高中数学湘教版（2019）必修 第二册6.4 数学建模案例(二): 曼哈顿距离教案

数学建模案例（二）：曼哈顿距离

【教学目标】  

1. 理解曼哈顿距离的概念，会用代数式表示平面内两点间的曼哈顿距离。

2. 对于曼哈顿距离为背景的实际问题，经历提出问题、建立模型、求解模型的数学建模过程，掌握求解最小曼哈顿距离的方法。

3. 通过数学建模课程，培养用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的意识。

【教学重点】  以某点到已知各点的曼哈顿距离最小为约束条件，建立数学模型确定点的位置。

【教学难点】  模型求解过程中，如何计算求得最小曼哈顿距离，即如何求解含绝对值的代数式的最值。

【教学方法】  教师启发讲授，学生探究学习。

【教学手段】  多媒体平台。

【核心素养】  数学建模，数学抽象，逻辑推理，数学运算。

【教学过程】

一、    创设情境，引入概念

教师：

在现实生活中，许多城市的街道相互垂直或平行，人们往往要通过直角拐弯行走才能到达目的地。若按照街道的垂直和平行方向建立直角坐标系后，则从处走到的距离为从走到处的距离加上从走到处的距离，即，我们称该距离为“曼哈顿距离”。对于平面上任意三点A，B，C，我们不难验证曼哈顿距离满足。

教师明确“曼哈顿距离”的定义——一般情况下，设平面上有点以及点，则点到点的曼哈顿距离定义为点到个点的曼哈顿距离之和，即。

二、    案例分析，建模求解

（一）案例一之“探究修建文化中心的位置”

教师展示问题情境：如下图所示，某地三个新建居民区的位置分别位于三点，，处。现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心，试确定点的位置，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小。

问题1：设点，你能表示出该点到三个居民区的曼哈顿距离吗？

解析：根据定义得到——

问题2：当，分别为多少时，取得最小值？此时的值为多少？

解析：水平方向和垂直方向的距离互不影响，把它们分别记为，，则，因此的最小值等于水平距离的最小值与垂直距离的最小值之和。分开来算，水平方向距离当且仅当时不等式的等号成立。而，当时等号成立。因此仅当时取到最小值24。同理，对于，当时取到最小值20。

问题3：文化中心应该建在哪里？

解析：由上述分析知，文化中心应该建在，此时距三个居民区的曼哈顿距离最小，最小距离是44。

问题4：如果仍以上述情境为背景，添加一个条件——以为圆心、半径为1的圆形区域是保护区，人们不能进入，其他条件不变。你能求出此时的文化中心的位置吗，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小？

解析：由于单位圆区域不能进入，故此时满足或，以及。依据同样的思路能够解得，此时文化中心到三个居民区的曼哈顿距离的最小值为45。

问题5：对于模型求解这一步，上面我们是通过解不等式的方法得到的，你还有其他方法求出代数式的最小值吗？能否借助与的函数图像来判断最值？

解析：教师借助信息技术画出两个函数的图像——

由图像可以直观得到水平方向距离和垂直方向距离的最小值，当时取最小值25，当时取最小值20。

（二）案例二之“探究设置机器零件检验台的位置”

教师：在实际生活中，还有许多的问题可以归结为基于曼哈顿距离的数学模型求解，以设置机器零件检验台的位置为例来说明。工作效率相同的台机器位于一条直线上，每台机器生产的零件均需送到同一个检验台上检验，检验合格后才能进入下一道工序。已知零件在这条直线上的传达速度均相同，问检验台的位置设在哪里可以使得零件传送时总的距离最小？

问题1：若记为第个零件的位置，是待求的检验台位置，是零件传送的总距离，你能求出的表达式吗？

解析：。

问题2：当检验台的位置为多少时，零件传送总距离最小？此时最小距离是多少？

解析：将个常数，，…，从小到大排列，则有两种情况——一是当为奇数时，即时，则当时（即在最中间点位置），取得最小值，且最小值为；二是当为偶数时，即时，则当时（即在最中间的区间内）取得最小值，且最小值为。

三、    归纳总结，布置作业

教师带学生回顾以曼哈顿距离为背景的实际应用问题的数学建模过程——第一步建立模型，建立数轴或坐标系将各点位置数量化，用字母表示未知点位置，用含字母的代数式表示出曼哈顿距离，确定约束条件；第二步求解模型，对于含绝对值的代数式，可以借助解不等式方法或者图象法求出最值；第三步检验模型，检验答案是否符合实际。

教师：除了上面描述的曼哈顿距离外，许多实际问题还可以转化为以其他距离最值为约束条件的数学模型问题来解决。同学们自己试一试吧！

教师布置两个课后探究作业（必修第2册256-257页）：