2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（含答案），共28页。试卷主要包含了【知识再现】等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•云南模拟）如图，已知点B是线段AD上的一点，EB⊥AD于点B，AF⊥DE于点F，AF交EB于点C，且BC＝BD．
（1）求证：△ABC≌△EBD；
（2）若BC＝3，BE＝5，求线段AD的长．

2．（2021•新昌县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点G为BD上一点．连接CG并延长与AB相交于点F，连接EG．已知∠1＝∠2．
（1）若BD平分∠ABC，求证：△DBC≌△DBE．
（2）若BD＝4，求CG的长．
（3）若∠EGF＝80°，求∠A的度数．

3．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

4．（2021•五华区二模）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．

5．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．

6．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

7．（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系： ；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．

8．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

9．（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
10．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：三角形（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•云南模拟）如图，已知点B是线段AD上的一点，EB⊥AD于点B，AF⊥DE于点F，AF交EB于点C，且BC＝BD．
（1）求证：△ABC≌△EBD；
（2）若BC＝3，BE＝5，求线段AD的长．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）证出∠A＝∠E，根据AAS可证明△ABC≌△EBD；
（2）由全等三角形的性质可得出AB＝BE，可求出AB，BD的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵EB⊥AD，
∴∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠D+∠E＝90°，
∵FA⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△EBD，
∴AB＝BE，
∵BE＝5，
∴AB＝5，
∵BC＝BD，BC＝3，
∴BD＝3，
∴AD＝AB+BD＝8．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△ABC≌△EBD．
2．（2021•新昌县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点G为BD上一点．连接CG并延长与AB相交于点F，连接EG．已知∠1＝∠2．
（1）若BD平分∠ABC，求证：△DBC≌△DBE．
（2）若BD＝4，求CG的长．
（3）若∠EGF＝80°，求∠A的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）利用角平分线的定义及AAS定理证明三角形全等；
（2）根据等腰三角形的判定与性质及直角三角形的性质求解即可；
（3）利用圆周角定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEB＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△DBC和△DBE中，
，
∴△DBC≌△DBE（AAS）；
（2）∵∠DEB＝90°，
∴∠DBE+∠1＝90°，∠2+∠BEG＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠DBE＝∠BEG，
∴EG＝BG，
∵∠1＝∠2，
∴DG＝EG，
∴DG＝BG，
在Rt△DBC中，∠DCB＝90°，BD＝4，
∴CG＝BD＝2；
（3）∵DG＝EG＝BG＝CG，
∴点C，D，E，B在以G为圆心，DG为半径的圆上，
∵∠EGF＝80°，
∴∠ABC＝∠EGC＝（180°﹣∠EGF）＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝40°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理是解题的关键．
3．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝140°，
∴∠OBC＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2021•五华区二模）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】证明△ACE≌△BCD即可得出AE＝BD．
【解答】证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的条件是解决问题的关键．
5．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【分析】（1）连接EC，根据题意易推出∠BAD＝∠CAE，从而证明△BAD≌△CAE，得到AF∥CE，再利用平行线分线段成比例的性质求解即可．
（2）作相关辅助线构造直角三角形△DGM和△CGN，先由角之间的互余关系推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据等角的正弦值相等得出边之间的关系DM＝CN，从而证明△DGM≌△CGN，利用全等三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图，

连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，
∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，则CE⊥BD，
∵AF⊥BD，
∴AF∥CE，BF＝FC，
∴＝＝1，
∴BG＝EG．
（2）解：如图，

