四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学（文）试题 Word版含解析

乐山市十校高2021届第四学期半期联考数学文科试题

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1. 复数的虚部是（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将复数写出标准形式，再根据复数的定义确定其虚部；

【详解】解：因为，故其虚部为

故选：C

【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题.

2. 函数的导数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；

【详解】解：因为

所以

故选：D

【点睛】本题考查导数的计算，基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题.

3. 从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：基本事件总数为（种），这名女生被选中的有（种）

故概率

故选：B

【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.

4. 按如图的程序框图运行相应的程序，若输入的值为8，则输出的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据初始值8，依次循环，直至终止循环，输出N.

【详解】，

第一次循环：，

第二次循环：，

第三次循环：，

终止循环，输出

故选：C

【点睛】本题主要考查程序框图的条件结构和循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.

5. 曲线在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义可得切线的斜率，再根据点斜式可得切线方程.

【详解】因为，所以，

所以所求切线的斜率为，

又，

所以所求切线方程为，即.

故选：A

【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.

6. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米648石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得288粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为（    ）（注：石dàn古代重量单位，1石＝60千克）

A. 74石 B. 72石 C. 70石 D. 68石

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，列出方程，根据这批米内夹谷数，得到答案.

【详解】设送来648石米内夹谷约为石，

因为抽样取米一把，数得288粒内夹谷32粒，可得，解得石.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用问题，其中解答中根据题意列出方程是解答的关键，属于基础题.

7. 某高校调查了100名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]．根据直方图，求出a的值是（    ）

A. 0.18 B. 0.17 C. 0.16 D. 0.15

【答案】C

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；

【详解】解：根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1，可得解得

故选：C

【点睛】本题考查频率分布直方图的性质的应用，属于基础题.

8. 函数的极小值是（    ）

A. 4 B. 2 C. 4 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出函数的导函数，说明其单调性，即可得到函数的极值点，从而求出函数的极小值；

【详解】解：因为，

所以

令，解得或，可得或时，当时，

所以在和上单调递增，上单调递减；

故函数在处取得极小值，

故选：D

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，属于基础题.

9. 如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在三角形中用余弦定理即可解得.

【详解】连接，，如图：

易得，所以（或其补角）是异面直线AM与BC1所成角，

设正方体的棱长为，，，

在三角形中，，

所以异面直线AM与BC1所成角的余弦值是.

故选：A

【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.

10. 如图在中，，，在内作射线与边交于点，则使得概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

由题意可得，根据三角形中“ 大边对大角，小边对小角”的性质，将转化为求的概率，又因为，，从而可得的概率．

【详解】解：在中，，，

所以，即，

要使得，则，

又因为，，

则的概率是．

故选：C

【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题．

11. 已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设函数，根据题意，求得为单调递增函数，得到，进而得出答案.

【详解】由题意，设函数，则，

因为，可得，所以为单调递增函数，

可得，即，所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了导数的四则运算，以及函数的单调性的应用，其中解答中根据题意，构造新函数，求得的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.

12. 已知函数，，若存在正实数，使成立，则的最大值是（    ）（注：是自然对数的底数）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

当时，有唯一解，而，通过变形可得，比较可得，进而得到，运用导数即可求最大值．

详解】解：由题意，，，则，

作函数的草图如下，

由图可知，当时，有唯一解，故，且，

，

设，则，令，解得或，

易得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

故，即的最大值为．

故选：B

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查化简变形能力及数形结合思想，属于中档题．

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验.利用随机数表抽取样本时，先将60袋牛奶按00，01，…，59进行编号，若从随机数表第8行第7列的数开始向右读，则第4袋牛奶的编号为____________；

(下面摘取了随机数表第7行至第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 16 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

【答案】10

【解析】

【分析】

根据利用随机数表抽取样本的规则一一读取即可；

【详解】解：从随机数表第8行第7列的数开始向右读，分别是78（舍去），59,16,95（舍去），55,67（舍去），16（重复），98（舍去），10，……

故第4袋牛奶的编号为10

故答案为：10

【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题．

14. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的的是__________；

【答案】6

【解析】

【分析】

依次列出程序执行的步骤即可.

【详解】此程序执行的步骤为：

，满足条件，，不满足条件，，输出

故答案为：6

【点睛】本题考查的是程序框图，较简单.

15. 已知函数的导函数是，若的图像在点的处的切线过点，则＝________；

【答案】1

【解析】

【分析】

求出函数的导数，求出切线方程，得到关于的方程，解出即可；

【详解】，，

又，切线方程为，

切线过点，

，

解得；

故答案为：

【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，属于基础题.

16. 已知函数是定义在上的单调函数，是的导函数，且对任意的都有，若函数的一个零点，则整数的值是__________.

【答案】2

【解析】

【分析】

先通过已知求出得到，再利用导数研究得到函数在内没有零点，函数的零点在内，即得的值.

