2020-2021学年河南省周口市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年河南省周口市某校高二（下）3月月考数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知函数y=2x2+3，则y在2,2.1上的平均变化率为( )
B.8.2D.4.1

2. 一质点M按运动方程st=−kt2+4（位移单位：m，时间单位：s）做运动．若质点M在t=5s时的瞬时速度为20m/s，则常数k的值为( )
A.1B.2C.−2D.−1

3. 下列求导运算正确的是( )
A.ax+1′=axB.1x′=−1x2
C.csx′=sinxD.lnx+1′=1x+1

4. 设函数fx在x=−2处的导函数值为2，则limΔx→0f−2+Δx−f−2−2Δx=( )
A.2B.−2C.1D.−1

5. 曲线fx=xex在点(1,f(1))处的切线的方程为( )
A.y=2ex−eB.y=2x−1C.y=2x−eD.y=2ex−1

6. 已知函数fx=sin3x+π6，那么f′π6的值为( )
A.32B.−32C.−12D.12

7. 已知函数fxx∈−3,5的导函数为f′x，若f′x的图象如图所示，则下列说法正确的是( )

A.fx在x=−2处取得极大值
B.fx在−12,83上单调递减
C.fx在−2,1上单调递增
D.fx在x=83处取得极小值

8. 函数fx=lnx+ex在区间0,+∞上的最小值是( )
A.1B.2C.eD.1+e

9. 由曲线y=1x与直线y=x及y=3所围成的封闭区域的面积为( )
A.4−ln3B.4+ln3C.2−ln3D.2+ln3

10. 设函数fx=ex−ax2在区间12,2上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(−∞,e2]B.(−∞,e]C.(−∞,e24]D.(−∞,e2]

11. 若一直线与曲线y=ex和曲线y=ax2a>0相切于同一点P，则a的值为( )
A.e2B.e24C.2D.4

12. 已知函数fx=12x2−ax+lnx，对于任意不同x1，x2∈0,+∞，有fx1−fx2x1−x2>3，则实数a的取值范围为( )
A.a≤−1B.a≥−1C.a≤1D.a≥1
二、填空题

一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是st=3t−t3（s的单位是：m，t的单位是：s），则物体在t=2s时的瞬时加速度是________m/s2 .
三、解答题

求下列各函数的导数：
(1)y=x−32x2+1；

(2)y=lnxex；

(3)y=x2sin2x．

已知函数fx=2x2−3x+2ex .
(1)求y=fx在0,2处的切线方程；

(2)求函数fx的极值．

已知函数fx=x3+ax2+bx+c .
(1)若a=32，b=−6，且fx有三个零点，求c的取值范围；

(2)若a=b23，且fx在x=−1处有极大值，求当x∈−3,1时，fx的值域．

设函数fx=ex−ax+1，其中e为自然对数的底数．
(1)若fx≥0在−1,+∞上恒成立，求a的取值范围；

(2)求证：ex>lnx+2 .

某矿泉水公司要设计一个圆柱形容器，它由上下两部分组成，上面杯盖的形状是圆柱O1O2，下面杯体的形状是圆柱OO1（如图所示），且上下圆柱的半径之比为1:5，高度之比为1:11．设计要求为：插入一根吸管PQ，使得吸管在容器内的长度为30cm．

(1)若O1O2=2cm．求圆柱形容器（含杯盖）的表面积；

(2)若要求圆柱形容器的体积最大，则应该如何设计？

已知函数fx=2x−sinx+mlnx，gx=fx+sinx .
(1)求函数gx的单调区间和极值；

(2)若存在x1，x2∈0,+∞，且当x1≠x2时，fx1=fx2，证明：x1x2m20时，f(x)单调递增，由图可知x∈−2,1时，f′x>0时，f(x)单调递增．
【解答】
解：当f′(x)>0时，f(x)单调递增，
由图可知x∈−2,1时，f′x>0，
则函数f(x)在−2,1上单调递增．
故选C .
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】

【解答】
解：因为fx=lnx+ex，
所以f′(x)=1x−ex2=x−ex2.
当03，
不妨设x1lnx+2，可以尝试证明ex>x+1≥lnx+2，即证x−1−lnx≥0．
令h(x)=x−1−lnx，则h′(x)=1−1x，
令h′x=0，则x=1，
当x∈0,1时，h′(x)0，hx单调递增，
所以h(x)min=h(1)=0，
所以hx=x−1−lnx≥0 ，
所以x≥lnx+1.
又ex>x+1，
所以ex>lnx+2 .
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】


【解答】
解：(1)若fx=ex−ax+1≥0在−1,+∞恒成立，
即a≤exx+1恒成立，则a≤exx+1min.
令gx=exx+1，则g′x=exx+1−exx+12=xexx+12，
令g′x=0，则x=0，
当x∈−1,0时，g′x0，gx单调递增，
所以gxmin=g(0)=1，则a≤1.
(2)由(1)知ex−x+1≥0恒成立，只有当x=0时等号成立，
所以x∈0,+∞时，ex−x+1>0，即ex>x+1，
要证ex>lnx+2，可以尝试证明ex>x+1≥lnx+2，即证x−1−lnx≥0．
令h(x)=x−1−lnx，则h′(x)=1−1x，
令h′x=0，则x=1，
当x∈0,1时，h′(x)0，hx单调递增，
所以h(x)min=h(1)=0，
所以hx=x−1−lnx≥0 ，
所以x≥lnx+1.
又ex>x+1，
所以ex>lnx+2 .
【答案】
解：(1)画出圆柱形容器的轴截面如图所示，
其中PQ=30cm，
设上下圆柱的半径分别为r，5r，高度分别为h，11h .
因为O1O2=2cm，
所以h=2，
所以QM=OO2=12h=24，PM=PQ2−PM2=18.
又PM=6r，
所以r=3，
所以圆柱形容器的表面积为：
2×π(5r)2+2π(5r)×11h+2πrh=1122π(cm2) .
(2)因为PQ=PM2+QM2=(6r)2+(12h)2=30，
所以r2=25−4h2，
所以圆柱形容器的容积V=V圆柱O1O2=V圆柱OO1
=πr2h+π(5r)2×11h=276π(25−4h2)h
=276π(25h−4h3)，其中h∈0,52 ，
所以V′=276π25−12h2，
令V′=0，得h=536或h=−536（舍），
当0