2020-2021学年甘肃省天水市某校高二（下）320周考数学试卷

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市某校高二（下）320周考数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设函数y=f(x)在R上可导，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx等于( )
A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1)D.f′(3)

2. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为st=13t3+1，设其在时间段1,2内的平均速度为v1m/s，在t=2时的瞬时速度为v2m/s，则v1v2=( )
A.13B.712C.56D.23

3. 下列求导运算正确的是( )
A.lnx+3x′=1x+3x2
B.x2ex′=2xex
C.3xcs2x′=3xln3⋅cs2x−2sin2x
D.ln12+lg2x′=2+11−ln2

4. 已知函数fx=ex+2xf′1−2x，且fx的导函数为f′x，则f4=( )
A.e4−8e+4B.e4−8e+8C.e4−4e+4D.e4−4e+8

5. 已知a=lg0.25，b=lg32，c=20.2，d=12−2，从这四个数中任取一个数m使函数fx=13x3+mx2+x+2有极值点的概率为( )
A.14B.12C.34D.1

6. a是fx=13x−lg2x的零点，若0A.fx0的符号不确定B.fx0<0
C.fx0=0D.fx0>0

7. 已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：
①函数f(x)在区间(−3, 1)内单调递减；
②函数f(x)在区间(1, 7)内单调递减；
③当x=−3时，函数f(x)有极大值；
④当x=7时，函数f(x)有极小值．
则其中正确的是( )

A.②④B.①④C.①③D.②③

8. 若函数fx=lnx−kx在1,+∞上单调递减，则k的最小值是( )
A.1B.−1C.2D.−2

9. 函数y=x3−3x2−9x−2A.极大值5，极小值−27B.极大值5，极小值−11
C.极大值5，无极小值D.极小值−27，无极大值

10. 已知函数f(x)=xex−mx+m2（e为自然对数的底数）在(0, +∞)上有两个零点，则m的范围是（ ）
A.(0, e)B.(0, 2e)C.(e, +∞)D.(2e, +∞)
二、填空题

已知函数y=sinx在区间[0,π6]，[π3,π2]上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为________．
三、解答题

函数fx=xlnx−ax+1在点A1,f1处的切线斜率为−2.
(1)求实数a的值；

(2)求fx的单调区间和极值．

已知函数fx=axlnx图象上在点 (1,f(1))处的切线与直线y=−12x垂直．
(1)求函数fx 的解析式；

(2)若对所有x≥1都有fx−mx+2≥0，求实数m的取值范围．

设函数fx=a−xex．
(1)求函数的单调区间；

(2)若对于任意的x∈[0,+∞)，不等式fx≤x+2恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市某校高二（下）3.20周考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
导数的概念
【解析】
利用导数的定义即可得出．
【解答】
解：limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=13f​′(1)．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
变化的快慢与变化率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，该质点在时间段[1,2]内的平均速度：
v1=ΔsΔt=13×23+1−13×13+12−1=73m/s，
因为s′(t)=t2，所以s′(2)=4，
即该质点在t=2时的瞬时速度为v2=4m/s，
所以v1v2=712．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
根据函数的导数公式求导即可．
【解答】
解：A，lnx+3x′=1x−3x2，故A错误；
B，x2ex′=2xex+x2ex，故B错误；
C，3xcs2x′=3xln3⋅cs2x−3x⋅2sin2x=3xln3⋅cs2x−2sin2x， 故C正确；
D，ln12+lg2x′=1xln2，故D错误.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
函数的求值
【解析】
本题考查导数的运算等基本知识，考查运算求解等能力.
【解答】
解：由题意得，f′x=ex+2f′1−1x,
则f′1=e+2f′1−1，
所以f′1=1−e，
所以fx=ex+2−2ex−2x,
所以f4=e4−8e+4.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
古典概型及其概率计算公式
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用极值首先确定m>1或m<−1，再利用古典概率，即可得出答案.
【解答】
解：fx=13x3+mx2+x+2 ，
可得f′x=x2+2mx+1．
若函数fx有极值点，则方程x2+2mx+1=0有根，
故Δ=4m2−4>0 ，解得m>1或m<−1.
而a=lg0.25=−1，0c=20.2>1，d=12−2>1，
满足条件的有2个，分别是c，d，
故满足条件的概率P=24=12.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
函数的零点
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据0【解答】
解：∵ a为函数f(x)=(13)x−lg2x的零点，
∴ f(a)=0，
∵ f(x)=(13)x−lg2x，且x>0，
∴ f′(x)=(13)xln13−1xln2，且f′(x)<0，
∴ f(x)在(0, +∞)上是减函数.
∵ 0∴ f(x0)>0.
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性与导数的关系
函数在某点取得极值的条件
【解析】
本小题考查导数的运用；根据导数值与0的关系判断各个选项即可．
【解答】
解：根据图象可以看出在区间(−5, 1)和(7, +∞)内，f′(x)>0，
在区间(−∞, −5)和(1, 7)内，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(−3, 1)内单调递增，在(1, 7)内单调递减，
函数在x=−5和x=7处有极小值，在x=1处有极大值．
所以②④正确．
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用导数，首先判断导数的正负性，即可求出参数方程.
【解答】
解：∵ fx=lnx−kx，
∴ f′x=1x−k，
∵ fx在区间1,+∞上单调递减，
∴ f′x=1x−k≤0在1,+∞上恒成立，
∴ k≥1，
∴ kmin=1.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ y=x3−3x2−9x−2∴ y′=3x2−6x−9，
令y′=0，解得：x1=−1，x2=3（舍去），
令y′>0，得−2由极值的概念可知，当x=−1时，
函数y=x3−3x2−9x−2故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．
【解答】
解：由f(x)=xex−mx+m2=0得，
xex=mx−m2=m(x−12)，
当x=12时，方程不成立，即x≠12，
则m=xexx−12，
设h(x)=xexx−12，(x>0且x≠12)，
则h′(x)=(xex+ex)(x−12)−xex(x−12)2
=ex(x2−12x−12)(x−12)2
=12ex(x−1)(2x+1)(x−12)2，
∵ x>0且x≠12，
∴ 由h′(x)=0得x=1，
当x>1时，h′(x)>0，函数为增函数，
当0则当x=1时函数取得极小值，极小值为h(1)=2e，
当0要使m=xexx−12有两个不同的根，
则m>2e即可，
即实数m的取值范围是(2e, +∞).
故选D．
二、填空题
【答案】
k1>k2
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
【解答】
解：当x∈[0, π6]时，平均变化率k1=sinπ6−sin0π6=3π，
当x∈[π3, π2]时，平均变化率k2=sinπ2−sinπ3π2−π3=3(2−3)π，
所以k1>k2，
故答案为：k1>k2．
三、解答题
【答案】
解：(1)f(x)=xlnx−ax+1，
则f′(x)=lnx+1−a，
在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=1−a=−2，
即1−a=−2，
∴a=3.
(2)由(1)得，f′(x)=lnx−2，x∈(0,+∞)，
令f′(x)>0，得：x>e2，
令f′(x)<0，得：0即f(x)的增区间为(e2,+∞)，减区间为(0,e2)，
在x=e2处取得极小值1−e2，无极大值．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】