【详解】因为函数是定义在上的单调函数，且对任意的都有，

所以是一个定值，设，

所以，

所以或（舍去）.

所以，

所以，

所以，

所以函数在是增函数，在是减函数，

因为,所以函数在内没有零点.

因为,函数在是增函数，

所以函数的零点在内，

所以.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：（共70分）

17. 已知复数，记其共轭复数为.

（1）求的值； 

（2）若复数，求复数的模.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由复数，求得，根据复数的运算法则，即可求解；

（2）根据复数的运算法则，化简得，利用模的计算公式，即可求得.

【详解】（1）由题意，复数，可得，

则，所以.

（2）由，

所以.

【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，复数的模的计算，以及复数的四则运算的综合应用，着重考查了计算能力，属于基础题.

18. 据统计,某5家鲜花店今年4月的销售额和利润额资料如下表：

（1）用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程=x+；

（2）如果某家鲜花店的销售额为8千元时,利用(1)的结论估计这家鲜花店的利润额是多少.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为

【答案】（1）=0.5x+0.4.（2）4.4千元.

【解析】

【分析】

(1)根据回归直线方程的计算方法,分别计算,以及与即可.

(2)代入到(1)中所求得的回归方程估算即可.

【详解】解：(1)设回归直线方程是=x+.

由题中的数据可知=3.4,=6.

∴

,

=3.4-0.5×6=0.4,

∴利润额y关于销售额x的回归直线方程为=0.5x+0.4.

(2)由(1)知,当x=8时,=0.5×8+0.4=4.4,

即当销售额为8千万元时,可以估计该鲜花店的利润额为4.4千元.

【点睛】本题主要考查了根据线性回归方程的求解方法以及实际意义与估算的问题.属于基础题.

19. 已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）

【解析】

【分析】

（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；

（2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；

【详解】解：（1）∵

所以

∴当时，，当时，；

即的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）由得，

将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，

由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象，

∴实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题.

20. 如图，AB是圆O的直径，C是圆上的点，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AB.

（1）求证：PA⊥平面ABC；

（2）若PA=AC=2，求点A到平面PBC的距离．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）证明BC⊥平面PAC得到BC⊥PA，结合题目条件PA⊥AB得到证明.

（2）令BC＝a，利用等体积法，解得距离.

【详解】（1）∵AB是圆O的直径，∴ AC⊥BC ，

又平面PAC⊥平面ABC且平面PAC平面ABC＝AC，

∴ BC⊥平面PAC，平面，∴ BC⊥PA，

又PA⊥AB，，∴ PA⊥平面ABC.

（2）由（1）知PA⊥AC，BC⊥PC，令BC＝a，∵PA=AC=2，∴PC＝2，

∴ ，，

设点A到平面PBC的距离为d，

则由得：，∴ .

 即A到平面PBC的距离为.

【点睛】本题考查了线面垂直，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，等体积法的灵活运用是解题的关键.

21. 2020年，我国继续实行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取50人调查专项附加扣除的享受情况.

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的50人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有5人，分别记为.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这5人中随机抽取2人接受采访.

（1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（2）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除全都不相同”，求事件发生的概率.

【答案】（Ⅰ）12人、18人和20人；（Ⅱ）（1）所有可能的抽取结果有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种；（2）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据分层抽样的方法，即可求解老、中、青员工中分别抽取的人数；

（Ⅱ）（1）从已知的5人中随机抽取2人，利用列举法，即可求得所有的基本事件；

（2）由表格中数据，利用列举法得到符合题意的所有基本事件，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】（Ⅰ）由题意，单位老、中、青员工共有人，

根据分层抽样的分法，可得：老年员工应抽取人人，

中年员工应抽取人，青年员工应抽取人

（Ⅱ）(1) 从编号为的5人中随机抽取2人接受采访，可得所有可能的抽取结果有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共有10种.

(2)由题中表格可知，事件M包含的基本事件只有AC，BC，DE，共有3种，

所以事件发生的概率.

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及分层抽样的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，记函数在上的最大值为，最小值为，求的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，讨论的取值范围，分别求出的范围，从而确定函数的单调性. （2）根据（1）的结论，确定函数在上的单调性，从而确定函数取最值的位置，即可求出的表达式，然后根据的范围求出的取值范围.

【详解】解：（1）∵

∴当时，由得，或，由得，，

当时，

当时，由得，或，由得，，

∴当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；

当时，的单调递增区间是；

当时，的单调递增区间是， ，单调递减区间是.

（2）∵当时，，又， 

∴由（1）知，在递减，在上递增，

故

又，，

∴，

于是

当时，是关于的减函数，

∴

当时，也是关于的减函数，

∴

综上可得的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查根据单调性求函数的最值，考查学生分类讨论的思想和分段函数求最值，属于中档题.