2022届湖北省十一校高三下学期3月第二次联考数学试题含解析

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A.B.C.D.
2.直线与圆的位置关系是
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
3.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，说的是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体．现有命题、的体积相等，命题、在等高处的截面积恒相等.根据祖暅原理可知，是的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.气象学中用24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级
A．小雨B．中雨
C．大雨D．暴雨
5.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是
A.6B.C.8D.
6.如图为宜昌市至喜长江大桥，其缆索两端固定在两侧索塔顶部，中间形成的平面曲线称为悬链线．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出悬链线的方程，其中为参数．当时，函数称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数．关于双曲函数，下列结论正确的是
A．B．
C．D．
7.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为
A．B．C．D．
8.已知、、、为锐角，在，，，四个值中，大于的个数的最大值记为，小于的个数的最大值记为，则等于
A．8B．7C．6D．5
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.如图，5个数据，去掉点后，下列说法正确的是
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．变量x与变量y呈正相关
D．变量x与变量y的相关性变强
10.平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是
A.直线B.直线C.直线D.直线
11.数列的前项为，已知，下列说法中正确的是
A.为等差数列B.可能为等比数列
C.为等差数列或等比数列D.可能既不是等差数列也不是等比数列
12.如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是
A.当P是线段CE的中点时，，
B.当时，
C.若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D.的最大值为
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设复数z满足（其中是虚数单位），则__________.
14.除以的余数是__________.
15.已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围是__________.
16.若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.
四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）.如图，在四边形中，，，，，.
（1）求；
（2）求的长.
18（12分）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，设，数列的前n项和为，求的最大值.
19（12分）．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；条件②：；条件③：平面平面.
20（12分）．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．
21．（12分）某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．
（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校提前录取．
已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．
若该班级考分前10名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求
①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率．
22.（12分）对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数：
(1)设，求证：：
(2)①证明不等式：：
②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值．