【解答】
解：(1)f(x)=xlnx−ax+1，
则f′(x)=lnx+1−a，
在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=1−a=−2，
即1−a=−2，
∴a=3.
(2)由(1)得，f′(x)=lnx−2，x∈(0,+∞)，
令f′(x)>0，得：x>e2，
令f′(x)<0，得：0即f(x)的增区间为(e2,+∞)，减区间为(0,e2)，
在x=e2处取得极小值1−e2，无极大值．
【答案】
解：(1)函数fx=axlnx的导数为f′x=a1+lnx，
所以图象上在点1,f1处的切线斜率为a.
由切线与直线y=−12x垂直，则a=2，
所以fx=2xlnx.
(2)对所有x≥1都有fx−mx+2≥0，
即2xlnx−mx+2≥0，
即有m≤2lnx+2x对x≥1恒成立.
设gx=2lnx+2x，
则g′x=2x−2x2=2x−1x2，
由x≥1可得g′x≥0，gx单调递增，
所以gx的最小值为g1=2，
则m≤2，
即m的取值范围是(−∞,2].
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到a，进而得到所求解析式；
（2）由题意可得2xlnx−mx+2≥0，即有m≤2lnx+2x在x≥1恒成立，设gx=2lnx+2x，求得导数和单调性、最小值，即可得到所求范围．
【解答】
解：(1)函数fx=axlnx的导数为f′x=a1+lnx，
所以图象上在点1,f1处的切线斜率为a.
由切线与直线y=−12x垂直，则a=2，
所以fx=2xlnx.
(2)对所有x≥1都有fx−mx+2≥0，
即2xlnx−mx+2≥0，
即有m≤2lnx+2x对x≥1恒成立.
设gx=2lnx+2x，
则g′x=2x−2x2=2x−1x2，
由x≥1可得g′x≥0，gx单调递增，
所以gx的最小值为g1=2，
则m≤2，
即m的取值范围是(−∞,2].
【答案】
解：(1)∵ fx=a−xex，
∴ f′(x)=(a−x−1)ex，
令f′(x)>0，得x令f′x<0，得x>a−1，
∴ 函数fx的单调递增区间为(−∞,a−1)，
单调递减区间为a−1,+∞.
(2)若对于任意的x∈[0,+∞)，不等式fx≤x+2恒成立，
即a≤x+2ex+x对于任意的x∈[0,+∞)恒成立.
令g(x)=x+2ex+x，x∈[0,+∞)，
则g′(x)=ex−(x+1)ex，
令h(x)=ex−(x+1)，x∈[0,+∞)，
则h′(x)=ex−1≥h′(0)=0，
∴ h(x)在x∈[0,+∞)上单调递增，即h(x)≥h(0)=0，
∴ g′(x)在x∈[0,+∞)上恒有g′x>0成立．
∴ g(x)在x∈[0,+∞)上单调递增，
∴ gx≥g0=2，
即a≤2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ fx=a−xex，
∴ f′(x)=(a−x−1)ex，
令f′(x)>0，得x令f′x<0，得x>a−1，
∴ 函数fx的单调递增区间为(−∞,a−1)，
单调递减区间为a−1,+∞.
(2)若对于任意的x∈[0,+∞)，不等式fx≤x+2恒成立，
即a≤x+2ex+x对于任意的x∈[0,+∞)恒成立.
令g(x)=x+2ex+x，x∈[0,+∞)，
则g′(x)=ex−(x+1)ex，
令h(x)=ex−(x+1)，x∈[0,+∞)，
则h′(x)=ex−1≥h′(0)=0，
∴ h(x)在x∈[0,+∞)上单调递增，即h(x)≥h(0)=0，
∴ g′(x)在x∈[0,+∞)上恒有g′x>0成立．
∴ g(x)在x∈[0,+∞)上单调递增，
∴ gx≥g0=2，
即a≤2．