2021-2022学年四川省内江市隆昌市知行中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省内江市隆昌市知行中学八年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 下列各式中，是分式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子从左边至右边变形错误的是

A.  B.  C.  D.

3. 函数自变量的取值范围是

A.  B.  C. 且 D.

4. 把下列分式中，的值都同时扩大到原来的倍，那么分式的值保持不变是

A.  B.  C.  D.

5. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

6. 八年级班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳个，小王跳个所用的时间和小张跳个所用的时间相等．设小王跳绳速度为个每分钟，则列方程正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是

A.  B.  C.  D.

8. 已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为

A. 且 B.
C. 且 D.

9. 直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的

A.  B.
C.  D.

10. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在矩形中，点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，已知关于的函数关系如图所示，则长方形的面积为

A.  B.  C.  D.

12. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 若分式的值为，则实数的值为______ ．
14. 席卷全球的新型冠状病毒是肉眼看不见的，它的半径约为米，将用科学记数法表示为______．
15. 已知三个数，，满足，，，则的值为______．
16. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于，两点，直线：过原点且与直线相交于，点为轴上一动点．当的值最小时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）

17. 计算或化简：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中；
    先化简：，再从，，三个数中任选一个你喜欢的数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 解下列方程．
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 为支援灾区，某学校献爱心活动小组准备用筹集的资金购买甲、乙两种型号的学习用品共件．已知乙型学习用品的单价比甲型学习用品的单价多元，用元购买乙型学习用品与用元购买甲型学习用品的件数相同．
    求甲，乙两种学习用品的单价各是多少元；
    若购买这批学习用品的费用不超过元，则最多购买乙型学习用品多少件？
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
    求、的值；
    请直接写出不等式的解集；
    若点在上，且满足，求点的坐标．

22. 阅读下列解题过程：
    已知，求的值．
    解：由，知，所以，即．
    
    的值为的倒数，即．
    以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
    已知，求的值．
    已知，求的值．
    已知，，，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
B、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
C、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
D、的分母中含有字母，是分式，符合题意．
故选：．
分式的分母必须含有字母．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：由题意得，，，
解得，且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：、，分式的值保持不变，故此选项符合题意；
B、，分式的值改变，故此选项不符合题意；
C、，分式的值改变，故此选项不符合题意；
D、，分式的值改变，故此选项不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，，的值都同时扩大到原来的倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
 

5.【答案】

【解析】

解：

，
故选：．
根据分式乘除法的法则进行计算即可得出答案．
本题考查了分式的乘除法，掌握分式乘除法的法则是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：由题意可得，
，
故选：．
根据小王跳个所用的时间和小张跳个所用的时间相等，可以列出相应的分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

7.【答案】

【解析】

解：当时，，
一次函数的图象与轴交于点；
当时，，解得：，
一次函数的图象与轴交于点．
一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
去分母得：，
解得，
方程的解为正数，且，
，
解得且．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解．由分式方程的解为正数且分母不为零，即可求出的取值范围．
本题考查分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
 

9.【答案】

【解析】

解：直线经过二、三、四象限，
，，
直线的图象经过第一、三、四象限，
故选：．
根据直线经过二、三、四象限，，可以得到和的正负情况，从而可以得到直线的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

10.【答案】

【解析】

解：的图象经过，
，
，
一次函数与的图象相交于点，
方程组的解是，
故选：．
由两条直线的交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可．
本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．
 

11.【答案】

【解析】

解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变，
函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明，时，接着变化，说明．
长方形的面积为：．
故选：．
找到面积不变的开始与结束，得到，的具体值即可得出长方形的面积．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．
 

12.【答案】

【解析】

解：不等式组，
由得，
由得，
不等式组的解集为，
，
，
，
，
，
，
方程的解是非负整数解，
或或，
，
，
或，
所有满足条件的整数的值之和，
故选：．
由不等式组的解集可得，再解方程方程可得，且，可求满足条件的的值分别为和，即可求解．
本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程的增根情况是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：分式的值为，
且，
解得：．
故答案为：．
根据分式值为的条件确定出的值即可．
此题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分母不为零且分子为零．
 

14.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
 

15.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
由得：
，
，
，
故答案为：．
将，，分别化简为，，，再将三个式子相加得到与的关系，代入所求式子即可求解．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是利用题干给出的三个式子化简得出与的关系．
 

16.【答案】

【解析】

解：直线：与直线：相交于，
联立解得，，，
；
在中，当时，，
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图：

设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令时，
点
故答案为：
联立两直线解析式组成方程组，可得点的坐标，确定出点关于轴的对称点，即可求出的最小值，再用待定系数法求出直线的解析式即可得出点坐标．
此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，待定系数法，用轴对称解决最短路径问题是解本题的关键．
 

17.【答案】

解：原式
；

原式

．
 

【解析】

先根据零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂和算术平方根进行计算，再算加减即可；
先根据分式的减法算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和分式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算和化简是解此题的关键．
 

18.【答案】

解：原式


，
当时，原式；
原式

，
，，
，，
当时，原式．
 

【解析】

根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可；
根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】

解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
 

【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的方程，解分式方程注意要检验．
 

20.【答案】

解：设甲种学习用品的单价是元，则乙种种学习用品的单价是元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解．
所以．
答：甲种学习用品的单价是元，则乙种种学习用品的单价是元；

设购买乙型学习用品件，
由题意，得．
解得．
因此，最多购买乙型学习用品件．
答：最多购买乙型学习用品件．
 

【解析】

设甲种学习用品的单价是元，则乙种种学习用品的单价是元．利用“用元购买乙型学习用品与用元购买甲型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
设购买乙型学习用品件，则购买甲型学习用品件，根据“购买这批学习用品的费用不超过元”建立不等式求出其解即可．
本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程的关键．
 

21.【答案】

解：把代入得，
点坐标为，
把，代入得，
解得．
由图象可得时，，
的解集为．
如图，当点在点上方使，时，满足题意，

，，
点坐标为．
当点在点下方时，时，满足题意，
此时点坐标为，
综上所述，点坐标为或．
 

【解析】

由点在直线上求出点坐标，再通过待定系数法求解．
由图象求解．
由满足题意求解．
本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
 

22.【答案】

解：由，知，
所以，
即，



，
的值为的倒数，即；
由，知，
所以：，
，
即，



，
的值为的倒数，即；
由，知，，
，
，
由，知，，
，
，
由，知，，
，
，
得：
，
，
，
的值为的倒数，即．
 

【解析】

本题考查了分式的化简求值，倒数，理解例题的思路是解题的关键．
把已知等式变形求出的值，再运用“倒数法”把所求的式子变形后进行计算即可；
把已知等式变形求出的值，再运用“倒数法”把所求的式子变形后进行计算即可；
把已知三个等式变形后相加可以求出的值，再运用“倒数法”把所求的式子变形后进行计算即可．