四川省遂宁市2021届高三下学期4月第三次诊断性考试（三诊）理科数学试题 Word版含答案

这是一份四川省遂宁市2021届高三下学期4月第三次诊断性考试（三诊）理科数学试题 Word版含答案，共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回，设，为双曲线C，已知斜率为的直线过抛物线等内容，欢迎下载使用。
遂宁市高中2021届三诊考试数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．已知集合，，则下列判断正确的是A．                B．        C．且       D． 2．已知，则A．           B．         C．          D． 3. 已知随机变量服从正态分布，，则A.          B.        C.        D. 4．已知等差数列满足，，则它的前项的和A．            B．           C．          D． 5．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为，则实数A．            B．          C．          D． 6. 在递增的数列中，，若，，前项和．则A．              B．            C．            D． 7. 将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是附：柱体的体积公式（为底面面积，为柱体的高）锥体的体积公式（为底面面积，为锥体的高）台体的体积公式（，为台体的上、下底面面积，为台体的高）A.          B.          C.         D. 8．设，为双曲线C:的左、右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于，两点，若，则该双曲线的离心率为A.       B.       C.        D. 9. 已知函数为上的奇函数，当时，；若， ，，则A.         B．         C.      D. 10．已知在中，角所对的边分别为，且，. 又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为A．         B．          C.          D． 11. 已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，交于点，且（其中，），则的最小值为A.                      B.     C.                      D. 12. 已知函数，，又当时，恒成立，则实数的取值范围是A．     B．　    C．  D．   第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。  本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。  二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13．复数（其中为虚数单位），则   ▲   14．已知向量，，且与垂直，则   ▲   15．在的展开式中，的系数为   ▲   （用数字作答）16．已知斜率为的直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点（点在点的左侧），又为坐标原点，点也为抛物线上一点，且，，则实数的值为   ▲   三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知数列中，， （1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求 ▲ 18.（本小题满分12分）某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图. （1）求所抽取的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的人数为，求的分布列和数学期望. ▲19. （本小题满分12分）如图, 在直四棱柱中, 底面四边形为梯形, 点为上一点, 且，∥, （1）求证：∥平面；（2）求二面角的正弦值.    ▲ 20.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，的面积为，点为椭圆的下顶点， （1）求椭圆的标准方程；（2）经过抛物线的焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围 ▲ 21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：；（3）求证：当时，方程有且仅有个实数根. ▲  请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若，求以曲线与轴的交点为圆心，且这个交点到直线的距离为半径的圆的方程。 ▲ 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）当取最小值时，求使得成立的正实数的取值范围． ▲ 
遂宁市高中2021届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见  一、选择题（12×5=60分）题号123456789101112答案ACACBBCBDDAA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13.          14．         15．           16．或三、解答题：本大题共70分。17．（本小题满分12分）【解析】（1）因为，令，则，又，所以，                                         ……………………2分对两边同时除以，得， ………………4分又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，……………………5分所以，故；           ……………………6分（2）由（1）得：                           ……………………7分所以，则两式相减得……………………10分 所以故                               ……………………12分18. （本小题满分12分）【解析】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率：；的频率为：，∴.………………… 4分（2）根据题意得每个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的概率为，                                   ……………………5分所以，的可能取值为：0，1，2，3，4，，，，，，       ……………………10分∴的分布列为：01234……………………11分∴.       ……………………12分19. （本小题满分12分）【解析】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以∥， ………1分又已知，所以点为的中点，       ……………………2分又，且∥，所以且∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，                              ……………………3分又在平面中，，在平面中，，由面面平行的判定定理的推论知平面∥平面，又平面，所以∥平面                                                   ……………………5分（2）由（1）知点为的中点，所以为的边上的中线，而，所以由在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形，且这边所对的角为直角知，为直角三角形，且为直角，故，又在直四棱柱中，底面，所以两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示，      ……………………7分则，，，，设平面的一个法向量为，又，，则由得，即，令，则，，所以                              ……………………9分同理，设平面的一个法向量为，又，，则由得，即，令，则，，所以，                                        ……………………10分所以，                       ……………………11分设二面角的平面角为，则，故所求二面角的正弦值为                        ……………………12分20. （本小题满分12分）【解析】（1）因为为直角三角形，所以，则，                                               ……………………2分又，所以，又，所以，则，                       ……………………4分，故椭圆的标准方程为   ………………5分（2）因为抛物线的焦点坐标为，所以点的坐标为，设， 又因为①若直线与轴重合，……………7分②若直线不与轴重合，设直线的方程为，则，消去得，所以，，则由两点间的距离公式有，同理，                              ……………………9分所以，因为，所以，所以，        ……………………11分综上①②可知，即的取值范围是                       ……………………12分21. （本小题满分12分）【解析】（1）因为，，故在点处的切线斜率为，点为，故所求的切线方程为……………………3分（2）令，的定义域为，， ………4分 当时，恒成立，∴在上单调递减，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴当时，恒成立，           ……………………6分故当时，；                 ……………………7分（3）由，即，则设，的定义域为，，设，的定义域为，， 当时，恒成立，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的使得，                                         …………………… 9分当时，则，∴在上单调递增，当时，则，∴在上单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值，从而又，，，                         ………………11分∴在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根………………12分22．（本小题满分10分）【解析】（1）由，得，因为，所以，即，又，所以，即曲线的极坐标方程为；      ……………………3分因为直线的极坐标方程为，即，又，所以直线的直角坐标方程为。…………………5分（2）因为，由（1）知曲线的普通方程为（）；它与轴的交点为，                                              ……………………7分又直线的直角坐标方程为，故由点到直线的距离公式有：曲线与轴的交点到直线的距离。                 ……………………9分故所求的圆的方程为                   ……………………10分 23．（本小题满分10分）【解析】（1）由不等式可得，可化为或或解得或或，综上不等式的解集为……5分（2）因为，当且仅当，即时，等号成立．故当时，，                                             ……………………7分法一：又当取最小值时，，即，所以，即，                ……………………9分解得，故所求m的取值范围                  ……………………10分法二： 又，故所求m的取值范围……………10分