次参加比赛的球队个数为x，利用比赛的总场数＝参赛球队数量×（参赛球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这次共有9支队伍参赛．
【解答】解：设这次参加比赛的球队个数为x，
依题意得：x（x﹣1）＝36，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：有9支队伍参加该项比赛，
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2021•柳南区校级模拟）要组织一次球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，若参赛球队的个数为x个，则可列方程为 x（x﹣1）÷2＝21 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝，即可列方程．
【解答】解：若参赛球队的个数为x个，则每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
根据题意可得x（x﹣1）÷2＝21，
故答案为：x（x﹣1）÷2＝21．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
18．（2021秋•镇江月考）某校初三年级组织一次班级篮球赛，赛制为单循环（每两班之间都赛一场），需安排45场比赛，则共有 10 个班级参加比赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设共有x个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设共有x个班级参加比赛，
根据题意得：＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，即（x﹣10）（x+9）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
则共有10个班级球队参加比赛．
故答案为10．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排45场比赛”．
19．（2021秋•龙华区期中）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 8 个．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设参加比赛的球队数共有x个，由比赛共举行了28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加比赛的球队数共有x个，
依题意，得：x（x﹣1）＝28，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故答案是：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2021秋•东莞市月考）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是 x（x﹣1）＝28 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设该中学九年级共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有 x（x﹣1）场比赛，可以列出一元二次方程．
【解答】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛（x﹣1）场，但两班之间只有一场比赛，
故 x（x﹣1）＝28．
故答案为： x（x﹣1）＝28．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．
21．（2021秋•临川区校级月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为 ＝15 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛列出方程即可．
【解答】解：设应邀请x个队参加比赛？则列方程为＝15，
故答案为：＝15．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
22．（2020秋•禹州市期中）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝45 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用比赛的总场次数＝参赛的队伍数×（参赛的队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝45．
故答案为：x（x﹣1）＝45．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“比赛的总场次数＝参赛的队伍数×（参赛的队伍数﹣1）”列出方程是解决问题的关键．
23．（2020秋•义马市期中）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，那么共有多少人参加了这次聚会？设有x人参加这次聚会，则根据题意列出的方程是 ＝10 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）；
依题意，可列方程为：＝10．
故答案为：＝10．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
24．（2021春•嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 8 个班级．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
则该校八年级有8个班级．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2021秋•中山市期中）在某次聚会上每两人都握了一次手，所有的共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是 x（x﹣1）＝28 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：x（x﹣1）次；已知“所有人共握手28次”，据此可列出关于x的方程．
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）次，
根据题意得：x（x﹣1）＝28．
故答案为：x（x﹣1）＝28．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．

考点卡片
1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．