高考专题09 导数的综合应用（教师版含解析）

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专题09  导数的综合应用1．(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2) 和.【分析】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.2．(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设函数，已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．【答案】1；证明见详解【分析】(1)由，，又是函数的极值点，所以，解得；(2)由(1)得，，且，当 时，要证，， ，即证，化简得；同理，当时，要证，， ，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，假设能取到，则，故；当时，，单增，假设能取到，则，故；综上所述，在恒成立3．(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设函数，其中.(1)讨论的单调性；(2)若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】(1)的减区间为，增区间为；(2).【分析】(1)函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.(2)因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由(1)中函数的单调性可得，故即.4．(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知且，函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】(1)上单调递增；上单调递减；(2).【分析】(1)当时，令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；(2),设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.5．(2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】(1)的递增区间为，递减区间为；(2)证明见解析.【分析】(1)函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.(2)因为，故，即，故，设，由(1)可知不妨设.因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，则，先证明一个不等式：.设，则，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，.6.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点①；②．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；(2)若选择条件①：由于，故，则，而，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于，故，则，当时，，，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.当时，构造函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：，此时：，当时，，取，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．7.(2021年天津卷数学试题)已知，函数．(I)求曲线在点处的切线方程：(II)证明存在唯一的极值点(III)若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．【答案】(I)；(II)证明见解析；(III)【解析】【分析】(I)求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；(II)令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；(III)令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.【详解】(I)，则，又，则切线方程为；(II)令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；(III)由(II)知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 8.(2021年浙江卷数学试题)设a，b为实数，且，函数(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，函数有两个不同零点，求a的取值范围；(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；(2)；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)，①若，则，所以在上单调递增；②若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为.(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，令，则，记，记，又，所以时，时，，则在单调递减，单调递增，，.即实数的取值范围是.(3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，，注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，又由知，，要证，只需，且关于的函数在上单调递增，所以只需证，只需证，只需证，，只需证在时为正，由于，故函数单调递增，又，故在时为正，从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．9.(2021年北京卷数学试题)已知函数．(1)若，求在处切线方程；(2)若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】(1)；(2)函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【解析】【分析】(1)求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；(2)因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.