过点D作DM⊥AG，垂足为点M，过点C作CN⊥AG，交AG的延长线于点N，
在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，
设AE＝a，AB＝b，则AD＝a，AC＝b，
∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴sin∠1＝sin∠2，
∴＝，即＝＝＝，
同理可证∠3＝∠4，＝＝，
∴＝，
∴DM＝CN，
在△DGM和△CGN中，有：
，
∴△DGM≌△CGN（AAS），
∴DG＝CG，
∴＝1．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及含30度角的直角三角形，可以从目标线段出发去作辅助线，通过辅助线构造直角三角形或全等三角形，利用其性质进行求解．
6．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，然后即可得得到四边形DEBG的形状，再根据题目中的条件，可以证明△ADE和△CDG全等，然后即可得到结论成立；
（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到EF的长，然后根据DE的长，即可得到DF的长．
【解答】（1）证明：作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，如右图所示，
∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，
∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，
∴四边形DEBG是矩形，
又∵DE＝BE，
∴四边形DEBG是正方形，
∴DG＝BE，∠EDG＝90°，
∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DA＝DC；
（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，
∴AE＝3，DE＝＝＝3，
由（1）知，△ADE≌△CDG，四边形DEBG是正方形，
∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，
∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AB＝AE+BE＝3+3，
∵FE⊥AB，BC⊥AB，
∴FE∥CB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得EF＝6﹣3，
∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，
即DF的长是6﹣6．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明△ADE和△CDG全等和求出EF的长，利用数形结合的思想解答．
7．（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系： BE＝AD ；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．

【考点】三角形综合题．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）①根据题意当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出BE＝AD；
②通过SAS求证△ACD≌△BCE，即可找到线段BE与AD的数量关系；
（2）①根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证△DCA∽△ECB即可找到线段BE与AD的数量关系；
②分两种情形：当点D在△ABC外部，根据已知条件，利用两角对应相等求证△EFB∽△CFA，再利用相似比结合勾股定理即可算出EF的长，进而表示出EC的长即可求出DC的长．当点D在△ABC内部时，当点D在△ABC内部时，过点DH⊥AC于点H，根据已知条件得出DH和CH，在△CDH中，根据勾股定理求出CD的值，综上可得结论．
【解答】解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝DC，
又∵BE＝BC﹣EC，
AD＝AC﹣DC，
∴BE＝AD，
故答案为：BE＝AD；
②BE＝AD，理由如下：
当点D不在AC上时，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）①BE＝AD，理由如下：
当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，
在等腰直角三角形ABC中：＝，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA∽△ECB，
∴，
∴BE＝，
②DC＝5或，理由如下：
当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：

∵AB＝3，AD＝1
由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，
又∵BE∥AC，
∴∠EBF＝∠CAF＝90°，
而∠EFB＝∠CFA，
∴△EFB∽△CFA，
∴＝＝，
∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，
∴BF＝＝，
在Rt△EBF中：EF＝＝＝，
又∵CF＝3EF＝3×＝，
∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5），
在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cs45°＝5×＝5．
当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H

∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45°
∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝，
∴CD＝＝＝，
综上所述，满足条件的CD的值为5或．
【点评】本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键．
8．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）连接AD，证明△ADF≌△CDE（SAS），可得AF＝CE．
（2）结论：CE2+BF2＝BC2，利用全等三角形的性质证明BF＝AE，再证明∠AEC＝90°，可得结论．
（3）设EH＝m．证明△ADH∽△CEH，可得＝＝＝＝2，推出DH＝2m，推出AD＝CD＝2m+2，EC＝m+1，在Rt△CEH中，根据CH2＝EH2+CE2，构建方程求出m即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，
AD＝DB＝DC．
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∵DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE．

（2）结论：CE2+BF2＝BC2．
理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，
∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，
∴∠BAF＝∠ACE，
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE（SAS），
∴BF＝AE，
∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴BF2+CE2＝BC2．

（3）解：设EH＝m．
∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，
∴△ADH∽△CEH，
∴＝＝＝＝2，
∴DH＝2m，
∴AD＝CD＝2m+2，
∴EC＝m+1，
在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，
∴22＝m2+（m+1）2，
∴2m2+2m﹣3＝0，
∴m＝或（舍弃），
∴AE＝AH+EH＝，
∴AD＝1+，
∴AC＝AD＝+．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF≌△CDE，△BAF≌△ACE，△ADH∽△CEH．
9．（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 AE＝AD ．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；推理能力．
【分析】【简单应用】证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
【拓展延伸】①结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【解答】【简单应用】解：如图（1）中，结论：AE＝AD．

理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．

【拓展延伸】解：①结论：AE＝AD．

理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．

②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．

理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cs（180°﹣α）＝m•cs（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cs（180°﹣α）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
10．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC；
（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG＝∠AEH＝45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，ii）如图4，当AG＝QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，

由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，

∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，

∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．
考点卡片
1．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

3．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
4．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
7．三角形综合题
三角形综合题．