2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：圆（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：圆（含答案），共33页。试卷主要包含了如图，已知AB是⊙O的直径等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•思明区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．

2．（2021•甘肃模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点．且∠BDE＝∠A．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DE＝3，∠C＝60°，求CD的长．

3．（2021•蒙阴县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线上于点D，连接BC．
（1）求证：∠BCD＝∠BAC；
（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．

4．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

5．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

6．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

7．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

8．如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

9．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

10．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：圆（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•思明区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于M，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠AOC的度数，求出∠OAC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OM，根据勾股定理求出AM，再根据垂径定理求出AM＝CM＝2，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵
∴∠DCF＝∠BAC＝25°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，
又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，
连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，
∵，
∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，OM⊥AC，
∴，∠AOM＝60°，
∴，
∴．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外角性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
2．（2021•甘肃模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点．且∠BDE＝∠A．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DE＝3，∠C＝60°，求CD的长．

【考点】含30度角的直角三角形；圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】（1）要证明DE与⊙O相切，想到连接OD，只要证明∠ODE＝90°即可，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而得∠ADO+∠ODB＝90°，再根据等边对等角和已知证出∠BDE＝∠ADO即可解答；
（2）根据已知可得∠A＝30°，从而求出∠DOB＝60°，进而得△ODB是等边三角形，然后在Rt△DOE中，利用锐角三角函数求出OD的长，最后在Rt△CDB中即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠BDE＝∠A，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
即∠ODE＝90°，
∵OD是圆O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴OD＝DB，
在Rt△ODE中，DE＝3，
∴OD＝＝＝3，
∴DB＝OD＝3，
在Rt△CDB中，∠C＝60°，
∴CD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，含30度角的直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2021•蒙阴县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线上于点D，连接BC．
（1）求证：∠BCD＝∠BAC；
（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．

【考点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠OCA＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠OCA，于是得到∠BCD＝∠BAC；
（2）设⊙O的半径为r，得到AB＝2r，求得r＝2，∠AOC＝120°，BC＝2，过O作OH⊥AC于H，得到OH＝BC＝1，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB是是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
又∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠BCD＝∠BAC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∴AB＝2r，
∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，
∴OD＝2r，∠COB＝60°，
∴r+2＝2r，
∴r＝2，∠AOC＝120°，BC＝2，
过O作OH⊥AC于H，
∴AH＝CH，
∵AO＝OB，
∴OH＝BC＝1，
由勾股定理可知：AC＝2，
∴S△AOC＝×2×1＝，
∴S扇形OAC＝＝π，
∴阴影部分面积为π﹣，

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；应用意识．
【分析】（1）连接OC，由垂径定理可知∠GFB＝90°，由切线性质可知∠OCP＝90°，通过导角得到∠FGB＝∠PCG，∠PCG＝∠PGC，即可证明PC＝PG；
（2）连接EC、CD，证明△PCD∽△PEC，再由PC＝PG，即可证明；
（3）连接OG，EO，由垂径定理可得OG⊥BC，在Rt△BOG中，求出OB＝5，BG＝2，再证明△FGB∽△GOB，由对应边的比例关系，可求FB＝4，OF＝1，在Rt△EOF中，求出EF＝2，则ED＝4．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴＝，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴＝，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，EO，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，
∴OB＝5，BG＝2，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴＝，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝2，
∴ED＝4．


【点评】本题是圆的综合题，难度较大，通过三角形相似，对应边成比例是证明（2）等积式的常用方法，熟练应用垂径定理，构造直角三角形求解是解题的关键．
5．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE＝EM ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；

（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；

（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．

【点评】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
6．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

【考点】圆的综合题．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB＝∠ODA，则∠CAD＝∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE＝3，AD＝2，解直角三角形得到∠DAB＝30°，则∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，DF＝2，再根据S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM＝，EM＝，则MB＝，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△OGD∽△EGA，
∴＝，
∵＝，⊙O的半径为2，
∴＝，
∴AE＝3，
如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即＝，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，cs∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝30°，
∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，
∴∠F＝30°，
∵OD＝2，
∴DF＝＝＝2，
∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB＝×2×2﹣＝2﹣；
（3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，

在Rt△AEM中，AM＝AE•cs60°＝3×＝，EM＝AE•sin60°＝，
∴MB＝AB﹣AM＝4﹣＝，
∴BE＝＝＝．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
7．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

【考点】正方形的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；解直角三角形．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径比较，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【解答】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP是直径，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
备注：本题也可以用面积法，连接PQ，PE，设BP＝x，

在Rt△PEQ中，
PE2＝x2+（2﹣4）2，
在Rt△PEC中，
PE2＝（4﹣x）2+22，
则x2+（2﹣4）2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝PB＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

【考点】圆的综合题．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】（1）当点H，O重合时，由AC＝CD知，OC是直角三角形斜边上的中线，即OC＝AD，又OC＝OA，即OA＝AD，得∠ABC＝30°，即可得sinθ的值；
（2）证△BHF∽△DCF∽△DHA，根据线段比例关系即可证；
（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，根据弧长公式求出弧AC的长度，即可确定圆锥的底面半径，根据母线和底面半径利用勾股定理即可求高．
【解答】解：（1）当点H，O重合时，如图，连接OC，

∵AC＝CD，
∴OC是直角三角形斜边上的中线，
∴OC＝AD，
又∵OC＝OA，
即OA＝AD，
∴∠D＝30°，
又∵∠D+∠DAO＝90°，∠ABC+∠DAO＝90°，
∴∠ABC＝∠D＝30°，
∴sinθ＝；
（2）∵∠DCB＝∠DHB＝∠ACB＝90°，
由（1）知∠ABC＝∠D，
∴△BHF∽△DCF∽△DHA，
∴BH：DC：DH＝HF：CF：HA，
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，
∴的长＝π•AB＝2π，
即圆锥的底面周长为2π，
∴圆锥的底面半径r＝＝1，
∵圆锥的母线＝OA＝4，
∴圆锥的高h＝＝＝，
即圆锥的底面半径和高分别为1和．
【点评】本题主要考查圆的综合题，设计相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆心角，圆周角，圆的周长及圆锥的高等等知识点，熟练掌握圆和圆锥的基础概念以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OD，先判断出∠ODB＝∠ACB，进而得出OD∥AC，进而判断出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）连接OM，先求出MG＝，设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，进而求出OG＝r，最后用勾股定理求解，即可得出结论；
（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成BC＝﹣1，连接AD，再求出CD＝，再判断出△DEC∽△ADC，得出比例式求解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN＝，
∴MG＝MN＝，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，
∵，
∴AG＝AB＝r，
∴OG＝OA﹣AG＝r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，
∴（r）2+（）2＝r2，
∴r＝1，
即⊙O的半径为1；

（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，
∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为1，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），
∴BC＝﹣1，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD＝BC＝，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴，
∴，
∴CE＝．



【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造直角三角形或相似三角形是解本题的关键．
10．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）证明OP⊥AB，BC⊥AB，可得结论．
（2）设OE＝m，用m的代数式表示AB，OP，构建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB，求解即可．
（3）在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，在Rt△ADE中，根据AD2＝AE2+DE2，构建方程求出x，再证明sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，可得结论．
【解答】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.

（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．

（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，
∴x＝1或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAP＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，
∴PA＝3AE＝6．

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
2．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
3．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
4．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
6．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
7．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
8．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
9．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
10．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
11．圆的综合题
圆的综合题．
12．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）